Chuyên đề: Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên

GV: TRần thu hằng TRƯỜNG THCS thị trấn đà bắc Chuyờn đề: Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên Đà Bắc, ngày 14 thỏng 11 năm 2010 1/ Định nghĩa : Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0). Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q . Kí hiệu a⋮b Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ước của a. 2/ Các tính chất về chia hết : * Tính chất chung : c) Tính chất bắc cầu : Nếu a⋮b, b⋮c thì a⋮c. b) a⋮a với mọi số a ≠ 0 a) Số 0⋮b với mọi số b ≠ 0. 2/ Các tính chất về chia hết : * Tính chất chung * Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu. d) Nếu a⋮m, b⋮m………………………………….. + Hệ quả : Nếu (a + b)⋮m (hoặc a - b⋮m) và a⋮m …………... Nếu (a + b)⋮m (hoặc a - b⋮m) và b⋮m…………… e) Nếu a⋮m, b⋮m……………………………………… Nếu a⋮m, b⋮m………………………………………. 2/ Các tính chất về chia hết : * Tính chất chung* Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu. * Tính chất chia hết của một tích +Hệ quả: Nếu a⋮m thì an⋮m (n là số tự nhiên ≠ 0). g) Nếu a⋮m, b⋮n thì ab⋮mn + Hệ quả : nếu a⋮b thì an⋮bn. f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. 2/ Các tính chất về chia hết : * Các tính chất khác h) Nếu A⋮B thì mA +nB⋮B , mA – nB⋮B. i) Nếu một tích chia hết cho một số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p. + Hệ quả: nếu an⋮p (p là số nguyên tố) thì a⋮p. j) Nếu ab⋮m, b và m, nguyên tố cùng nhau thì a⋮m. k) Nếu a⋮m, a⋮n thì a⋮BCNN(m,n) . + Hệ quả : Nếu a⋮m, a⋮n, (m,n) = 1 thì a⋮mn Nếu a chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì a chia hết cho tích của chúng. Vớ dụ: số 384 chia hết cho 4 Vớ dụ: số 13175 chia hết cho 25 Vớ dụ: số 25104 chia hết cho 8 Vớ dụ: số 34250 chia hết cho 125 cho 11 Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 Các dấu hiệu chia hết II. Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải: * Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số nào đó, ngoài việc sử dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết đã biết còn phải tuỳ theo từng trường hợp cụ thể để kết hợp với một số kiến thức khác như : + Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa + Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa + Phép chia có dư + Cấu tạo số + Số nguyên tố cùng nhau Ví dụ 1: A = (2 + 22 + 23+ 24 + 25) + (26 + 27 + 28+ 29 + 210) + ....... + (296 + 297 + 298 + 299 + 2100) = 2 (1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 26 (1 + 2 + 22 + 23 + 24) + …. + 296 (1 + 2 + 22 + 23 + 24) = 2.31 + 26 .31 + .... +296 .31 = 31(2 + 26 +... + 296) Vậy A⋮31 - Phương pháp : Chia tổng A thành từng nhóm thích hợp để biến đổi về dạng A = 31.Q rồi áp dụng tính chất Cho A = 2 + 22 + 23 +.......+ 299 + 2100 .Chứng minh rằng A⋮31 Giải : - Phương pháp : Tìm chữ số tận cùng của 34n+1 + 2 rồi sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5. Ví dụ 2: Chứng minh rằng 34n+1 + 2 ⋮5 với mọi n Giải : 34n+1 + 2 = (34 )n . 3 + 2 = 81n .3 + 2 =…..3 + 2 =…5 Vậy 81n .3 + 2 ⋮5 hay 34n+1 + 2 ⋮5 Ví dụ 3: Phương pháp: Vì 2.9=18 và ƯCLN(2,9)=1nên cần chứng minh biểu thức chia hết cho 2 và 9 thì sẽ chia hết cho 18 Chứng minh rằng 1033 + 8⋮18 Giải : 1033 + 8 = 10.............0 + 8 = 10..............08 33 chữ số 0 32 chữ số 0 Số 10.............08 có chữ số tận cùng là 8 nên chia hết cho 2, 33 chữ số 0 có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9 mà ƯCLN(2,9)=1 Nên 1033 + 8⋮18 Ví dụ 4 - Phương pháp: Sử dụng kiến thức về phép chia có dư để biểu diễn a, b rồi tìm hiệu của chúng. Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên c≠ 0 có cùng số dư thì hiệu a - b chia hết cho c. Giải : Ta có a = cq1 + r (0 ≤ r b, a – b = (cq1 + r) - (cq2 + r) = cq1 + r – cq2 - r = cq1 – cq2 = c(q1 – q2) Vậy a – b⋮c Khai thác bài toán : Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, cho 9. Trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có một số là bội của 2 Ví dụ 5: Cho n∊N. Chứng minh rằng : n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 Giải : Do đó n(n + 1)(2n + 1) ⋮2. Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 thì n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 (Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau) Xét hai trường hợp : +Nếu n ⋮3 +Nếu n ⋮3 n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 Thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k∊ N) Khi n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3⋮3 n(n + 1)(2n + 1)⋮3 n(n + 1)(2n + 1)⋮6 Khi n = 3k + 2 thì n + 1 = (k + 2) + 1 = 3k + 3⋮3 n(n + 1)(2n + 1)⋮3 n(n + 1)(2n + 1)⋮6 Vậy :Trong mọi trường hợp ta luôn có n(n + 1)(2n + 1)⋮6 Với a, b là những chữ số khác 0. Hãy chứng minh: aaabbb chia hết cho 37 Ví dụ 6: - Phương pháp: Dùng cấu tạo số để biến đổi về dạng A = BQ Giải: aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b = 111(1000a + b) = 37.3 (1000a +b) Vậy aaabbb chia hết cho 37 Ví dụ 7: Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số. Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn được số chia hết cho 7. Giải: Gọi số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta được số: Y = gabcde Đặt abcde = n thì X = Y = 10n + g 100000g + n Ta có: 10Y – X = 10(100000g +n) – (10n + g) = 1000000g + 10n – 10n – g = 999999g ⋮7 Vậy 10 Y – X chia hết cho 7 Mà X chia hết cho 7 Nên 10Y ⋮7 Do 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y⋮ 7 Hay gabcde ⋮7 Ví dụ 8: Chứng minh rằng 10n + 18n – 1 chia hết cho 27 Phương pháp: biến đổi 10n + 18n – 1 thành tổng các số hạng đều chia hết cho 27. Giải: Ta có 10n + 18n – 1 = 10n – 1 – 9n + 27n = 99......9 – 9n + 27n= n 9 (11.....1 – n) + 27n n 11.....1 – n chia hết cho 3, do đó 9(11..... 1 – n) chia hết cho 27 . n n Vậy 9(11......1 – n) + 27n chia hết cho 27 n Hay 10n + 18n – 1 chia hết cho 27. * Dạng 2 : Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 36 Tìm các chữ số theo điều kiện về chia hết. Ví dụ 9: Giải : Phương pháp : Xét điều kiện để A⋮4 và cho 9 từ đó tìm ra các chữ số. Để A⋮36 thì A⋮4 và 9 Do đó hai chữ số tận cùng của A tạo thành số chia hết cho 4, nghĩa là 2*⋮4 Hay 2*∊ {20 ; 24 ; 28} -Trường hợp 1 : A = 52*20 Để A⋮9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0 phải chia hết cho 9, tức là 9 + * phải chia hết cho 9, do đó * ∊{ 0 ; 9 } - Trường hợp 2 : A = 52*24 Lập luận tương tự ta có * = 5. -Trường hợp 3 : A = 52*28 ta có * = 1 Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp vừa tìm ở trên, ta tìm được các số :52020 ; 52920 ; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36. Ví dụ 10: Vì 13 : 3 dư 1 Nên a + b : 3 dư Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 7a5b1⋮3. Giải : 2 (1) Do a, b là chữ số và a – b = 4 nên : 4≤ a ≤ 9 và 0≤ b ≤ 5 4≤ a + b ≤ 14 (2) Do a – b là số chẵn nên a + b cũng là số chẵn (3) Từ (1),(2),(3) suy ra a + b∊ {8 ; 14} Với a + b = 8 , a – b = 4 Thì a = , b = 6 2 Với a + b = 14, a – b = 4 Thì a = 9, b = 5 Ta được các số 76521 ; 79551 chia hết cho 3 Ví dụ 11: Tìm chữ số a để 1aaa1⋮11. Tổng chữ số hàng lẻ là 1 + a + 1 = a + 2 Giải : Tổng chữ số hàng chẵn là a + a = 2a - Nếu 2a ≥ a + 2, ta có 2a – (a + 2) = a - 2 để 1aaa1⋮11 thì a - 2⋮11 mà a– 2 3). Các ước của 10 là 1 ; 2 ; 5 ; 10. Vì 2x + 1 là số lẻ nên 2x + 1 ∊ {1 ; 5} Ta có  : 10 0 13 2 2 5 Vậy x=0; y=13 Hoặc x=2; y=5 Ví dụ 12: n + 6=(n -1) + Tìm số tự nhiên n sao cho n + 6 ⋮ n – 1 Vì n -1 ⋮ n – 1 7 n + 6 ⋮ n – 1 7⋮n – 1 Do đó n – 1 là ước của 7 n – 1 ∊ {1; 7} Ta có bảng sau: 8 Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì n + 6 ⋮ n – 1 Giải : 2 Ví dụ 13: Tìm số có ba chữ số giống nhau biết rằng số đó có thể viết được dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1. Giải : Gọi số cần tìm là aaa. Theo bài ra ta có: Vì n (n+1)⋮37 nên tồn tại một trong hai thừa số ⋮37. Mà: là số có 3 chữ số nên (n + 1) và n nhỏ hơn 74. Suy ra n = 37 hoặc n + 1 = 37 Vậy số phải tìm là 666 Tổng Kết Học thuộc định nghĩa và các tính chất về quan hệ chia hết Nắm chắc các dạng bài tập có liên quan Tham khảo thêm các dạng bài tập khác trong sách nâng cao Làm các bài tập bổ sung Bài tập tự luyện 1) Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia hết cho 7. 2)Với a, b là những chữ số khác 0. Hãy chứng minh: (abab – baba) chia hết cho 9 và 101 (a > b) 3)Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27 4) Tìm chữ số a, biết rằng 20a20a20a⋮7 5) Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 ⋮7 6)Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó Xin kính chúc các thầy cô sức khỏe, hạnh phúc,chúc các em học tập tiến bộtrân thành cảm ơn