Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

PHÒNG GD & ĐT PHỔ YÊNTRƯỜNG THCS ĐÔNG CAOTỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊNCHUYÊN ĐỀTÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨCTÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Lớp 6, 7I – Lý thuyết* Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) ta cần chứng tỏ rằng:1. (m là hằng số) với mọi x. Bằng cách dùng đến các hằng, bất đẳng thức: Tổng quát: ; 2. Chứng tỏ dấu “=” được xảy ra. (m là hằng số) với mọi x.* Muốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) ta cần chứng tỏ rằng:1. Bằng cách dùng đến các hằng, bất đẳng thức: ; và: với 2. Chứng tỏ dấu “=” được xảy ra.II – Bài tậpBài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Ta có: Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Ta có: Giải:Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcGiải:Nhận xét: Phân thức A có tử số và mẫu số đều dương, tử số không đổi => A đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất.Với mọi x ta có: Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Giải: ta có: Do đó: hay: x = -2Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải:Ta có: và: => Min B = 1 khi: và Tức: x = 1; y = -3Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:b) c) Giải: Ta có: a)a)b) Nhận xét: Phân thức B có tử số và mẫu số đều dương, tử số không đổi => B đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất.Ta có: Vậy: c) Có: Vậy: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨCLớp 8, 9I – Lý thuyết1.1. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn D: M ®­îc gäi lµ GTLN cña f(x,y,...) trªn miÒn |D nÕu 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi tho¶ m·n :1. Định nghĩa1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  |D2.  (x0, y0,...)  |D sao cho f(x0, y0...) = M.Ký hiÖu : M = Max f(x,y,..) = fmax víi (x,y,...)  |D1.2. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn |D : M ®­îc gäi lµ GTNN cña f(x,y,...) trªn miÒn |D ®Õn 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi tho¶ m·n :1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  |D2.  (x0, y0,...)  |D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiÖu : M = Min f(x,y,..) = fmin víi (x,y,...)  |D2. Các bước tìm GTLN, GTNN cña mét biÓu thøc ®¹i sè- Tìm TXĐ của biểu thức.- Chứng minh rằng: f(x,y,...)  M hoặc : f(x,y,...)  N (M, N là hằng số) Chỉ ra có ít nhất một bộ số: (x0, y0,...) sao cho: f(x0, y0...) = M hoặc : f(x0, y0...) = N Kết luận: Max f = M khi x = x0 ; y = y0 ; ... Hoặc : Min f = N khi x = x0 ; y = y0 ; ... 3. Một số dạng bài tập Đa thức có dạng tam thức bậc hai (ax2 + bx + c) hoặc dạng phân thức mà mẫu số có dạng tam thức bậc haiPhương pháp: Biến đổi tam thức bậc hai về dạng hằng đẳng thức là bình phương nhị thức như sau: (1)Do : nên ta có :Hay: Min (ax2 + bx + c) = khi + Nếu a > 0 thì:+ Nếu a < 0 thì: Hay: Max (ax2 + bx + c) = khi Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = -x2 + 3x – 5 Giải: A = -x2 + 3x – 5 = -(x2 – 3x + 5) Có: a = 1, b = -3, c = 5. Áp dụng công thức (1): II – Bài tập cơ bảnA = -(x2 – 3x + 5) Vậy: khi Hoặc: Ta có thể tách như sauA = -x2 + 3x – 5 = -(x2 – 3x + 5) Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2x2 – 10x + 7 Giải: Có: Vậy: . Khi Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2x2 – 8x + 1 Giải:Ta có: C = 2x2 – 8x + 1 Vậy: Min C = -7. Khi x = 2Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = -5x2 – 4x + 1 Giải:Ta có: Hay: Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải:Do đó, Tử số và mẫu số của A là các số dương. A lớn nhất  Mẫu số nhỏ nhất. Nhận xét: Tức: x2 + x + 1 nhỏ nhất.Mà: Vậy: