Chuyên đề Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức A . Kiến thức cơ bản. Phần I: Định nghĩa - Tính chất 1. Định nghĩa - Ta có A > B A - B > 0 A B  A - B 0 - Các BĐT A > B và C > D gọi là hai BĐT cùng chiều. Các BĐT A > B và E B => C > D ta nói BĐT C > D là hệ quả của BĐT A > B - Nếu ta có A > B E > F ta nói BĐT A > B và E > F là hai BĐT tương đương I. Kiến thức cơ bản. 2. Tính chất - Tính chất 3: a > b và c > d => a + c > b + d - Tính chất 1: Nếu a > b và b > c thì a > c Hệ quả: a > b + c a - c > b 0 n thì am b > 0 và c > d > 0 => ac > bd - Tính chất 6: a > b >0, n nguyên dương => an > bn - Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n thì am > an Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1, a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 Ví dụ 1:Chứng minh Có hai cách chứng minh BĐT: - Cách 1: Biến đổi BĐT cần chứng minh thành một BĐT tương đương mà ta biết là đúng. - Cách 2: Biến đổi tương đương BĐT đã biết thành BĐT cần chứng minh. Luôn đ úng Cách khác: Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1, a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 Ví dụ 1:Chứng minh Luôn đ úng Cách khác: Cách khác Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1, a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 b) Ví dụ 2 Lời giải: (BĐT luôn đúng) Vậy Dấu bằng xảy ra khi: a= b = c = 1 Vậy Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1, a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 (BĐT luôn đúng) Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức a luôn đúng với x, y, z không âm. Dấu = xảy ra khi x = y = z Với x, y z không âm Cách khác Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1, a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 Có hai cách chứng minh BĐT: - Cách 1: Biến đổi BĐT cần chứng minh thành một BĐT tương đương mà ta biết là đúng. - Cách 2: Biến đổi tương đương BĐT đã biết thành BĐT cần chứng minh. Bài 2:chứng minh bất đẳng thức sau Chứng minh tương tự ý b Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1, a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 Bài 2:chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT luôn đúng) b) Lập bất đẳng thức có nội dung như a với 3 phần tử Phần còn lại chứng minh tương tự c) Lập bất đẳng thức tương tự với 2 phần tử là x, y Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1, a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 Bài 3 : Chứng minh rằng: Lời giải: Bình phương hai vế của BĐT ta có: Bài 5 Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1,a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 Bài giải Luôn đúng Bất đẳng thức Côsi – chỉ áp dụng với các số không âm. Phát biểu: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Viết bất đẳng thức Côsi với 2 số a2, b2 và Đáp án Phương pháp biến đổi tương đương Sau đây tôi xin giới thiệu 1 phương pháp cụ thể sau: A. Kiến thức cơ bản. B. Một số phương pháp chứng minh BĐT Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức . Dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức Cơ bản đã biết hoặc điều hiển nhiên đúng: 1, a2 ≥ 0 và -a2 ≤ 0 Bài 7:Chứng minh BĐT sau Lời giải: Bât đẳng thức trên luôn đúng với mọi x, y dương Với x, y dương Ôn tập các tính chất về BĐT, các phương pháp chứng minh BĐT và xem lại các bài tập đã chữa. Sưu tầm các bài tập về BĐT thức và vận dụng chứng minh. Với mọi x,y, z chứng minh: 1019x2+18y4+1007z2> 30xy2+6y2z+2008zx Hướng dẫn về nhà: