Chuyên đề về Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCTrường THPT Chuyên Trà VinhLời giới thiệuBất đẳng thức là một trong những mảng toán khó nhất của toán học sơ cấp hiện nay nhưng lại giữ vai trò đặc biệt quan trọng; được đông đảo các bạn học sinh yêu toán quan tâm. Nó được xem là phần “hay nhất”, “đẹp nhất”, đòi hỏi tính tư duy và tính sáng tạo rất caoBất đẳng thức phát triển song song cùng sự đi lên của nền toán học nhân loại. Từ những công cụ cơ bản và cổ điển như: biến đổi tương đương, phản chứng, quy nạp, dùng bất đẳng thức kinh điển cho đến những công cụ hiện đại, mới mẻ tuy đơn giản mà hiệu quảLời giới thiệuXin giới thiệu với quý thầy cô và các bạn một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tuy đơn giản, ngắn gọn nhưng hiệu quả cao1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấuĐây là một trong những kỹ thuật hay, khéo léo, mới mẻ và ấn tượng nhất của bất đẳng thức AM-GM.Nó chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên, góp phần giải quyết nhiều lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó  (Trần Quốc Anh) 1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu   1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu  1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu  1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấuQua ví dụ trên, ta thấy kỹ thuật AM-GM ngược dấu giúp chuyển bất đẳng thức hoán vị thành bất đẳng thức đối xứng chỉ sau vài bước thực hiện nhưng đem lại hiệu quả caoNhận xét: 1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu   1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu  1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu  1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu  1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu  1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấuĐây là một kĩ thuật không mẫu mực, đòi hỏi sự tinh tế và khéo léo. Sự thành công của kĩ thuật này phụ thuộc vào việc phát hiện ra hằng đẳng thức đặc biệt hay bất đẳng thức phụ thích hợp.2. Sử dụngkĩ thuậttách ghépCauchy-Schwarz 2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-Schwarz   2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-Schwarz  2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-SchwarzỞ bài toán này đòi hỏi phải quan sát thật kĩ mẫu số của từng phân thức của vế trái. Ta tách ghép và dùng tiếp Cauchy-Schwarz và đi đến kết quả khá đẹp 2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-SchwarzNhận xét:  2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-Schwarz  2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-Schwarz  2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-Schwarz  2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-SchwarzĐây là 1 bài toán khá hay, độc đáo ở chỗ tách ghép các đại lượng ở vế trái bất đẳng thức cần chứng minh. Ta đi đến kết quả như mong muốn qua hàng loạt chặn sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-Schwarz khá ấn tượng. 2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-SchwarzNhận xét:  2. Sử dụng kĩ thuật tách ghép Cauchy-Schwarz3. THIẾT LẬPCHẶNNÚT3. THIẾT LẬP NÚT CHẶNỞ nhiều bài toán mà biểu thức 2 vế khá phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn, ta sử dụng phương pháp “thiết lập nút chặn” làm cho bài toán đơn giản hơn, tức là :  } Khi đó, việc chứng minh 𝐴′ + 𝐵′ + 𝐶′ ≥ 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 trờ nên dễ dàng hơn3. THIẾT LẬP NÚT CHẶNPhương pháp này đòi hỏi sự tinh tế, nhạy bén để chọn nút chặn sao cho hợp lý.  3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN 3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN  3. THIẾT LẬP NÚT CHẶNQua hai ví dụ trên cho thấy tính hiệu quả to lớn khi sử dụng phương pháp thiệt lập nút chặn, làm bất đẳng thức ban đầu trở nên “dễ trị” hơn qua hàng loạt các nút chặn được thiết lập.3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN