Chuyên đề Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔGIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINH CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Báo cáo viên: Đoàn Tấn LựcLỜI NÓI ĐẦU Chuyên đề được biên soạn nhằm cung cấp cho người đọc những kỹ năng và phương pháp giải các phương trình , bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối. Đây là một chuyên đề mà học sinh thường gặp trong giải toán đại số phổ thông, các em cũng thường hay lung túng khi gặp dạng này. Vì vậy việc nghiên cứu chuyên đề này là hết sức cần thiết và có ý nghĩa quan trọng cho các em, nó trang bị cho các em những tri thức cần thiết về phương pháp giải toán trị tuyệt đối mà các em sẽ gặp ở toán đại số phổ thông hay trong các kì thi tuyển đại hocï và cao đẳng. Tôi hy vọng rằng, thông qua chuyên đề này các em có được nhiều điều bổ ích trong lĩnh vực toán học của mình. Chuyên đề được hồn thành với việc tham khảo một hệ thống sách, báo hiện có về chuyên đề này và sự đóng góp tận tình của các thầy cô giáo trong tổ toán- tin Trường THPT Lăk. Tuy nhiên không thể tránh khỏi những sai sót trong quá trình biên soạn, rất mong được sự phản hồi của các thầy cô giáo và các em học sinh..NỘI DUNGPHẦN 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GTTĐSơ đồ giải:Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa cho phương trình, bất pt.Bước 2: Lựa chọn phương pháp thích hợp. PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương ( đã sử dụng định nghĩa). PP2: Phương pháp chia khoảng. PP3: Sử dụng tính chât. PP4: PP đặt ẩn phụ PP5: SưÛ dụng tính chất hàm số. PP6: Phương pháp đồ thị. PP7: Sử dụng điều kiện cần và đủ. PP8: Phương pháp đính giá. Bước 3: Kết luận nghiệm.PHẦN 1CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GTTĐ PHƯƠNG PHÁP 1:SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNGXuất phát từ định nghĩa: Chú ý: Khi sử dụng pp này ta có thể bỏ qua bước 1 để giảm độ phức tạp của bài toán. Dạng 1: Phương trình dạng Chú ý: Tập nghiệm của phương trình (1) là hợp của các tập nghiệm của (a) và (b). nếunếu  Giải:KL: Phương trình (1) có các nghiệm là Ví dụ 1:Giải phương trình sauDạng 2: Phương trình dạng Phương trình (2)Hoặc Chú ý: Nếu g(x) không chứa tham số ta sử dụng phép biến đổi (I) Nếu f(x) không chứa tham số ta sử dụng phép biến đổi (II) Trong trường hợp của f(x) và g(x) đều chứa tham số thì tuỳ vào độ phức tạp của f(x) và g(x) ta lựa chọn phép biến đổi (I) hoặc (II). Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải:KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm: Ví dụ 2 : Cho pt a) Giải phương trình khi b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhât. Giải:Phương trình được biến đổi về dạng: Với , phương trình được chuyển về :KL: Với phương trình có các nghiệm  là x = -1 và b) Giải (b): (b) cho ta , nghiệm này chấp nhận được khi Giải (a):, ta có Nếu thì cả (a) và (b) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm.Nếu thì phương trình (a) có nghiệm x =- 5/8, phương trình (b) vô gnhiệm, nên phương trình (3) có nghiệm duy nhấtNếu ta chứng minh được rằng (b) có ít nhất 1 nghiệm. Vậy pt (3) có nhiều hơn một nghiệm.Kết luậnVới thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .PHƯƠNG PHÁP 2 PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNGSỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNGThường áp dụng cho các phương trình dạng:Phương phápBước 1: Đặt điều kiện có nghĩa .Bước 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức dưới dấu gttđ.Bước 3: Giải ( hoặc biện luận).Bước 4: Kết luận: Ví dụ 1: Giải phương trình Giải:Điều kiện : Lập bảng xét dấu hai biểu thưc: x - 4 và x + 3Chia thành các khoảng: -∞ -3 4 + ∞ - - 0 + x-4 - 0 + +x+3x Xét trên các khoảngVới x≤ -3Với -3 1| , phương trình ĐặtKhi đó: (2) trở thành: t2 –- (m+1)t + m = 0 Với t = 1, ta có (pt vô nghiệm)Với t = m, ta có a) Với m =2, ta được thoả mãn điều kiện. b) Với m 0 , (I) có nghiệm , vậy pt đã cho có nghiệm Phương pháp 5SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐPhương phápCho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình có k nghiệm phân biệt trong đoạn [a;b] ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra sự liên tục của hàm số trên[a; b]. Bước 2: Chọn các số a 1, phương trình đã cho luôn có 4 nghiệm phân biệtPhương pháp 6SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐPhương phápHướng 1:Bước1: Chuyển phương trình về dạng:f(x) = k (1)Bước 2: Xét hàm số y = f(x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu, ( giả sử hàm số đồng biến)Bước 3: Nhận xét + Với x = x0 , tương đương f(x) = f(x0) = k, do đó x = x0 là nghiệm cuả pt. + Với x > x0 , tương đương f(x) > f(x0) = k, do đó phương trình vô nghiệm. + Với x 0với x 1 , phương trình có nghiệm x = 0PHƯƠNG PHÁP 7SỬ DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐPhương phápVới phương trình có chứa tham số dạng: f(x, m) = g(m) (1)Ta thực hiện các bước như sau:Bước 1: Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đths (C): y = f(x,m) và đường thẳng (d): y = g(m) song song với trục Ox.Bước 2: Xét hàm số y = f(x, m) Tìm tập xác định DTính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0.Lập bảng biến thiên của hàm số. Bước 3: Kết luậnPhương trình có nghiệm , với giả thiết rằng min, max tồn tại trên D.Phương trình có k nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (d) cắt (C) tại k điểm phân biệt.Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi (d) không có điểm chung với (C).Ví dụ : Biện luận theo m số nghiệm của phương trìnhGiải:Viết lại phương trình dưới dạng: Số nghiệm của phương trình (1) là số giáo điểm của đồ thị hàm số y=|x-2|(x+1) và đường thẳng y = -mXét hàm số ( Dành cho 10, 11 chưa biết đạo hàm)Vẽ (P1) : y = x2 – x – 2 Vẽ (P2) : y = -x2 + x + 2 Khi đó, đồ thị của hàm số gồm hai phần Phần đồ thị (P1) : y = x2 – x – 2 ứng với Phần đồ thị (P2): y = -x2 + x + 2 ứng với x 0. Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ứng với v(x) 3, pt(1) có 4 nghiệm pb.Ví dụ 2: Biệ luận theo m số nghiệm của phương trình HD:Số nghiệm của phương thình (1) là số giao điẻm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = m.Vẽ đồ thị : Ta có: Cách suy ra đồ thị (C) từ đt (C’)Đồ thị (C) được vẽ bằng cách: - Giữ nguyên phần đồ thị (C’) ứng với - Lấy đối xứng phần đồ thị (C’) vừa giữ nguyên đó qua trục tung..y=x-1y=-x-1y=mDựa và đồ thị ta có:-2 2 , phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệtĐề thi ĐH năm 2006Câu1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)Câu 2: Tìm m để pt sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x|3 – 9x2 + 12|x| = m (1)HD:Pt (1) được viết lại : 2|x|3 – 9x2 + 12|x| - 4 = m – 4 Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số: y=f(|x|)= 2|x|3 – 9x2 + 12|x| - 4 (C’) và đường thẳng y=m-4 HD:Đồ thị (C) Đồ thị (C’) 0<m-4<1 4<m<5 yx112-4112-1-2y=m-4PHƯƠNG PHÁP 9SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦPHƯƠNG PHÁPPhương pháp này tỏ ra khá hiệu quả đối với một lớp các bài toán sau:Tìm điều kiện tham số để.Dạng 1: Phương trình có nghiệm duy nhất.Dạng 2: Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số.Dang 3: Phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc D. Khi đó ta tiến hành theo các bước: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa của pt. Bước 2: Tìm điều kiện cần. Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ.Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất:Giải: Điều kiện cần:Giả sử (1) có nghiệm x0, ta có: Nhận thấyTức là 2 - x0 cũng sẽ là nghiệm của phương trình.Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì Khi đó (1) tương đương với m = 0.Đó chính là điều kiện cần để pt (1) có nghiệm duy nhất.Điều kiện đủ:Với m = 0, ta có là nghiệm duy nhất của phương trình.Vậy , với m = 0, phương trình (1) có nghiệm duy nhấtVí dụ 2: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm đúng với :Giải: Điều kiện cần:Phương trình (2) có nghiệm đúng với là nghiệm của phương trìnhTức là : Đó chính là điều kiện cần để pt (2) có nghiệm đúng với Điều kiện đủ:Với m = 0, ta có , nhận thấy x = 0 , không là nghiệm của pt (2), nên m = 0 không thoả mãn. Với m = -4, ta có , đúng với Vậy , với m = -4, phương trình (2) có nghiệm đúng PHƯƠNG PHÁP 10SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁPHƯƠNG PHÁP Nhiều phương trình đôi khi ta phải giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên :A) Tam thức bậc haiB) Các bất đẳng thức phổ thông( Côsi, Bunhiacôpxki, Benouli,)C) Tính chất trị tuyệt đối.Thường là đi đến việc giải hệ.Một số bất đẳng thức thường gặp1. Bất đẳng thức Cauchy Cho a1, a2,,an khơng âm. Ta cĩDấu “=“ xãy ra khi và chỉ khi a1=a2==an. 2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho . Ta cĩDấu “=“ xãy ra Bất đẳng thức Bernoulli Dấu “=“ xãy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc n = 1.Mở rộng : Nếu Dấu “=“ xãy raNếu Dấu “=“ xãy raVí dụ 1: Giải phương trình Bài giải:Biến đổi phương trình về dạng : Nhận thấy rằng :PT được chuyển thành: KL: Vậy phương trình (1) có họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình Bài giải:Điều kiện Cách 1: Đặt ẩn phụ Cách 2: ( Áp dụng bất đẳng thức Côsi), ta có Vậy pt(2) KL: Vậy phương trình (2) có nghiệm Ví dụ 3 : Giải phương trình Bài giải:Theo bất đẳng thức Bernouli, ta có:Với , dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 1Vớidấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0Với Phương trình vô nghiệmKL: Vậy, phương trình có hai nghiệm là : x = 0 và x = 1.Trên đây là một số phương pháp giải phương trình chứa trị tuyệt đối.Khi đứng trước một bài toán về trị tuyệt đối thì việc lừa chọn phương pháp là hết thức cần thiết.Ví dụ: Tìm m để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệtQua thao tác biến đổi ta đưa pt về dạng: Lúc này dể dàng cho việc lựa chọn phương pháp:Cách 1: Đặt ẩn phụ, sau đó dùng phép biến đổi phương trình tương đương.Cách 2: Dùng phương pháp chia khoảng.Cách 3: Dùng phương pháp GTLN – GTNN.Đặt t=x2 – 5x + 4 , điều kiện Cách 1: Đặt ẩn phụ.Với mỗi ta luơn cĩ hai nghiệm phân biệt của x.Khi đĩ để pt này cĩ 4 nghiệm phân biệt Cách 2: Sử dụng gtln - gtnnXét TXĐ: D = RBảng biến thiên x-∞ 1 5/2 4 +∞ y’ - + 0 - + y +∞ +∞ 4-m 4-m vớivớivớivớiĐể pt cĩ 4 nghiệm phân biệt thì: x-∞ 1 5/2 4 +∞ y’ - + 0 - + y +∞ +∞ 4-m 4-m Cách 3: Sử dụng pp chia khoảngCách 4: Sử dụng pp đồ thịViết lại: Số nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của đths (C) : và đt y = m-4Dựa vào đồ thị (C), ta cĩ: để pt cĩ 4 nghiệm phân biệt thì CHÚC CÁC BẠN THÀNH CƠNG!