Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử

Trường Ptdt nội trú h. mang yang Giáo viên: quưn Chuyên đề: “ Phân tích đa thức thành nhân tử ” I./ Đặt vấn đề ở trường phổ thông học sinh được học rất nhiều bộ môn khác nhau. Một trong những bộ môn được các em yêu thích đó là môn toán. Bởi lẽ nó là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập. Việc học tốt môn toán là cơ sở để giúp các em học tốt những môn khác. Là một giáo viên dạy toán tôi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải đối với từng loại toán là rất cần thiết. Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: “ Phân tích đa thức thành nhân tử”. Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác như giải phương trình, rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức... Qua quá trình công tác giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Ngược lại đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập. Trong tôi lúc nào cũng đặt ra một câu hỏi “làm thế nào để cho các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với dạng toán này". Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đưa ra các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phương pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này. Trong chương trình đại số 8 sách giáo khoa có đưa ra bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp các phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng trực tiếp các phương pháp trên mà giải được và dạng toán hay gặp nhất và gây khó khăn cho các em đó là phân tích đa thức bậc hai có dạng f(x) = ax2 + bx + c thành nhân tử. Gặp các bài như vậy thì các em lại lúng túng không biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải. Để giải quyết vấn đề đó, tôi đi sâu vào phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm giúp các em có thể tự tin và giải tốt những bài toán dạng này. Đồng thời giúp cho các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau. Từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ môn toán . II./GiảI quyết vấn đề 1- Biện pháp thực hiện Để có được kết quả tốt trong việc dạy và học môn toán đặc biệt là dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử , cũng như việc vận dụng bài toán này để giải các bài toán khác thì một trong các biện pháp thực hiện đó là xây dựng hệ thống bài tập về dạng phân tích đa thức thành nhân tử. Trong mỗi phương pháp giải tôi luôn đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó phù hợp với từng đối tượng học sinh. Tuy nhiên trong mỗi bài toán đưa ra cần lưu ý cho học sinh không chỉ có một cách giải .Trong mỗi bài toán đưa ra tôi đều tìm tòi những lời giải khác nhau để tìm ra lời giải thích hợp nhất. Mỗi phương pháp giải tôi đều đưa ra các bài tập khác nhau nhằm mục đích phát triển bài toán . Với kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn không thể tránh khỏi những khiếm khuyết trong quá trình vận dụng và thực hiện. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp để xây dựng và hoàn thiện hơn nữa các phương pháp giải bài toán : “Phân tích đa thức thành nhân tử”. 2- Nội dung Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán : “Phân tích đa thức thành nhân tử”. a- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác. b- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: (A+B) 2 = A2+2AB+B2 (A-B) 2 = A2-2AB+B2 A2-B2 = ( A-B)(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3 A3-B3 =(A- B)(A2 +AB +B2) A3+B3 =(A+B)(A2 - AB +B2) c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường a. Đặt nhân tử chung b. Dùng hằng đẳng thức c. Nhóm các hạng tử d. Phối hợp các phương pháp trên d. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác: a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử b. Thêm, bớt cùng một hạng tử c. Đặt ẩn phụ d. Dùng phương pháp hệ số bất định e. Nhẩm nghiệm e. Đổi dấu một hạng tử: A=-(-A) f. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0 h. Cho đa thức f(x) = anxn + an -1xn-1 + ..... + a2x + a . Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a. * Trong các phương pháp trên, tôi sẽ nghiên cứu và đi sâu vào việc phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Và dạng toán tiêu biểu đại diện cho phương pháp này là phân tích đa thức x2 + px + q hoặc ax2 + bx + c ( a 0; a 1 ) thành nhân tử. * Ví dụ: - Trước tiên, ta xét dạng toán phân tích đa thức x2 + px + q thành nhân tử. Đây là dạng toán khá khó, gây rất nhiều khó khăn cho HS nếu đa thức x2 + px + q không phải là các dạng hằng đẳng thức quen thuộc. Việc tách hạng tử nào để có thể sử dụng các phương pháp đã học đưa đa thức x2 + px + q thành nhân tử là khá phức tạp. Chính vì vậy, phương pháp sau đây có thể giúp HS tự tin và giải quyết được vấn đề trên. Thật vậy, ta xét hằng đẳng thức sau: ( x + m ) ( x + n ) = x2 + ( m + n )x + m.n Nếu hệ số p có thể tách được p = m + n sao cho m.n = q thì ta có thể viết lại hằng đẳng thức trên như sau: x2 + px + q = ( x + m )( x + n ). * Ta có cách làm cụ thể như sau: Phân tích p = m + n sao cho q = m.n, thì khi đó: x2 + px + q = ( x + m )( x + n ). * Ví dụ 1> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 10 b) x3 – 8x2 + 12x c) x2 - 9x + 20 d) x2 + 13x + 36 e) x2 - f) Giải a) x2 + 7x + 10 = x2 + ( 2 + 5 )x + 2.5 b) x3 – 8x2 + 12x = x( x2 – 8x + 12 ) = ( x + 2 )( x + 5 ) = xx2 +( - 6 - 2)x + (-6)(-2) = x( x - 6 ) ( x - 2 ) c) x2 - 9x + 20 = x2 + ( - 4 - 5)x + ( - 4 )( -5 ) = ( x - 4 )( x - 5 ) d) x2 + 13x + 36 = x2 + ( 4 + 9 )x + 4.9 = ( x + 4 )( x + 9 ) e) x2 - = = f) = = - Tiếp theo, ta phân tích đa thức ax2 + bx + c ( với a 0; a 1) thành nhân tử. Đây là dạng bài toán phức tạp và khó hơn rất nhiều so với dạng trên. Và sau đây là các bước phân tích đa thức ax2 + bx + c ( với a 0; a 1) thành nhân tử: * Cách làm: Bước 1: Lấy tích a.c = t Bước 2: Phân tích t thành hai nhân tử: t = piqi Bước 3: Tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pj , qj sao cho pj + qj = b. Bước 4: Viết ax2 + bx + c = ax2 + pj x + qjx + c Bước 5: Nhóm số hạng và đưa nhân tử chung ra ngoài Ví dụ 2> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2-3x-1 b) 6x2 - x - 15 c) 3x2 - 10x - 8 d) 5x2 + x - 18 e) 6x2 + 23x + 7 f) 7x2 + 15x + 2 Giải a) 4x2-3x-1 B1: Ta có : 4. ( - 1 ) = - 4 B2: - 4 = ( - 2). 2 = ( - 4) .1 = ( - 1).4 B3: Ta thấy: (- 4) + 1 = - 3 ( = b ) B4 - B5: Do đó: 4x2-3x-1 = 4x2 - 4x + x - 1 = 4x( x - 1) + ( x - 1 ) = ( x - 1 )( 4x + 1 ) b) 6x2 - x - 15 Ta có: 6. ( - 15 ) = - 90 = - 2. 3. 3. 5 = (- 10).9 Mà ( - 10 ) + 9 = - 1 ( = b ) Nên ta có: 6x2 - x - 15 = 6x2 + 9x - 10x - 15 = 3x( 2x + 3 ) - 5( 2x + 3 ) = ( 2x + 3 )( 3x - 5) c) 3x2 - 10x - 8 = 3x2 - 12x + 2x - 8 = 3x( x - 4 ) + 2( x - 4 ) = ( x - 4 ) ( 3x + 2 ) d) 5x2 + x - 18 = 5x2 + 10x - 9x - 18 = 5x ( x + 2 ) - 9( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( 5x - 9 ) e) 6x2 + 23x + 7 = 6x2 + 2x + 21x + 7 = 2x ( 3x + 1) + 7( 3x + 1) = ( 3x + 1)( 2x + 7 ) 7x2 + 15x + 2 = 7x2 + x + 14x + 2 = x ( 7x + 1 ) + 2( 7x + 1) = ( 7x + 1 ) ( x + 2 ) * Trên đây là hai dạng toán thường gặp và phổ biến trong chương trình toán 8, nhờ phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử nêu trên mà HS có thể giải quyết được những dạng toán này một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn. Tuy nhiên, khi gặp bài toán dạng này không phải lúc nào đều sử dụng phưong pháp trên. Tùy theo đặc thù từng bài toán mà có thể phân tích theo nhiều phương pháp khác nhau miễn là cách đó nhanh nhất và dễ hiểu nhất. Thật vậy, ta có thể phân tích các bài toán sau theo các cách khác, chẳng hạn: Ví dụ 3> Phân tích đa thức thành nhân tử a. x2-7x+12 b. 4x2-3x-1 Giải a. x2-7x+12 Cách 1: Sử dụng phương pháp nêu trên, ta có: x2 - 7x + 12 = x2 + ( - 4 -3 )x + ( -4)( - 3 ) = ( x - 4 )( x - 3 ) Cách 2: Tách số hạng -7x thành - 4x-3x Cách 3: Tách số hạng 12 thành 21- 9 Ta có x2-7x+12 =x2-4x-3x +12 x2-7x+12 =x2-7x +21-9 =(x2-4x)-(3x -12) =(x2-9) –(7x-21) = x(x-4)-3(x-4) =(x-3) (x+3) -7(x-3) =(x-4)(x-3) =(x-3) (x -4) b. 4x2-3x-1 Cách 1: Tách 4x2 thành x2+3x2 Cách 2: Tách -3x thành - 4x +x Ta có 4x2-3x-1 4x2-3x-1 = 4x2-4x +x -1 =x2+3x2-3x-1 = 4x(x-1)+ (x -1) =(x2-1) + (3x2-3x) = (x -1)(4x+1) =(x-1)(x+1) +3x(x-1) =(x-1)( 4x +1) Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 +3 4x2-3x-1 =4x2-3x -4 +3 =4(x-1)(x+1) -3 (x-1) =(x-1)(4x+1) * Trong thực tế, việc phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ dừng lại ở tam thức bậc hai như đã nêu trên mà còn có những bài toán bậc lớn hơn 2 và phức tạp hơn nhiều. Để giải quyết những bài toán như thế thì phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử cũng có ứng dụng khá hiệu quả. Chẳng hạn: Ví dụ 4> Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3-2x -4 b) x3+8x2+17x +10 c) x3+3x2 +6x +4 d) x3-11x2+30x Giải x3- 2x - 4 b. x3+8x2+17x +10 =.x3-2x - 8+4 =x3+x2+7x2 + 10x +7x + 10 =(x3-8)- (2x-4) =x2(x+1) +7x(x+1) +10(x+1) =(x-2)(x2+2x +4)- 2(x-2) =(x+1)(x2 +7x +10) =(x - 2)(x2 + 2x + 2) =(x+1)(x2 + 2x +5x+10) =(x+1) [x(x+2) +5(x+2)] =(x+1)(x+2)(x+5) c) x3+3x2 +6x +4 d) . x3-11x2+30x =x(x2-11x +30) =x3+x2 +2x2 +2x +4x +4 =x(x2 -5x-6x +30) =x2(x+1) +2x(x+1) +4(x+1) =x [x(x-5) -6(x-5)] =(x+1)(x2 +2x +4) = x(x-5)(x-6) Đây là những bài toán khó, đòi hỏi người phân tích phải nhạy bén, có kiến thức tổng quát và biết vận dụng sáng tạo cho từng bài toán cụ thể. Tuy nhiên, xin lưu ý rằng không phải đa thức nào đều có thể phân tích thành nhân tử. Vậy làm thế nào để biết được một đa thức có phân tích được hay không? Ta dựa vào định lí sau: Một đa thức: axn + nn - 1xx - 1 + ....... + a1x + a Đa thức này có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do a. Chẳng hạn: Đa thức: x2 + 2x + 4 ( trong câu c ) không phân tích được bởi vì: Nếu phân tích được thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ước của 4. Ta thấy: Ư(4) = {1; 2; 4} thử các gía trị đó đều không phải là nghiệm của đa thức x2 + 2x + 4 nên đa thức này không phân tích được nữa. * Một vài ứng dụng của phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Ví dụ 5> Giải các phương trình sau: a) x2 + 11x + 28 = 0. b) x2 – 8x + 15 = 0 b) 4x2 + 22x + 30 = 0 d) 60x + 18x2 – 6x3 = 0 - Đây là những phương trình bậc 2 hoặc bậc 3, phương pháp giải những phương trình này thì học sinh chưa học. Tuy nhiên, nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử HS có thể đưa các phương trình trên về dạng phương trình tích và giải được chúng theo phương pháp đã biết : A(x ). B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0. Giải x2 + 11x + 28 = 0 x2 + ( 4 + 7 )x + 4.7 = 0 ( x + 4 )( x + 7 ) = 0 x + 4 = 0 hoặc x + 7 = 0 x = - 4 hoặc x = -7. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = b) x2 - 8x + 15 = 0 x2 + ( -3 - 5)x + ( -3)(-5) = 0 ( x - 3)(x - 5) = 0 x - 3 = 0 hay x - 5 = 0 x = 3 hay x = 5 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = c) 4x2 + 22x + 30 = 0 2x2 + 11x + 15 = 0 2x2 + 6x + 5x + 15 = 0 2x( x + 3) + 5( x + 3 ) = 0 ( x + 3 )( 2x + 5) = 0 x + 3 = 0 hay 2x + 5 = 0 x = - 3 hay x = Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là d) 60x + 18x2 - 6x3 = 0 x3 - 3x2 - 10x = 0 x( x2 - 3x - 10 ) = 0 x( x2 - 5x + 2x - 10 ) = 0 x( x( x - 5) + 2( x - 5))= 0 x(x - 5)(x + 2) = 0 x = 0 hoặc x = 5 hoặc x = -2. