Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử

Phần chung 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú trọng. 1.2. Cơ sở lý luận Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm. Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn được ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó. Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ... Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm. 1.3. Cơ sở thực tiễn Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio. Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi. Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này. 2. Nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử. - Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài . - Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy. - Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu. 3. Giới hạn của đề tài Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại hai trường: Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 9 4. Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 9 của Trường THCS Dân tộc nội trú và Trường THCS Nguyễn Thái Học. 5. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận. b) Phương pháp khảo sát thực tiễn. c) Phương pháp quan sát. d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 6. Thời gian nghiên cứu Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007 7. Tài liệu tham khảo Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau: Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9. Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn) “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH). Nội dung đề tài 1. Nội dung thực hiện 1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1 + Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử. + Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy: anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( xn + xn – 1 + …..+ ) ( với c0, c1 ). b) Định nghĩa 2 Giả sử P(x)P là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P. 1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1 Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.” b) Định lý 2 Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức < 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0”. c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Giả sử f(x) = a0 + a1x + ….. + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước của các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q. 1.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. 1.2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược). Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + 6 Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 1.2.2 . Phương pháp nhóm các hạng tử Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ : Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x6 + x4 + x2 + 1 Giả: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + 1 = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + 1 – y2 Giải: Ta có: B = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + 1 + y ) Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1 Giải: Ta có : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1 = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1) Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z Ta có : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y) nên : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2)) = (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)) = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 1.2.3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác. Các hằng đẳng thức thường dùng là : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau đây là một số bài tập cụ thể: Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Giải: Ta có: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 ) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau : Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) = 3(z – x)(y – z)(x – y) Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x8 – 28 Giải: Ta có : P = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 1.2.4. Phương pháp thực hiện phép chia: Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x). Sau đây là một số ví dụ cụ thể: Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0 Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0 Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0 Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn. Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau : 1 6 13 14 12 8 -2 1 4 5 4 4 0 Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau : 1 4 5 4 4 -2 1 2 2 2 0 Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau : 1 2 2 2 -2 1 0 1 0 Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 : 1; 2; 3; 4; 6 ; 9; 12; 18; 36. Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0 Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0 Nên chia Q cho (x + 2), ta được : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 1.2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta được : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được : A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 – 3x6 + 1 Giải: B = x12 – 3x6 + 1 Đặt y = x6 (y ) Đa thức đã cho trở thành : B = y2 – 3y + 1 = y2 – 2y + 1 – y = (y – 1)2 – y = (y – 1 - )(y + 1 +) (*) Thay : y = x6 vào (*) được : B = (x6 – 1 - = (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 - 3x2 + 3x + - 2 Giải: Đặt : y = x - , ta có x = y + A = (y + )3 - 3(y + )2 + 3(y + ) + - 2 = y3 + 3y2 + 3y.2 + 2 - 3(y2 + 2y + 2) + 3(y + ) + - 2 = y3 - 3y – 2 = y3 - y – 2y – 2 = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - vào (*), được : A = (x - + 1)2(x - - 2) Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Giải: Ta có: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được : M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử. Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Giải: Giả sử x , ta viết đa thức dưới dạng : A = x2((x2 + ) + 6( x - ) + 7 ) Đặt y = x - thì x2 + = y2 + 2 Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) 2 Thay y = x - , ta được A = = (x2 + 3x – 1)2 Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0 Nhận xét : Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + …..+ a1x + a0 Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay : A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an + +…..+ + Sau đó đặt y = x + ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập trên. Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành : A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + 4 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + 4 - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta được : A = (x + y – 4)( x + y + 3) Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức A trở thành : A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta được : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta có : A + B + C = 0. Nên A + B = - C Lập phương hai vế : (A + B)3 = - C3 A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3 A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B) A3 + B3 + C3 = 3ABC Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được : (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 1.2.6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ. Sau đây là một số ví dụ : Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 – 6x + 5 Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau: Cách 1: A = x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách 2 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 1 - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách 3 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 6x + 9) – 4 = (x – 3)2 – 4 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách 4 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 1) – 6x + 6 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + 1 – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách 5 : A = x2 – 6x + 5 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách 6 : A = x2 – 6x + 5 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4 = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách 7 : A = x2 – 6x + 5 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách 8 : A = x2 – 6x + 5 Đặt f(x) = x2 – 6x + 5 Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho (x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như sau : Bước 1 : lấy tích a.c = t Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc. Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - 3 Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 – x2+ 3x2 – 3 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 + 3x2 – x2– 3 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 ) + 2x2 – 1 – 2 = (x4 – 1) + 2x2– 2 = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 + 2x2 + 1) - 4 = (x2 + 1)2 – 4 = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 – 9) + 2x2 + 6 = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + 1 Giải: Cách 1 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) Cách 2 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) Cách 3 : A = x4 + x2 +