Chuyên đề Phương pháp nâng cao chất lượng giải toán hình học ở bậc trung học cơ sở

PHƯƠNG PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Ở BẬC THCS TÊN CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ : PHẦN I – MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài: Toán học nói chung và hình học nói riêng có một vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong các nghành khoa học, nó có khả năng rất lớn trong việc phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tư duy lĩnh hội các khái niệm trừu tượng năng lực suy luận logic. Trong quá trình dạy học toán cũng như dạy bất cứ môn học nào ở trường phổ thông điều quan trọng nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải toán trong chương trình bậc THCS. Để giải tốt một bài toán hình học việc trước tiên học sinh phải hiểu được đề bài ( Học sinh phải nắm được đề bài cho cái gì và ta phải tìm cái gì ?) sau đó học sinh phải vẽ được hình chính xác, sau đó chứng minh bài toán ( Khi chứng minh học sinh phải nắm được dạng chứng minh nào ..v..v…. Với mục đích giúp học sinh yêu thích và thấy được sự hấp dẫn của môn hình học, giúp cho không khí của một tiết hình học nhẹ nhàng, giúp cho học sinh chứng minh một bài toán hình một cách đơn giản .Từ đó giúp học sinh học tốt môn hình học và nâng cao chất lượng học tập môn toán. Tôi xin đưa ra một số phương pháp chứng minh hình học nhằm nâng cao chất lượng giải toán hình học ở bậc THCS. NỘI DUNG - 1 2 . Ñoái töïông nghieân cöùu Hoïc sinh cấp THCS vaø qua thöïc tieãn ñaõ giaûng daïy töø naêm 2006 ôû tröôøng THCS Ñöùc Phoå . 3 . Phaïm vi nghieân cöùu Qua nhieàu naêm giaûng daïy ñoái môùi phöông phaùp giaûng daïy theo höôùng tích cöïc . Hoïc sinh tích cöïc phaùt huy khaû naêng tìm toøi saùng taïo cuûa mình vaø treân thöïc teá giaûng daïy ôû tröôøng THCS Ñöùc Phoå töø naêm 2006 ñeán nay ñaõ thaáy ñöôïc söï khaû quan trong vieäc học sinh tự phaân tích vaø giaûi baøi tập hình học. Hoïc sinh höùng thuù trong hoïc taäp, hieåu saâu, nhôù saâu hôn. Cho neân vieäc höôùng daãn cho hoïc sinh chöùng minh moät vaán ñeà naøo ñoù maø phaân tích ñöa baøi toaùn veà daïng baøi toaùn ñaõ bieát thì hoïc sinh laøm baøi ñaït ñöôïc hieäu quaû cao hôn . 4 . Muïc ñích cuûa giaûi phaùp Vieäc giaûi moät baøi taäp hình hoïc cuûa hoïc sinh coù hoïc löïc trung bình hay yeáu quaû laø moät vaán ñeà khoù khaên lôùn ñoái vôùi hoïc sinh. Caùc em khoâng bieát döïa vaøo caùi gì ñeå ñi chöùng minh, khoâng bieát baét ñaàu töø ñaâu, khoâng bieát dung töø nhö theá naøo … Trong một tiết luyện tập môn hình học của học sinh lớp 9 có một em hỏi tôi rằng : “ Khi thầy giải bài tập thì em hiểu nhưng em không biết phải bắt đầu chứng minh từ dâu “ . Chứng tỏ rằng kỷ năng phân tích đề bài của học sinh còn hạn chế Vì vaäïy muïc ñích chính cuûa toâi khi nghieân cöùu laø nhaèm giuùp cho hoïc sinh naém ñöôïc caùch phaân tích baøi toaùn ñeå ñöa baøi toaùn veà nhöõng daïng baøi toaùn cô baûn maø hoïc sinh ñaõ bieát caùch giaûi hay coøn goïi laø nhöõng baøi toaùn thoâng thöôøng. NỘI DUNG - 2 PHẦN II - NỘI DUNG A . CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỂN Đã qua khỏang thời gian làm công tác giáo dục . được trực tiếp truyền thụ kiến thức cho các em học sinh . Bản thân tôi nhận thấy đa số rất ít học sinh có khả năng giải tốt một bài toán , nhất là loại toán hình ở trường phổ thông nói chung và bậc THCS nói riêng .Nguyên nhân của tình trạng trên là : 1/ Về phía giáo viên: Khi giảng dạy truyền thụ kiến thức cho học sinh thường thì giáo viên ít chú ý đến việc tổng hợp kiến thức đó thành một phương pháp chứng minh. Ví dụ : Khi dạy về tam giác cân thì giáo viên phải nêu cho học sinh cách chứng minh một tam giác là tam giác cân. Ví dụ : Khi dạy về tam giác đều thì giáo viên phải nêu cho học sinh cách chứng minh một tam giác là tam giác đều. Giáo viên ít quan tâm đến việc hình thành phương pháp cho học sinh ít quan tâm đến việc rèn luyện kỷ năng cho học sinh . NỘI DUNG - 3 2/ Về phía học sinh: Hiện nay khả năng chứng minh một bài toán hình của học sinh vô cùng khó khăn bởi lẽ: Năng lực tư duy phân tích của học sinh với sự nhạy cảm trong quá trình xác lập tính logic toán học và phương pháp cụ thể trong quá trình chứng minh hình học, khả năng phán đoán một bài toán chứng minh có thể bị hạn chế do nội dung bài học còn mang nặng tính lí thuyết ,kinh viện. Học sinh nắm các kiến thức cơ bản về hình học chưa sâu, kỉ năng vận dụng kiến thức vào bài làm còn rất hạn chế. Học sinh chưa biết hệ thống cũng như kết nối giữa kiến thức nầy với kiến thức kia để giải một bài tập. Học sinh chưa biết phân tích một bài toán để đưa bài toán đó về dạng bài toán cơ bản đã biết cách giải. Do ý thức học tập của học sinh chưa cao chưa thật sự tập trung chú ý để ghi nhớ các định lý, các tính chất, các hệ quả nên khi chứng minh một bài toán học sinh không nhớ kiến thức nào để vận dụng. Học sinh ít có sự liên hệ giữa bài tập nầy với bài tập khác. Học sinh còn mang tính chất học vẹt nên khi gặp bài toán tương tự như bài đã sửa hôm trước vẫn không làm được. NỘI DUNG - 4 Một lý do khách quan nữa là do đặc thù của môn học. Môn hình học là môn học có tính suy luận cao và mang tính trừu tượng.Đòi hỏi học sinh phải biết tư duy, sáng tạo, phân tích tổng hợp… thì mới giải được bài tập Nguyên nhân để dẫn đến chất lượng của bộ môn hình học còn yếu thì có nhiều . Song bằng một số kinh nghiệm giảng dạy của mình . Tôi xin được tham gia đóng góp để hòng mong nâng chất lượng đại trà cho học sinh . Giúp các em hiểu , biết cách làm , biết vận dụng vào thực tế . NỘI DUNG - 5 B . GIẢI PHÁP ĐÃ THỂ NGHIỆM I . Học sinh phải nắm được những yêu cầu cơ bản để giải một bài toán hình học . Gồm các yêu cầu cơ bản sau : 4 yêu cầu 1 . Phải nắm được các khái niệm , các định nghĩa , định lí , hệ quả … ở trong bài giảng phần lí thuyết . Học sinh cần xác định đây là một yêu cầu có tính chất cơ bản vì nếu không thì không có cơ sở để giải toán được . 2 . * Để giải một bài toán , học sinh phải hiểu kĩ bài toán . - Thế nào là hiểu kĩ đề toán ? – Là trả lời được hai câu hỏi lớn : + Đầu bài cho ta những dự kiện ( yếu tố ) nào ? + Ta phải chứng minh những gì ? * Ta phải tiến hành phân tích những cái đã cho , những cái cần tìm . Trong quá trình này ta nên sử dụng một lời khuyên của một nhà toán học : “ Hãy thay cái được định nghĩa bằng cái định nghĩa ”. Ví dụ : Bài cho ta một tam giác ABC cân tại A. Ta có thể hiểu tương đương là : - Hai cạnh bên AB = AC - Hai góc ở đáy = - AH đồng thời là đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác . NỘI DUNG - 6 * Biểu hiện cụ thể để có thể đánh giá học sinh đã hiểu được đề toán là tóm tắt được đề bài bằng cách biểu diễn đề dưới hình thức giả thiết và kết luận một cách đúng , gọn ghi đề dứơi dạng phục vụ cho đề toán về sau . * Biểu hiện tiếp nữa là học sinh minh họa được bằng một hình vẽ cụ thể . Hình vẽ phải đúng và chính xác . Học sinh phải hiểu được nếu vẽ được hình , vẽ đúng và chính xác thì sẽ tránh được vài ngộ nhận sẽ dẫn đến kết luận sai với đề cho. 3 . Nắm vững các phương pháp suy luận như suy diễn , quy nạp , tương tự . Nắm vững các thao tác tư duy , như triừ tượng hóa , cụ thể hóa , đặc biệt hóa , khái quát hóa , so sánh , đối chiếu và nhất là phân tích tổng hợp . Phân tích phải hợp với tổng hợp và phân tích để tổng hợp được sâu sắc , đúng đắn , nhanh chóng . 4 . Học sinh cần biết cách xử lý đối với từng loại bài tập và nắm được những thủ thuật sử dụng cho từng kiểu bài riêng biệt . NỘI DUNG - 7 II . Học sinh phải nắm được một số kiểu toán hình học ở bậc THCS sau : 1 . Loại bài chứng minh các tính chất . 1.1 . Chứng minh sự bằng nhau : 1.1.1 . Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau : - Chỉ rõ chúng là những yếu tố tương ứng của các hình bằng nhau ( Ví dụ : cạnh , đường cao , trung tuyến , phân giác … ) - Chỉ rõ chúng là các cạnh của tam giác cân , đường trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông , nửa cạnh huyền . - Chỉ rõ chúng là các cạnh đối của hình bình hành , hình chữ nhật , hình vuông , hình thoi , các đường chéo hình chữ nhật , hình thang cân , … NỘI DUNG - 8 Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của DC. Chứng minh DM = CN. DM = BN MBND là hbh Dựa vào dấu hiệu nhận biết hbh NỘI DUNG - 9 - Chỉ rõ chúng là những khoảng cách từ một điểm trên đường phân giác của một góc đến hai cạnh của góc ấy . - Chỉ rõ chúng là những giây cung trương các cung bằng nhau hoặc là những tiếp tuyến vẽ từ một điểm đến một đường tròn . - Chỉ rõ chúng bằng đoạn thứ ba . 1.1.2 . Chứng minh các góc bằng nhau : - Chĩ rõ chúng là các góc tương ứng trong tứ giác, tam giác bằng nhau . - Chỉ rõ chúng là các góc ở đáy của hình tam giác cân , hình thang cân , các góc đối của hình bình hành , hình thoi . - Chỉ rõ chúng là các góc cùng bằng, cùng bù, cùng phụ với góc thứ ba hoăc các góc bằng nhau . - Chỉ rõ chúng là những góc cùng tù, cùng nhọn, có cạnh tương ứng song song, hoặc vuông góc, chúng là những góc so le trong, đối đỉnh, đồng vị . - Chỉ rõ chúng là những góc nội tiếp chắn một cung hay hai cung bằng nhau . NỘI DUNG - 10 Ví dụ : Cho ( I ; R ) . HE là một dây cung. Trên một cung tròn lấy hai điểm F và G ( F G ) . Chứng minh . Khi làm bài tập có dạng nầy thì giáo viên phải cho học sinh nhắc lại định nghĩa góc nội tiếp, và tính chất góc nội tiếp để học sinh nhớ lại và vận dụng - Chỉ rõ chúng có những tỷ số lượng giác bằng nhau . 1.1.3 . Chứng minh hai hình bằng nhau : - Đưa về việc chứng minh đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau NỘI DUNG - 11 1.2 . Chứng minh tính song song : 1.2.1 . Tạo với một cát tuyến các góc so le trong hoặc so le ngoài bằng nhau , đồng vị bằng nhau hoặc góc trong hay ngoài cùng phía bù nhau . 1.2.2 . Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba . 1.2.3 . Đường trung bình của một tam giác , một hình thang đối với cạnh đáy . 1.2.4 . Các cạnh đối của hình bình hành , hình chữ nhật , thoi , vuông . 1.3 . Chứng minh tính vuông góc : 1.3.1 . Chúng là những đường phân giác của hai góc kề bù . 1.3.2 . Các cạnh còn lại của hai góc nhọn ( hoặc tù ) bằng nhau mà đã có một cặp cạnh vuông góc . 1.3.3 . Đường nay song song với một đường thẳng vuông góc với đường kia . 1.3.4 . Chúng là đường chéo của hình vuông , hình thoi . 1.3.5 . Chúng là hai cạch của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn . 1.3.6 . Là tiếp tuyến của một đường tròn với bán kính đi qua tiếp điểm . 1.3.7 . Sử dụng tính chất của tam giác vuông : có 1 góc = 1v . Có các cạnh mà độ dài của nó thỏa mãn định lí Pitago. 1.3.8 . Sử dụng tính chất trực tâm trong một tam giác . NỘI DUNG - 12 1.4 . Chứng minh tính đồng quy của ba đường thẳng : 1.4.1 . Chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng kia . 1.4.2 . Chứng minh chúng là những đường đặc biệt trong một tam giác ( đường cao , trung tuyến … ) . 1.4.3 . Ba đường thẳng định trên hia đoạn thẳng song song những đoạn tương ứng tỷ lệ thì đồng quy . 1.5 . Chứng minh tính thẳng hàng : 1.5.1 . Chứng minh = 1.5.2 . Chứng minh AB là đường kính của đường tròn tâm O 1.5.3 . Chứng minh OA , OB cùng song song với một đường thẳng 1.5.4 . Sử dụng tính chất góc đối đỉnh . 1.5.5 . Chứng minh chúng cùng có những tính chất chung để thuộc về một đường thẳng . NỘI DUNG - 13 1.6 . Chứng minh các tính chất chung của các hình : - Quy về việc chứng minh các tính chất trên . 2 . Loại bài tính toán các yếu tố 2.1 . Tính độ dài các đoạn thẳng : Dùng 2.1.1.Định lý đoạn thẳng tỷ lệ . 2.1.2. Định lý PITAGO . 2.1.3.Tỷ số lượng giác . 2.2 . Tính độ lớn của các góc : Sử dụng 2.2.1.Tính chất các góc trong tam giác . 2.2.2.Tính chất các góc trong tứ giác . 2.2.3.Định lý về góc ngoài trong một tam giác . 2.2.4.Định lý về góc nội tiếp . 2.2.5.Định lý về góc ở tâm . 2.2.6.Định lý về góc có đỉnh ở trong hay ngoài đường tròn . NỘI DUNG - 14 3 . Loại bài toán quỹ tích 3.1 . Quỹ tích là đường thẳng : 3.1.1 . Những điểm có khoảng cách đến một đường thẳng cố định bằng một độ dài cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng ấy . 3.1.2 . Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy . 3.1.3 . Quỹ tích những điểm cách đều hai cạnh của một góc là đường phân giác của góc ấy . 3.2 . Quỹ tích là đường tròn : 3.2.1 . Quỹ tích những điểm có khoảng cách đến một điểm cố định bằng một độ dài cho trước là đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính bằng độ dài cho trước . 3.2.2 . Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB dưới 1 góc cho trước là hai cung chứa góc a vẽ trên AB . Nếu a = thì quỹ tích là đường tròn đường kinh AB . 3.3. Quỹ tích của một điểm : Quỹ tích một điểm là đưa về một trong năm quỹ tích cơ bản nói trên . 4 . Loại bài toán dựng hình : 1 . Phải nắm được tính chất của hình phải dựng . 2 . Phải nắm được điều kiện để xác định hình đó . NỘI DUNG - 15 C . KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC. - Vôùi yù töôûng cuûa mình vaø baûn thaân töï maøy moø , saùng taïo , suy nghó ñeå ñöa ra nhöõng höôùng môùi trong giaûng daïy tieát hoïc hình học . Baûn thaân toâi ñaõ thöïc hieän ñöôïc trong nhiều năm vaø treân nhiều khối lớp . Toâi nhaän thaáy raèng daïy tieát giải baøi tập hình học maøà hướng học sinh vaøo baøi toaùn cơ bản maø học sinh ñaõbiết caùch giải laøm cho hoïc sinh hieåu baøi hôn , haêng say hôn , nhôù laâu hôn so vôùi nhöõng tieát khoâng hướng dẫn học sinh đñöa nội dung cần chứng minh về dạng baøi toaùn cơ bản . - Khi giaûi moät baøi taäp maø hướng dẫn học sinh đưa nội dung cần chứng minh về dạng baøi toaùn cơ bản giaùo vieân toán ít veà thôøi gian giaûi thích nhöõng tình huoáng vaø tieát kieäm thôøi gian vieát leân baûng .Nhöõng thôøi gian ñoù seõ laø phaàn chuaån bò , tranh luaän , giaûng giaûi phaùt bieåu cuûa hoïc sinh . Giuùp hoïc sinh coù yù thöùc töï suy nghó , töï ruùt ra keát luaän cho mình ôû baøi hoïc ñoù. Ñoù cuõng chính laø caùch hoïc , töï hoïc cuûa hoïc sinh theo höôùng tích cöïc . NỘI DUNG - 16 * Keát quaû cuï theå : Trong quaù trình giaûng daïy töø naêm 2006 ñeán nay toâi ñaõ aùp duïng giaûi phaùp naày vaøo trong caùc tieát luyeän taäp, oân taäp, tiết tự chọn vaø loàng vaøo trong quaù trình kieåm tra baøi cuõ thì thu ñöôïc moät so á keát quaû nhö sau : - Qua 3 naêm thöïc nghieäm ôû hai khoái lôùp 7 vaø 8 toâi thu ñöôïc keát quaû nhö sau NỘI DUNG - 17 PHẦN III - KẾT LUẬN - Qua keát quaû nghieân cöùu vaø tìm kieám giaûi phaùp cho vieäc reøn luyeän khaû naêng tö duy phaân tích vaø tö duy toång hôïp toaùn cuûa hoïc sinh toâi thaáy raèng hoïc sinh cuûa chuùng ta naêng löïc tö duy chöa cao. Coù leõ naêng löïc tö duy cuûa caùc em haïn cheá bôûi chòu söï chi phoái cuûa nhieàu maët nhö giôùi tính , gia ñình xaõ hoäi moân hoïc ôû tröôøng quaù ña daïng phong phuù ... - Ñeå giuùp caùc em coù khaû naêng tö duy phaân tích vaø naêng löïc xaùc laäp tính quy luaät toaùn hoïc cuûa hoïc sinh, trong quaù trình daïy hoïc caàn höôùng daãn cho hoïc sinh chuùng ta thöïc hieän caùc thao taùc tö duy logíc , phaûi taïo moïi ñieàu kieän ñeå phaùt trieån tö duy tröøu töôïng, phaân tích phaùn ñoaùn nhanh nheïn hôïp lyù . - Ngaøy nay vôùi chöông trình saùch giaùo khoa vaø phöông phaùp giaûng daïy môùi, phöông tieän daïy hoïc ngaøy caøng ña daïng phuïc vuï thieát thöïc cho vieäc giaûng daïy. Vieäc quan taâm ñeán khaû naêng tö duy cuûa hoïc sinh caøng ñöôïc coi troïng vì vaäy toâi cuõng maïnh daïn vieát taäp taøi lieäu naøy mong caùc baïn ñoàng nghieäp coi ñaây chæ laø vaán ñeà ñaët ra ñeå baûn thaân toâi vaø taát caû chuùng ta cuøng coù yù kieán tham khaûo, ruùt kinh nghieäm moãi ngöôøi moãi yù sao cho töï baûn thaân NỘI DUNG - 18 moãi giaùo vieân coù theâm moät bieän phaùp nhoû, vôùi muïc ñích naâng cao hôn nöõa chaát löôïng cuûa boä moân toaùn hình ôû baäc THCSvaø ñeå phaàn naøo phaùt hieän ra nhöõng hoïc sinh coù naêng khieáu trong nhaø tröôøng chuùng ta vaø giuùp caùc em phaùt huy ñöôïc khaû naêng tö duy cuûa mình . Trên đây chỉ là một số giải pháp đưa ra để quý thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp tham khảo . Rất mong sự đóng góp chân tình để cùng nhau có những giải pháp công hiệu nhất, nhằm nâng cao chất lượng môn hình học cho học sinh , nhất là phân môn hình học ở bậc THSC . Ñöùc Phoå , Thaùng 02 naêm2009 Ngöôøi vieát Buøi Anh Tuøng NỘI DUNG - 19 Kết thúc