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: Ví dụ 6> Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A = 18x3 + 24x2 - 10x tại x = - b) B = 35x2 - 57x3 - 44x4 tại x = Gặp những bài toán như thế này ta không thể thay trực tiếp giá trị của x vào biểu thức ban đầu vì làm như thế sẽ dẫn đến các phép tính toán rất phức tạp. Vì vậy bắt buộc ta phải phân tích các đa thức đã cho thành nhân tử rồi thay các giá trị của x vào biểu thức đã được phân tích đó. Giải Ta có: A = 18x3 + 24x2 - 10x = 2x( 9x2 + 12x - 5) = 2x( 9x2 + 15x - 3x - 5 ) = 2x( 3x + 5)( 3x - 1 ) Ta thay x =- vào biểu thức 2x( 3x + 5)( 3x - 1 ) ta được A = khi x = - b) Ta có: B = 35x2 - 57x3 - 44x4 = - x2 ( 44x2 + 57x - 35 ) = - x2 ( 44x2 - 20x + 77x - 35 ) = -x2 ( 44x2 - 20x) + ( 77x - 35 ) = -x2 ( 11x - 5 ) ( 4x + 7 ) Thay x = vào biểu thức -x2 ( 11x - 5 ) ( 4x + 7 ) ta được B = 0. Vậy giá trị của biểu thức B tại x = là B = 0. * Trên đây là phương pháp phân tích đa thức: “tách một hạng tử thành nhiều hạng tử”. Nó có vận dụng khá hiệu quả trong việc phân tích các đa thức dạng tam thức bậc hai (x2 + px + q hoặc ax2 + bx + c với a 0; a 1). Tuy nhiên, khi làm toán dạng này không phải lúc nào cũng áp dụng một khuôn mẫu theo một phương pháp giải cố định mà tuỳ từng bài tập học sinh lựa chọn cho mình một phương pháp giải thích hợp để có một cách phân tích nhanh nhất và có hiệu quả nhất. III./ Kết luận: Tóm lại, trong quá trình viết chuyên đề này tôi cũng đã cố gắng tìm tòi các phương pháp giải cho từng dạng toán cụ thể, tìm các cách giải khác nhau cho từng bài toán nhằm kích thích, phát triển tư duy cho học sinh để cho học sinh có hứng thú với bài học và góp phần tính tích cực, chủ động trong học tập và nhằm vào mục đích cuối cùng là học sinh hiểu bài, nâng cao chất lượng học tập và biết vận dụng vào thực tiễn của cuộc sống. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiều HS khá giỏi vận dụng khá linh hoạt cho từng dạng toán khác nhau và tỏ ra rất hứng thú về chủ đề này nên kết quả đạt được khá khả quan. Bên cạnh đó, một vài HS còn khá bỡ ngỡ khi gặp dạng toán này, nhất là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử. Nên theo tôi là người giáo viên trước hết phải chuẩn bị chu đáo phục vụ cho bài dạy, phải phân loại từng bài toán và đưa ra các cách giải cho từng dạng để cho HS nhận dạng và vận dụng thích hợp nhất. Đầu tiên giáo viên đưa ra hệ thống bài tập có tính chất đơn giản sau đó mới nâng cao dần lên để học sinh tư duy một cách có hệ thống. Giáo viên phải năng động biết phối hợp các phương pháp vào từng phần từng bài cụ thể để học sinh chủ động giải toán có hiệu quả. Đối với học sinh thì học sinh là người chủ động tích cực làm việc. Biết phân tích bài toán để tìm hướng giải từ đó có thể kết luận được bài toán. Bên cạnh đó học sinh phải luôn có ý thức tự giác học tập trên lớp, làm bài tập ở nhà, phân tích, đánh gía, tìm tòi để đi đến kết quả đúng và chính xác. Phải có kiến thức cơ bản luôn tìm ra hướng giải quyết thích hợp. Do vậy, để nâng cao chất lượng học tập toàn diện cho học sinh trước hết nhà trường cần cung cấp đủ tài liệu tham khảo. Thường xuyên tổ chức chuyên đề để giáo viên có điều kiện trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ. Trên đây là những ý kiến đánh giá của tôi được trình bày trong chuyên đề này, trong qúa trình trình bày và thực hiện chắc không tránh khỏi những thiếu sót và sai lầm rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn!