Các dạng toán giải bằng phuơng pháp véctơ

CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHUƠNG PHÁP VÉCTƠ 1)Xác định một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước. 2)Dựng một điểm thoả mãn một hệ thức vectơ. 3)Dựng một vectơ thoả mãn một hệ thức vectơ. 4)Chứng minh một hệ thức vectơ. 5)Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài. CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHUƠNG PHÁP VÉCTƠ 6)Các bài toán có tính chất hình học. 7)Chứng minh sự song song của hai đường thẳng. 8)Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 9)Sự đồng phẳng của các điểm và các vectơ 10) Những bài toán liên quan đến sự thẳng hàng của ba điểm .CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ 11) Những bài toán liên quan đến trọng tâm của một hệ điểm. 12) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn một điều kiện cho trước. 13) Tìm điểm M sao cho biểu thức độ dài đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất. 14) Chứng minh các bất đẳng thức vectơ; giải phương trình; tìm giá trị cực đại, cực tiểu của một hàm số. ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA 11) Những bài toán liên quan đến trọng tâm của một hệ điểm. 12) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn một điều kiện cho trước. 13) Tìm điểm M sao cho biểu thức độ dài đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất. 14) Chứng minh các bất đẳng thức vectơ; giải phương trình; tìm giá trị cực đại, cực tiểu của một hàm số. ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOATa thấy các sách giáo khoa đều yêu cầu học sinh giải những bài tập chủ yếu sau: Quy ước: Sách giáo khoa Hình học 10 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000), viết tắt là S1 và sách giáo khoa Hình học 10 nâng cao (năm 2006), viết tắt là S2 .ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA1. Xác định một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước. Ví dụ 1: (Sách S1_bài 4/tr 12) Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: Ví dụ 2: (Sách S2_bài 12/tr 14) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho: ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA2. Dựng một điểm thoả mãn một hệ thức vectơ. Ví dụ 3: (Sách S1_bài 5/tr 9) Cho vectơ AB và một điểm C. Hãy dựng điểm D sao cho Chứng minh rằng điểm D như vậy là duy nhất. Ví dụ 4: (Sách S2_bài 5/tr 9) Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy vẽ các véctơ bằng vectơ AB và có: a)Các điểm đầu là B, F, C. b)Các điểm cuối là F, D, C. ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA3. Dựng một vectơ thoả mãn một hệ thức vectơ. Ví dụ 5: (Sách S2_bài 21/tr 23) Cho tam giác vuông cân OAB với OA=OB=a. Hãy dựng các véctơ sau đây và tính độ dài của chúng.ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA4. Chứng minh một hệ thức vectơ. Ví dụ 6: (Sách S1_bài 1/tr 9) Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:Ví dụ 7: (Sách S2_bài 23/tr 24) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn AB và CD. Chứng minh rằng: ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA5. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài. Ví dụ 8: (Sách S1_bài 5/tr 44) Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: Ví dụ 9: (Sách S2_bài 20/tr 18) Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA6. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song. Ví dụ 10: (Sách S2_bài 4/tr 70) Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A’B’C’ có chung đỉnh A Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB’ và CC’. Chứng minh rằng a) b)ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA7. Những bài toán liên quan đến sự thẳng hàng của ba điểm Ví dụ 11: (Sách S2_bài toán 3/tr 21) Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. a)Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: b)Chứng minh: c)Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng .ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA8. Những bài toán liên quan đến trọng tâm của một hệ điểm. Ví dụ 12: (Sách S1_bài 3/tr 16) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh: .Từ đó suy ra một điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. Ví dụ 13: (Sách S2_bài 27/tr 24) Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng mimh rằng hai tam giác PRT và QSU có cùng trọng tâm. ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA9. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn một điều kiện cho trước. Ví dụ 14: (Sách S1_bài 6/tr 44) Cho hai điểm A, B cố định và một số dương k không đổi. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho Ví dụ 15: (Sách S2_bài 12/tr 52) Cho đoạn thẳng AB cố định, AB=2a và một số .Tìm tập hợp các giá trị của M sao choNhận xét: Có thể nói là các loại bài tập 1, 4, 5, 8 chiếm tỉ lệ tương đối nhiều còn các loại bài tập 6, 7 có không nhiều trong các sách giáo khoa. Vả lại, phát biểu các bài toán đưa ra trong sách giáo khoa thường đã chứa đựng vectơ hoặc trong giả thiết hoặc là trong kết luận. Điều đó làm hạn chế khả năng phát triển tư duy, biết chọn lọc một phương pháp giải tốt cho một bài toán.Nhận xét: Như vậy thì trái với nhiệm vụ của việc dạy Hình Học ở trường phổ thông. Do đó, điều cần dạy cho học sinh là trước một bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học, phải biết lựa chọn giữa ba phương pháp (tổng hợp, vectơ, toạ độ) một phương pháp cho lời giải tốt nhất. Nhận xét: Vì thế, nên đưa ra vài bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ tổng hợp mà lời giải bằng phương pháp véctơ ưu việt hơn so với hai hai phương pháp kia để học sinh phân tích và chọn cách giải .Cho tam giác ABC cân tại A. Từ chân đường cao AH kẻ .M là trung điểm HD. Chứng minh: Ví dụDùng phương pháp véctơTa có: Giải GiảiVậy :Dùng phương pháp tổng hợp: Gọi F là trung điểm CD, K là giao điểm của đường thẳng AM và HF.Trong tam giác BCD có HF là đường trung bình ứng với cạnh BD nên HF//BD. GiảiDo đó để chứng minh ta chỉ cần chứng minhHai tam giác vuông AHD và HCD có nên đồng dạng. Do đó ta có: GiảiMà :Suy ra hai tam giác ADM và HDF đồng dạng. Do đó: Suy ra tứ giác ADKH nội tiếp.Vậy: Hay: GiảiDùng phương pháp tọa độ: Xây đựng hệ trục tọa độ vuông góc với: HC là trục hòanh, HA là trục tung. Khi đó tọa độ của các điểm là: H(0; 0), A(0; a), C(b; 0), B(-b; 0).Phương trình đường thẳng AC: Phương trình đường thẳng HD: GiảiDo D là giao của AC và HD nên ta có: M là trung điểm HD nên: GiảiSuy ra: GiảiKhi đó ta có: GiảiVậy: GiảiNhận xét: Qua ví dụ trên, phương pháp véctơ giúp ta giải quyết bài toán 1 cách gọn gàng.Phương pháp tổng hợp gây khó khăn không nhỏ cho học sinh khi phải dựng điểm phụ mới giải quyết được bài toán. Nếu không dựng được điểm phụ thì học sinh sẽ bế tắcPhương pháp toạ độ đòi hỏi học sinh có kỹ năng về chọn hệ trục toạ độ,viết phương trình đường thẳng việc tính toán rất cồng kềnh.Do vậy bài toán này phương pháp vectơ hay hơn cả.