Bài giảng số 10 - Đường parabol

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 1 BÀI GIẢNG SỐ 10. ĐƯỜNG PARABOL Bài toán 1: Tìm các yếu tố của parabol Phương pháp: Cho parabol có phương trình 2 2y px . Các yếu tố của parabol là - Đỉnh O(0;0) - Tham số tiêu p - Trục đối xứng : Ox - Tiêu điểm ;0 2 p F       - Đường chuẩn : 2 p x   Ví dụ 1: Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau: a. 2 4y x b. 25 12y x Giải a. Tham số tiêu 2p  Tọa độ đỉnh O(0;0) Tiêu điểm  ;0 1;0 2 p F F       Phương trình đường chuẩn : : 1. 2 p x x      b. 2 2 12 5 12 5 y x y x   . 12 6 2 5 5 p p   . Parabol có Đỉnh O(0;0), tiêu điểm 3 ;0 5 F       , đường chuẩn 3 : 5 x   . Ví dụ 2: Cho (P): 2 4y x . Tìm A, B thuộc (P) sao cho OAB đều. Giải Vì OAB đều nên AB OX gọi     ;2 ; 2 A a a B a a      Do  2 2 2 24 16 12 12 0 12, 0OA OB a a a a a a a a           Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 2 Vậy    12;4 3 , 12; 4 3A B  Bài tập Bài 1. Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau a. 22 0y x  b.  2 , 0x ay a  Đáp số: a.   1 1 1 ; 0;0 , ;0 , 4 8 8 p O F x        b.  ; 0;0 , 0; , 2 4 4 a a a p O F x         Bài 2. Tìm điểm M thuộc (P): 2 64y x sao cho khoảng cách từ M đến (d): 4 3 86 0x y   nhỏ nhất Đáp số:  9;24M Bài 3. Cho (P): 2 2y px . Tìm A,B thuộc (P) sao cho OAB nhận tiêu điểm F làm trực tâm Đáp số: 5 5 ; 5 , ; 5 2 2 p p A p B p             Bài 4. Cho (P)   y x a x b   . Xác định tọa độ của đỉnh I theo a,b. Đáp số:   2 ; 2 4 a ba b I         Bài 5. Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) Đáp số: Đỉnh 1 7 ; 4 8 S       ,Giao với Oy  0;1A , không có giao với Ox. Bài 6. Cho parabol (P) 2 2y px . Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm F của (P) và tạo với chiều dương của trục Ox một góc  và cắt (P) tại hai điểm M,N. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn MN theo p và  Đáp số:  2 2 tan 2 ; 2 tan tan p p I            Bài toán 2: Phương trình chính tắc của parabol Phương pháp: - Tìm các yếu tố (Đỉnh, tham số tiêu, trục đối xứng, tiêu điểm, đường chuẩn) ta định được phương trình chính tắc của parabol Ví dụ 1: Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm  2;5M . Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 3 Giải Phương trình chính tắc của parabol có dạng 2 2y px  2;5M thuộc parabol nên 25 25 2 .2 4 p p   Phương trình chính tắc của parabol đã cho là 2 25 2 y x Ví dụ 2: Lập phương trình Parabol (P) có trục đối xứng là đường 1x  , đỉnh S nằm trên đường thẳng 1 0y   và chắn trên 2y x  một đoạn có độ dài là 2a . Giải Vì (P) có trục là đường 1x  , đỉnh S thuộc đường thẳng 1 0y   nên (P) có đỉnh là  1; 1S  Phương trình parabol lúc này là     2 1 2 1y p x   Hoành độ giao điểm của (P) với 2y x  là nghiệm của phương trình       2 23 2 1 2 3 9 2 0y p x x x p p         Gọi      ; , ; 2A A B BA x y B x y P y x            222 2 2 2 4 2 32 0 4 16 4 32 0 8 A B A B A B AB x x p l x x x x p p p                  Vậy (P) có phương trình là     2 1 16 1y x    Ví dụ 3: Cho parabol 2 2y px và đường thẳng  di động đi qua tiêu điểm F của parabol cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Giải Kẻ NH và MK vuông góc với đường chuẩn : 2 p x    Theo định nghĩa Parabol ta có ,NF NH MF MK  Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 4 Vậy NF MF MK NH   hay MN MK NH  Gọi I là trung điểm của MN, ta có   1 2 IJ NH MK  J là hình chiếu của I lên  (do IJ là đường trung bình của hình thang NHKM) Như vậy 1 2 IJ MN . Điều đó chứng tỏ rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với đường chuẩn  của (P) (đpcm) Bài tập Bài 1. Xác định tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P): y2 – 8x = 0. Đáp số: Tiêu điểm F(2,0). Phương trình đường chuẩn  : x = -2. Bài 2. Lập phương trình Parabol (P) biết (P) có đỉnh O, đường chuẩn 2x – 7 = 0. Đáp số: 2 14y x  Bài 3. Lập phương trình parabol (P) biết parabol có đỉnh O, đường chuẩn y = -1. Đáp số: 2 4x y Bài 4. Lập phương trình parabol (P) biết parabol có đỉnh O, qua A(-2; 2), nhận Oy làm trục đối xứng . Đáp số: 2 2x y Bài 5. Lập phương trình parabol (P) biết parabol có đỉnh O, nhận Ox làm trục, khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 2. Đáp số: 2 4y x hoặc 2 4y x  Bài 6. Lập phương trình parabol (P) biết parabol có tiêu điểm F(0; -1), qua O và nhận Oy làm trục. Đáp số: 2 4x y  Bài 7. Lập phương trình (P) biết trục là Ox và (P) chắn Oy một đoạn là 2b. Khoảng cách từ đỉnh đến gốc O là a. Đáp số:   2 22 2 b y x a a   Bài toán 3: Tập hợp điểm parabol Phương pháp: Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 5 - Chứng minh tập hợp điểm có phương trình thuộc dạng chính tắc của parabol - Chứng minh tập hợp điểm thỏa mãn định nghĩa của Parabol: Cho F và đường thẳng  , tập hợp những điểm M có khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến  là một parabol Ví dụ 1: Cho (C) là đường cong có phương trình 2 4 4 0y y x   . Bằng phép tịnh tiến trục tọa độ, chứng minh (C) là một parabol. Giải Viết lại (C) dưới dạng       2 2 2 4 4 0 2 4 1y x y x        Thực hiện phép đổi trục tọa độ 1 2 X x Y y      (2) Từ (1) ta có 2 4Y X . Như vậy (2) có dạng 2 2Y pX . Trong hệ tọa độ (X,Y) mới thì đây là parabol có tham số tiêu 2p  , nhận (0;0) làm đỉnh. Ví dụ 2 : Cho điểm A và đường thẳng  cố định không qua điểm A. Tìm tập hợp điểm M là tâm đường tròn  C luôn đi qua A và tiếp xúc với  . Giải Gọi  C là đường tròn có tâm M , đi qua điểm A và tiếp xúc với  tại điểm B. Ta có  ;MA MB R MA d M     . Vậy tập hợp điểm M là đường parabol  P có tiêu điểm là A và đường chuẩn  . Ví dụ 3 : Chứng minh rằng phương trình 2 216 9 24 72 196 44 0x y xy x y      là phương trình của một Parabol. Xác định tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P) Giải Biến đổi (1) về dạng         22 2 22 2 2 2 25 2 3 4 12 1 2 3 4 12 3 4 x y x y x y x y                Xét điểm  0;2F , đường thẳng   :3 4 12 0x y    . Khi đó với mọi  ;M x y ta có      2 1 , MF M P d M F     , với (P) là parabol có tiêu điểm F và đường chuẩn   :3 4 12 0x y    Bài tập Bài 1. Chứng minh đường cong (C) có phương trình 2 6 8 0x x y    là một parabol. Bài 2. Chứng minh rằng phương trình 2 216 9 24 72 196 14 0x y xy x y      là phương trình của một Parabol (P). Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 6 Bài 3. Chứng minh đường cong (C) có phương trình 2 4 8 0y x y    là một parabol. Bài 4. Cho đường tròn  O cố định có tâm O và hai đường kính ,AB CD vuong góc với nhau. M là điểm tùy ý trên  O , H là hình chiếu của M trên CD. Tìm tập hợp giao điểm I của OM và AH khi M di động trên  O . Đáp số: Là parabol  P có tiêu điểm là O và đường chuẩn 'tAt , trừ trung điểm của OA, với 'tAt là tiếp tuyến của đường tròn  O . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tham số tiêu và tọa độ đỉnh của (P) 2 4 8 0x x y      1 . , 2;4 2 A p     1 . , 2;4 2 B p    1 . , 2; 4 2 C p     1 . , 2;4 2 D p   Bải 2. Phương trình đường chuẩn của (P) 23 4y x 1 . 3 A y  1 . 3 B y   1 . 3 C x  1 . 3 D x   Bài 3. Phương trình chính tắc của (P) nhận đường thẳng 2x   làm đường chuẩn 2. 8A y x 2.B y x 2. 2C y x 2. 4D y x Bài 4. Phương trình chính tắc của (P) biết 1 dây cung của (P) vuông góc với trục Ox có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O của (P) đến dây cung này bằng 1 2. 8A y x 2. 16B y x 2. 2C y x 2. 4D y x Bài 5. Parabol có tiêu điểm F(2;0) có phương trình chính tắc là 2. 8A y x 2. 16B y x 2. 2C y x 2. 4D y x Bài 6. Phương trình (P) có đỉnh là A(1; -2) và (P) chắn trên đường thẳng 1y x  một dây cung 34MN   2 2 1 . 2 1, 2 35 17 A y x x y x x        2 2. 2 7, 2 35A y x x y x x      Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 7 2 2. 2 1, 2 35A y x x y x x      2 2. 2 1, 2 35A y x x y x x      Bài 7. Xác định a,b để parabol có phương trình 2y x ax b   có tọa độ đỉnh  0;1I . 0, 1A a b   . 1, 2B a b  . 0, 2C a b  . 0, 1D a b  Bai 8. Cho parabol (P) 2y x và đường thẳng : 2 0d x y   . Xác định độ dài dây cung bị chắn bởi d và (P) . 4 2A . 5 2B . 3 2C . 2D Bài 9. Cho (P) 2y x . Tìm tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6    1 2. 4; 2 , 9;3A C C    1 2. 2; 2 , 9;3B C C    1 2. 4;2 , 9;3C C C    1 2. 4; 2 , 9; 3A C C  Bải 10. Cho (P) 2 1 2 y x . Tịnh tiến (P) song song với trục hoành 2 đơn vị về bên phải ta được 1P Phương trình của 1P là   21 . 2 2 A y x    21 . 2 2 B y x    2 . 2C y x  21. 2 2 A y x  Đáp số 1.B 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7.D 8.C 9.A 10.B