Các định lý Toán học

LAGRANGELAGRANGELAGRANGELAGRANGELARANGELAGRANGELAGRANGELAGRANGELARANGELAGRANGELAGRANGEĐỊNH LÝLAGRANGEI – ĐỊNH LÝ LAGRANGE Nếu hàm số liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì :II-Bài tậpPhương trình:Có Ngiệm Đặt: f(x)=Vt của ptTa có các công thức sau:Để giải bài toán loại này trước hết ta tìm :f(x): f(x)=f’(x)=VT của pt f(x)=0Tìm f(x)Khi đó ta kết luận pt pt f(x) có nghiệm GIẢIQUAY TRỞ LẠI BÀI TOÁN:Ta xét hàm số:f(x) xác định liên tục trên và có:Với :Vậy: f(x) coù nghiệm thuoäc (a,b)Ñònh lyù Cauchy : f(x) vaø g(x) lieân tuïc vaø khaû vi treân (a,b) thì[f(b)-f(a)].g’(c)=[g(x)-g(a)].f’(c)Ñaët: h(x)=[g(b)-g(a)].f(c)-[g(b)-g(a)].f’(c)h(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi treân (a,b). Neân: (1) [g(b)-g(a)].f’(c)=[f(b)-f(a)].g’(c) Ta có:Có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuoäc (-1;2)Đặt:Ta nhận xét muốn tìm f(x) thì f(x) phải có dạng tích u.v để (u.v)’ =u’.v+v’.u Hay: Chú ý:Töø ñoù ta tìm: Ta tìm caùc soá sao cho caùc F ñeàu = 0Vaäy theo ñònh lyù Largrange toàn taïi Sao cho: ta luoân coù (1)Ta phaûi ñöa veà daïng sao cho GiaûiTa nghó ñeán vieäc ñaët Khi ñoù theo ñònh lyù Largrange ta coù:ĐỊNH LÝN YLIĐ'H.R££ONeáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a;b], coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) thì :f’(c)=0. Heä quaû 1: neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a;b], coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) thì giöõa 2 nghieäm lieân tieáp cuûa phöông trình f’(x)=0 coù ít nhaát 1 nghieäm X01laø nghieäm cuûa phöông trình f’(x)=0 naèm giöõa 2 nghieäm lieân tieáp x1, x2 cuûa phöông trình f(x)=0Heä quaû 2: Haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a;b], coù ñaïo haøm treân (a;b) thì phöông trình f’(x)=0 coù ít nhaát (k-1) nghieäm Neáu phöông trình f’(x)=0 coù (k-1) nghieäm thì phöông trình f(x)=0 coù nhieàu nhaát k nghieäm Neáu f(x)=0 coù k nghieäm thöïc ñoâi 1 khaùc nhau thì phöông trìnhcoù 3 nghieäm phaân bieät.ÑaëtF(x)=0 coù 4 nghieäm phaân bieätMaø F’(x)=f(x)Theo heä quaû cuûa ñònh lí Roll, phöông trình f(x)=0 coù ít nhaát 3 nghieäm (1) Maø f(x) laø phöông trình baäc 3 neân coù nhieàu nhaát laø 3 nghieäm (2)Töø (1) vaø (2) f(x) coù 3 nghieäm thöïc phaân bieät a,b,c,d Tìm soá nghieäm vaø khoaûng (a;b)3sinx –x=0Ñaët: Neáu gioáng baøi treân ta tìm f(x):f’(x)=f(x) thì Vieäc tìm soá ngieäm cuûa phöông trình f(x)=0 coøn khoù hôïp f(x)=0 neân ta seõ söû duïng heä quaû 2.2, Tìm f’(x) Ta coù: =0 coù 2 nghieäm neân f(x)=0 coù nhieàu nhaát 3 nghieäm (heä quaû cuûa ñònh lyù Roll)(Ta söû duïng f(a).f(b) nhoû hôn 0 ñeå tìm soá nghieäm vaø khoaûng caùch giaù trò nghieäm.)Tröôùc heát ta haõy tìm giôùi haïn x.Ñeå yù: 3sinx=xVì :Ta seõ tìm caùc soá a,b,c, sao cho f(a).f(b) nhoû hôn 0,Ta coù:Neân phöông trình f(x)=0 coù ñuùng 3 nghieäm laø LnýịhĐTÍNHTUYẾNHÀMI. Ñònh lyù haøm tuyeán tính:Xeùt haøm f(x)=ax+b xaùc ñònh treân ñoaïn Neáu thì II- Moät vaøi Ví DuïCho a, b, c laø nhöõng soá thöïc khoâng aâm thoûa: 1CMR:Ta vieát laïi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh döôùi daïng:Xeùt: Khi ñoù:vì ñpcmVaäy Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a=2; b=c=0 vaø caùc hoaùn vògiaûi khoâng aâm ta coù:GiaûiÑaët :Khi ñoù baøi toaùn trôû thaønh Chöùng minh: vôùi Xeùt : vaø Ta coù: Vaäy ñaúng thöùc chöùng minh xong. Ñaúng thöùc xaûy ra The endThe endThe endThe endThe end