Chuyên đề: Ứng dụng hệ thức Viet trong giải toán

– Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí CHUYÊN ðỀ : ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIET TRONG GIẢI TOÁN A. MỞ ðẦU Trong một vài năm trở lại ñây thì trong các ñề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- Et xuất hiện khá phổ biến . Trong khi ñó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa ña dạng . Ta cũng thấy ñể giải ñược các bài toán có liên qua ñến hệ thức Vi – Et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về ñại số , thông qua ñó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số. Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên ñề này ngoài mục ñích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong ñề thi vào lớp 10 trung học phổ thông Nội dung chính của chuyên ñề gồm : I. Ứng dụng 1 II. Ứng dụng 2 III. Ứng dụng 3 IV. Ứng dụng 4 V. Ứng dụng 5 VI. Ứng dụng 6 VII. Ứng dụng 7 VIII. Ứng dụng 8 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Lập phương trình bậc hai Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Xác ñịnh dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí B. NỘI DUNG CHUYÊN ðỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ET TRONG GIẢI TOÁN Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) Có hai nghiệm 1 2 b x a − − ∆ = ; 2 2 b x a − + ∆ = Suy ra: 1 2 2 2 2 b b b b x x a a a − − ∆ − + ∆ − − + = = = 2 1 2 2 2 2 ( )( ) 4 4 4 4 b b b ac c x x a a a a − − ∆ − + ∆ −∆ = = = = Vậy ñặt : - Tổng nghiệm là S : S = 1 2 b x x a − + = - Tích nghiệm là P : P = 1 2 c x x a = Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. ðây chính là nội dung của ðịnh lí VI-ÉT, sau ñây ta tìm hiểu một số ứng dụng của ñịnh lí này trong giải toán. I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1. Dạng ñặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)
a.12 + b.1 + c = 0
a + b + c = 0 Như vây phương trình có một nghiệm 1 1x = và nghiệm còn lại là 2 c x a = b) Nếu cho x = −1 thì ta có (*)
a.(−1)2 + b(−1) + c = 0
a − b + c = 0 Như vậy phương trình có một nghiệm là 1 1x = − và nghiệm còn lại là 2 c x a − = Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT ñể nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 1) 22 5 3 0x x+ + = (1) 2) 23 8 11 0x x+ − = (2) Ta thấy : Phương trình (1) có dạng a − b + c = 0 nên có nghiệm 1 1x = − và 2 3 2 x − = Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm 1 1x = và 2 11 3 x − = Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 1. 235 37 2 0x x− + = 2. 27 500 507 0x x+ − = 3. 2 49 50 0x x− − = 4. 24321 21 4300 0x x+ − = 2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình : Vídụ: a) Phương trình 2 2 5 0x px− + = . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. b) Phương trình 2 5 0x x q+ + = có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí c) Cho phương trình : 2 7 0x x q− + = , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : 2 50 0x qx− + = , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Bài giải: a) Thay 1 2x = v à phương trình ban ñ ầu ta ñ ư ợc : 1 4 4 5 0 4 p p− + = ⇒ = T ừ 1 2 5x x = suy ra 2 1 5 5 2 x x = = b) Thay 1 5x = v à phương trình ban ñ ầu ta ñ ư ợc 25 25 0 50q q+ + = ⇒ = − T ừ 1 2 50x x = − suy ra 2 1 50 50 10 5 x x − − = = = − c) Vì vai trò của x1 và x2 bình ñẳng nên theo ñề bài giả sử 1 2 11x x− = và theo VI-ÉT ta có 1 2 7x x+ = , ta giải hệ sau: 1 2 1 1 2 2 11 9 7 2 x x x x x x − = =  ⇔  + = = −  Suy ra 1 2 18q x x= = − d) Vì vai trò của x1 và x2 bình ñẳng nên theo ñề bài giả sử 1 2 2x x= và theo VI-ÉT ta có 1 2 50x x = . Suy ra 22 2 2 2 2 2 5 2 50 5 5 x x x x = − = ⇔ = ⇔  = Với 2 5x = − th ì 1 10x = − Với 2 5x = th ì 1 10x = II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 1 2;x x Ví dụ : Cho 1 3x = ; 2 2x = lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Theo hệ thức VI-ÉT ta có 1 2 1 2 5 6 S x x P x x = + =  = = vậy 1 2;x x là nghiệm của phương trình có dạng: 2 20 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + = Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 vµ x2 = -3 2. x1 = 3a vµ x2 = a 3. x1 = 36 vµ x2 = -104 – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí 4. x1 = 1 2+ vµ x2 = 1 2− 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : 2 3 2 0x x− + = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2 1 1 y x x = + và 2 1 2 1 y x x = + Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 9 ( ) ( ) 3 2 2 x x S y y x x x x x x x x x x x x   + = + = + + + = + + + = + + = + =    1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 9 ( )( ) 1 1 2 1 1 2 2 P y y x x x x x x x x = = + + = + + + = + + + = Vậy phương trình cần lập có dạng: 2 0y Sy P− + = hay 2 29 9 0 2 9 9 0 2 2 y y y y− + = ⇔ − + = Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 23 5 6 0x x+ − = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 1 2 1 y x x = + và 2 2 1 1 y x x = + (ðáp số: 2 5 1 0 6 2 y y+ − = hay 26 5 3 0y y+ − = ) 2/ Cho phương trình : 2 5 1 0x x− − = có 2 nghiệm 1 2;x x . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn 4 1 1y x= và 4 2 2y x= (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình ñã cho). (ðáp số : 2 727 1 0y y− + = ) 3/ Cho phương trình bậc hai: 2 22 0x x m− − = có các nghiệm 1 2;x x . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 2;y y sao cho : a) 1 1 3y x= − và 2 2 3y x= − b) 1 12 1y x= − và 2 22 1y x= − (ðáp số a) 2 24 3 0y y m− + − = b) 2 22 (4 3) 0y y m− − − = ) III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số ñó là hai nghiệm của phương trình : 2 0x Sx P− + = (ñiều kiện ñể có hai số ñó là S2 − 4P ≥ 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = −3 và tích P = ab = −4 Vì a + b = −3 và ab = −4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : 2 3 4 0x x+ − = giải phương trình trên ta ñược 1 1x = và 2 4x = − Vậy nếu a = 1 thì b = −4 – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí nếu a = −4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 2. S = −3 và P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 − y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a −b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo ñề bài ñã biết tổng của hai số a và b , vậy ñể áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b. T ừ ( ) ( )2 22 2 2 819 81 2 81 20 2 a b a b a b a ab b ab − + + = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = = Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 12 2 4 9 20 0 5 x x x x = − + = ⇔  = Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) ðã biết tích: ab = 36 do ñó cần tìm tổng : a + b Cách 1: ð ặt c = −b ta có : a + c = 5 và a.c = −36 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 12 2 4 5 36 0 9 x x x x = − − − = ⇔  = Do ñó nếu a = −4 thì c = 9 nên b = −9 nếu a = 9 thì c = −4 nên b = 4 Cách 2: Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + = ( )2 2 13 13 13 a b a b a b + = − ⇒ + = ⇒  + = *) Với 13a b+ = − và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 12 2 4 13 36 0 9 x x x x = − + + = ⇔  = − Vậy a = 4− thì b = 9− *) Với 13a b+ = và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 12 2 4 13 36 0 9 x x x x = − + = ⇔  = Vậy a = 9 thì b = 4 3) ðã biết ab = 30, do ñó cần tìm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 ( ) 2 2 2 22 61 2.30 121 11a b a b ab⇒ + = + + = + = = 11 11 a b a b + = − ⇒  + = *) Nếu 11a b+ = − và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 12 2 5 11 30 0 6 x x x x = − + + = ⇔  = − Vậy nếu a = 5− thì b = 6− ; nếu a = 6− thì b = 5− – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí *) Nếu 11a b+ = và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 12 2 5 11 30 0 6 x x x x = − + = ⇔  = Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM ðối các bài toán dạng này ñiều quan trọng nhất là phải biết biến ñổi biểu thức nghiệm ñã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P ñể áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1. Biến ñổi biểu thức ñể làm xuất hiện : ( 1 2x x+ ) và 1 2x x Ví dụ 1 a) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + − b) ( ) ( ) ( ) ( )23 3 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 23x x x x x x x x x x x x x x + = + − + = + + −  c) ( ) 2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x + = + = + − = + − −  d) 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x + + = Ví dụ 2 1 2 ?x x− = Ta biết ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4x x x x x x x x x x x x− = + − ⇒ − = ± + − Từ các biểu thức ñã biến ñổi trên hãy biến ñổi các biểu thức sau: 1. 2 2 1 2x x− ( ( )( )1 2 1 2x x x x= − + =.) 2. 3 3 1 2x x− ( = ( )( ) ( ) ( )22 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x x x x x − + + = − + −  =. ) 3. 4 4 1 2x x− ( = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2x x x x+ − = ) 4. 6 6 1 2x x+ ( = ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )x x x x x x x x+ = + − + = ..) Bài tập áp dụng 5. 6 6 1 2x x− 6. 5 5 1 2x x+ 7. 7 7 1 2x x+ 8. 1 2 1 1 1 1x x + − − 2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : 2 8 15 0x x− + = Không giải phương trình, hãy tính 1. 2 2 1 2x x+ (34) 2. 1 2 1 1 x x + 8 15       3. 1 2 2 1 x x x x + 34 15       4. ( ) 2 1 2x x+ (46) b) Cho phương trình : 28 72 64 0x x− + = Không giải phương trình, hãy tính: 1. 1 2 1 1 x x + 9 8       2. 2 2 1 2x x+ (65) – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí c) Cho phương trình : 2 14 29 0x x− + = Không giải phương trình, hãy tính: 1. 1 2 1 1 x x + 14 29       2. 2 2 1 2x x+ (138) d) Cho phương trình : 22 3 1 0x x− + = Không giải phương trình, hãy tính: 1. 1 2 1 1 x x + (3) 2. 1 2 1 2 1 1x x x x − − + (1) 3. 2 2 1 2x x+ (1) 4. 1 2 2 11 1 x x x x + + + 5 6       e) Cho phương trình 2 4 3 8 0x x− + = có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 6 10 6 Q 5 5 x x x x x x x x + + = + HD: ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17 Q 5 5 805.8 (4 3) 2.85 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + − − = = = = +    −+ −    V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ðỘC LẬP) VỚI THAM SỐ ðể làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - ðặt ñiều kiện cho tham số ñể phương trình ñã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thế ñể tính tham số theo x1 và x2 . Từ ñó ñưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. Ví dụ 1: Cho phương trình : ( ) 21 2 4 0m x mx m− − + − = có 2 nghiệm 1 2;x x . Lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. ðể phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : 2 111 0 1 4 ' 0 5 4 0( 1)( 4) 0 5 mmm m m mm m m ≠≠− ≠ ≠   ⇔ ⇔ ⇔    ≥ − ≥ ≥− − − ≥   V Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (1) 1 1 4 3 . . 1 (2) 1 1 m x x x x m m m x x x x m m  + = + = +  − −⇔  − = = −  − −  Rút m từ (1) ta có : – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 x x m m x x = + − ⇔ − = − + − (3) Rút m từ (2) ta có : 1 2 1 2 3 3 1 1 1 1 x x m m x x = − ⇔ − = − − (4) ðồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 3 2 3 2 8 0 2 1 x x x x x x x x x x x x = ⇔ − = + − ⇔ + + − = + − − Ví dụ 2: Gọi 1 2;x x là nghiệm của phương trình : ( ) 21 2 4 0m x mx m− − + − = . Chứng minh rằng biểu thức ( )1 2 1 23 2 8A x x x x= + + − không phụ thuộc giá trị của m. ðể phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : 2 111 0 1 4 ' 0 5 4 0( 1)( 4) 0 5 mmm m m mm m m ≠≠− ≠ ≠   ⇔ ⇔ ⇔    ≥ − ≥ ≥− − − ≥   V Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 1 2 1 2 2 1 4 . 1 m x x m m x x m  + = −  − =  − thay v ào A ta c ó: ( )1 2 1 2 2 4 6 2 8 8( 1) 0 3 2 8 3. 2. 8 0 1 1 1 1 m m m m m A x x x x m m m m − + − − − = + + − = + − = = = − − − − Vậy A = 0 với mọi 1m ≠ và 4 5 m ≥ . Do ñó biểu thức A không phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý ñiều kiện cho tham số ñể phương trình ñã cho có 2 nghiệm - Sau ñó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau ñó ñồng nhất các vế ta sẽ ñược một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình : ( ) ( ) 2 2 2 1 0x m x m− + + − = có 2 nghiệm 1 2;x x . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x sao cho 1 2;x x ñộc lập ñối với m. Hướng dẫn: Dễ thấy ( ) ( ) ( ) 2 222 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m∆ = + − − = − + = − + > do ñó phương trình ñã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí 1 2 1 2 1 2 1 2 2(1) 2 1 . 2 1 (2) 2 m x x x x m x x x x m m = + −+ = +  ⇔  + = − =  Từ (1) và (2) ta có: ( )1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 5 0 2 x x x x x x x x + + − = ⇔ + − − = 2. Cho phương trình : ( ) ( ) 2 4 1 2 4 0x m x m+ + + − = . Tìm hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn: Dễ thấy 2 2(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m∆ = + − − = + > do ñó phương trình ñã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 1) 4 ( ) 1(1) . 2( 4) 4 2 16(2) x x m m x x x x m m x x + = − + = − + −  ⇔  = − = +  Từ (1) và (2) ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x− + − = + ⇔ + + + = VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ðà CHO ðối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - ðặt ñiều kiện cho tham số ñể phương trình ñã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm ñã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT ñể giải phương trình (có ẩn là tham số). - ðối chiếu với ñiều kiện xác ñịnh của tham số ñể xác ñịnh giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : ( ) ( ) 2 6 1 9 3 0mx m x m− − + − = Tìm giá trị của tham số m ñể 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2.x x x x+ = Bài giải: ðiều kiện ñể phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : ( ) ( ) ( )2 2 2 0 0 0 0 ' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1' 3 21 9( 3) 0 m m m m m m m m mm m m ≠ ≠  ≠ ≠   ⇔ ⇔ ⇔    ∆ = − + − + ≥ ∆ = − ≥ ≥ −∆ = − − − ≥        Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 2 1 2 6( 1) 9( 3) m x x m m x x m − + =  − =  v à t ừ gi ả thi ết: 1 2 1 2x x x x+ = . Suy ra: 6( 1) 9( 3) 6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7 m m m m m m m m m m − − = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = (thoả mãn ñiều kiện xác ñịnh ) Vậy với m = 7 thì phương trình ñã cho có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2.x x x x+ = – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí Ví dụ 2: Cho phương trình : ( ) 2 22 1 2 0x m x m− + + + = . Tìm m ñể 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : ( )1 2 1 23 5 7 0x x x x− + + = Bài giải: ðiều kiện ñể phương trình có 2 nghiệm 1 2&x x là : 2 2' (2 1) 4( 2) 0m m∆ = + − + ≥ 2 24 4 1 4 8 0m m m⇔ + + − − ≥ 7 4 7 0 4 m m⇔ − ≥ ⇔ ≥ Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 1 2 2 1 2 2 1 2 x x m x x m + = +  = + và từ giả thiết ( )1 2 1 23 5 7 0x x x x− + + = . Suy ra 2 2 2 3( 2) 5(2 1) 7 0 3 6 10 5 7 0 2( ) 3 10 8 0 4 ( ) 3 m m m m m TM m m m KTM + − + + = ⇔ + − − + = = ⇔ − + = ⇔  =  Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : ( )1 2 1 23 5 7 0x x x x− + + = Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : ( ) 2 2 4 7 0mx m x m+ − + + = Tìm m ñể 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 22 0x x− = 2. Cho phương trình : ( ) 2 1 5 6 0x m x m+ − + − = Tìm m ñể 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức: 1 24 3 1x x+ = 3. Cho phương trình : ( ) ( ) 23 3 2 3 1 0x m x m− − − + = . Tìm m ñể 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 23 5 6x x− = Hướng dẫn cách giải: ðối với các bài tập dạng này ta thấy có một ñiều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm ñã chứa sẵn tổng nghiệm 1 2x x+ và tích nghiệm 1 2x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT ñể tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do ñó vấn ñề ñặt ra ở ñây là làm thế nào ñể từ biểu thức ñã cho biến ñổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm 1 2x x+ và tích nghiệm 1 2x x rồi từ ñó vận dụng tương tự cách làm ñã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. BT1: - ðKX ð: 16 0 & 15 m m≠ ≤ – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí -Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 ( 4) (1) 7 m x x m m x x m − − + =  + =  - Từ 1 22 0x x− = Suy ra: 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2( ) 9 2( ) 3 x x x x x x x x x x + = ⇒ + = + = (2) - Thế (1) vào (2) ta ñưa ñược về phương trình sau: 2 1 2127 128 0 1; 128m m m m+ − = ⇒ = = − BT2: - ðKXð: 2 22 25 0 11 96 11 96m m m∆ = − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ + - Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 1 (1) 5 6 x x m x x m + = −  = − - Từ : 1 24 3 1x x+ = . Suy ra: [ ] [ ]1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3( ) 1 3( ) . 4( ) 1 4( ) 1 7( ) 12( ) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x = − + ⇒ = − + + − = + − ⇔ = + − + − (2) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 0 12 ( 1) 0 1 m m m m = − = ⇔  = (thoả mãn ðKXð) BT3: - Vì 2 2 2(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m∆ = − + + = + + = + ≥ với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. - -Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 3 2 3 (1) (3 1) 3 m x x m x x − + =  − + =  - Từ giả thiết: 1 23 5 6x x− = . Suy ra: [ ] [ ]1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 8 5( ) 6 64 5( ) 6 . 3( ) 6 8 3( ) 6 64 15( ) 12( ) 36 x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + ⇒ = + + + − = + − ⇔ = + − + − (2) - Thế (1) vào (2) ta ñược phương trình: 0 (45 96) 0 32 15 m m m m = + = ⇔  = −  (thoả mãn ) VII. XÁC ðỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: 2 0ax bx c+ + = (a ≠ 0) .Hãy tìm ñiều kiện ñể phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 1 2S x x= + 1 2P x x= ∆ ðiều kiện chung trái dấu ± m P < 0 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P < 0. – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí cùng dấu, ± ± P > 0 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm − − S 0 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví dụ: Xác ñịnh tham số m sao cho phương trình: ( ) 2 22 3 1 6 0x m x m m− + + − − = có 2 nghiệm trái dấu. ðể phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 2 2 2 2 (3 1) 4.2.( 6) 0 0 ( 7) 0 2 360 ( 3)( 2) 00 2 m m m m m mm mP P m mP ∆ = + − − − ≥ ∆ ≥ ∆ = − ≥ ∀  ⇔ ⇔ ⇔ − < <  − −< = − + <= <   Vậy với 2 3m− < < thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu. Bài tập tham khảo: 1. ( ) ( ) 2 2 2 3 2 0mx m x m− + + − = có 2 nghiệm cùng dấu. 2. ( ) 23 2 2 1 0mx m x m+ + + = có 2 nghiệm âm. 3. ( ) 21 2 0m x x m− + + = có ít nhất một nghiệm không âm. VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất ñẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích ñược: A m C k B + =  − (trong ñó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) Thì ta thấy : C m≥ (v ì 0A ≥ ) min 0C m A⇒ = ⇔ = C k≤ (v ì 0B ≥ ) max 0C k B⇒ = ⇔ = Ví dụ 1: Cho phương trình : ( ) 2 2 1 0x m x m+ − − = Gọi 1x và 2x là các nghiệm của phương trình. Tìm m ñể : 2 2 1 2 1 26A x x x x= + − có giá trị nhỏ nhất. Bài giải: Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 (2 1)x x m x x m + = − −  = − Theo ñ ề b ài : ( )22 21 2 1 2 1 2 1 26 8A x x x x x x x x= + − = + − – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí ( )2 2 2 2 1 8 4 12 1 (2 3) 8 8 m m m m m = − + = − + = − − ≥ − Suy ra: min 8 2 3 0A m= − ⇔ − = hay 3 2 m = Ví dụ 2: Cho phương trình : 2 1 0x mx m− + − = Gọi 1x và 2x là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 1 x x B x x x x + = + + + Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 1 2 1 2 1 x x m x x m + =  = − ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2( 1) 3 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 x x x x m m B x x x x x x m m + + − + + ⇒ = = = = + + + + + + + Cách 1: Thêm bớt ñể ñưa về dạng như phần (*) ñã hướng dẫn Ta biến ñổi B như sau: ( ) ( )22 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 m m m m B m m + − − + − = = − + + Vì ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 0 1 2 m m B m − − ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ + Vậy max B=1⇔ m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 4 4 2 2 12 2 2 2 2 2 22 2 m m m m m m m B m m m + + − + + − + + = = = − + + + Vì ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 0 0 22 2 m m B m + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ − + Vậy 1 min 2 2 B m= − ⇔ = − Cách 2: ðưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm ñiều kiện cho tham số B ñể phương trình ñã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2 2 2 1 2 2 1 0 2 m B Bm m B m + = ⇔ − + − = + (Với m là ẩn, B là tham số) (**) Ta có: 21 (2 1) 1 2B B B B∆ = − − = − + ðể phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0 hay ( )( ) 2 22 1 0 2 1 0 2 1 1 0B B B B B B− + + ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ + − ≤ – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí 1 2 1 0 2 1 0 1 1 1 22 1 0 1 21 0 1 BB B B B B B B B  ≤ − + ≤  − ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ + ≥  ≥ −  − ≤  ≤ Vậy: max B=1⇔ m = 1 1 min 2 2 B m= − ⇔ = − Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : ( ) ( ) 2 4 1 2 4 0x m x m+ + + − = .Tìm m ñể biểu thức ( ) 2 1 2A x x= − có giá trị nhỏ nhất. 2. Cho phương trình 2 2( 1) 3 0x m x m− − − − = . Tìm m sao cho nghiệm 1 2;x x thỏa mãn ñiều kiện 2 2 1 2 10x x+ ≥ . 3. Cho phương trình : 2 22( 4) 8 0x m x m− − + − = xác ñịnh m ñể phương trình có 2 nghiệm 1 2;x x thỏa mãn a) 1 2 1 23A x x x x= + − ñạt giá trị lớn nhất b) 2 2 1 2 1 2B x x x x= + − ñạt giá trị nhỏ nhất 4. Cho phương trình : 2 2( 1) 2 0x m x m m− − − + − = . Với giá trị nào của m, biểu thức 2 2 1 2C x x= + dạt giá trị nhỏ nhất. 5. Cho phương trình 2 ( 1) 0x m m+ + + = . Xác ñịnh m ñể biểu thức 2 2 1 2E x x= + ñạt giá trị nhỏ nhất. – Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí C. KẾT LUẬN Do thời gian có hạn và mục ñích chính của chuyên ñề là áp dụng cho học sinh ñại trà, riêng mục VII và VIII dành cho học sinh khá giỏi nên lượng bài tập còn ñơn giản và chưa thật sự ña dạng, ñầy ñủ, do ñó không tránh khỏi thiếu sót, rât mong các ñồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng ñể chuyên ñề của chúng tôi có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn! Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Thanh Lãng, ngày 15 tháng 3 năm 2008. Người viết Ngô Quốc Hưng Dương Thế Nam