Các dạng bài tập phương trình lượng giác

C¸c d¹ng bt ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c Lo¹i 1. Biện luận theo k 1. sin (pcosx) = 1 2. cos(8sinx) = -1 3. tan(pcosx ) = cot(p sinx) 4. cos(psinx) = cos(3psinx) 5. tan(p cosx) = tan(2p cosx) 6. sinx2 = 8. cot(x2 + 4x + 3) = cot6 9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt cos 10. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt sin 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt cos Lo¹i 2. Công thức hạ bậc 1. 4cos2(2x - 1) = 1 2. 2sin2 (x + 1) = 1 3. cos2 3x + sin2 4x = 1 4. sin(1 - x) = 5. 2cosx + 1 = 0 6. tan2 (2x – ) = 2 7. cos2 (x – ) = sin2(2x + ) Lo¹i 3. Công thức cộng, biến đổi 1. sin2x + cos2x = sin3x 2. cos3x – sinx = (cosx –sin3x ) 3. 4. sin3x = cos(x – p /5) + cos3x 5. sin(x + p /4) + cos(x + p /4) = cos7x 6. Tìm tất cả các nghiệm x của pt: sinxcos+ cosxsin= Lo¹i 4. Bài toán biện luận theo m 1. Giải và biện luận 2sin(1-2x) = m 2. 3cos23x = m 3. sin3x + cos3x = m 4. m.sin2 2x + cos4x = m 5. Giải và biện luận sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x 6. Giải và biện luận (3m + 5).sin(x + p/2) = (2m + 3)cosx -m 7. Giải và biện luận cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x 8. Cho pt sin4x + cos4x = m Xác định m để pt có nghiệm Giải pt với m = ¾ Lo¹i 5. Tổng hợp 1. cos22x – sin28x = sin() 2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 3. 4. 5. Tìm tất cả các nghiệm x của pt: sin(2x + = 1 + 2sinx 6. Giải pt: 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3cos4x = 3 7. = 8. 4sin32x + 6sin2x = 3 9. Tìm nghiệm nguyên của pt: D¹ng 2: Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c 1/ 2/ 4sin3x + 3sin2x = 8sinx 3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2) T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx = ) 6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + - 2 = 0 b / + tanx = 7 c / sin6x + cos4x = cos2x 8/ sin() - 3cos() = 1 + 2sinx 9/ 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 11/ tanx + cotx = 4 12/ 13/ 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0 15/ 16/ 2cosx - = 1 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 25. D¹ng 3: Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx 1. NhËn d¹ng: 2. Ph­¬ng ph¸p: C¸ch 1: asinx + bcosx = c §Æt cosx= ; sinx= C¸ch 2: §Æt C¸ch 3: §Æt ta cã Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm: §¨c biÖt : gi¶i ph­¬ng tr×nh: 1. , 2. 3. , 4. 5. , 6. 7. 8. 9. ; 10. 2sin15x + cos5x + sin5x = 0 (4) 2. 12. 13. ( cos2x - sin2x) - sinx – cosx + 4 = 0 14. 15. 16. 17. T×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau: a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. c. D¹ng 4: Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx 1. NhËn d¹ng: §¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0 C¸ch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®­îc: atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1) C¸ch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc §¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0 HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0 XÐt cos3x = 0 vµ cosx0, chia 2 vÕ cho cos3x ta ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc 3 ®èi víi tanx 2. Ph­¬ng ph¸p: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 1. 3sin2x - sinxcosx+2cos2x cosx=2 2. 4 sin2x + 3sinxcosx - 2cos2x=4 3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin3x + cosx = 0 5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + )cos2x – 5 - = 0 6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 8. tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0 10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11. 2cos3x = sin3x 12. cos3x - sin3x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 14. sin3(x - /4) =sinx D¹ng 5: Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx 1. NhËn d¹ng: 2. Ph­¬ng ph¸p: * a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x + cosx at + b = c bt2 + 2at – 2c – b = 0 * a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x - cosx at + b = c bt2 - 2at + 2c – b = 0 1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) 3. 3. 1. 1 + tanx = 2sinx + 2. sin x + cosx= - 3. sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin3x+ cos3x = sin2x 5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. sin2x(sin x + cosx) = 2 7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. (sin x + cosx) = tanx + cotx 9. 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2 11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 12. 13. sinxcosx + = 1 14. cosx + + sinx + = D¹ng 6: Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx C«ng thøc h¹ bËc 2 cos2x = ; sin2x= C«ng thøc h¹ bËc 3 cos3x= ; sin3x= Gi¶i ph­¬ng tr×nh 1/ sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2() - 2cos2 5/ cos4x – 5sin4x = 1 6/ 4sin3x - 1 = 3 - cos3x 7/ sin22x + sin24x = sin26x 8/ sin2x = cos22x + cos23x 9/ (sin22x + cos42x - 1):= 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x 11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12/ 8cos3(x + ) = cos3x 13/ = 1 14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1 17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi 18/ sin24x - cos26x = sin() víi 19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3cos4x = 3 20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2() - víi < 3 21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0 22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x D¹ng 7: Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c bËc cao * a3 b3=(ab)(a2 ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4 * a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) * a6 b6 = ( a2 b2)( a4 a2b2 + b4) Gi¶i ph­¬ng tr×nh 1. sin4+cos4=1-2sinx 2. cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 3. cos3x+ sin3x= cos2x 4. 5. cos6x - sin6x = cos22x 6. sin4x + cos4x = 7. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 8. cos3x + sin3x = cosx – sinx 9. cos6x + sin6x = cos4x 10. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 11. cos8x + sin8x = 12. (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0 D¹ng 8: Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0 1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0 5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ sin2x + cos2x + cosx = 0 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 8/ 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 14/ 2sin3x - = 2cos3x + 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - ) = 0 16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0 18/ sin2x = 1+cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = 20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 24/ 2= 25/ 2tanx + cotx = 26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 Tìm TXĐ của hàm số: a. b. y = Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a. y = b. y = 3. Gi¶I ph­¬ng tr×nh: sinx + = 0. sin2x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: tanx.sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: 2sin3x-(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx ĐS: 2sin3x-(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx ĐS: 4(sin3x-cos2x)=5(sinx-1) ĐS: với . sinx-4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: . HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin3x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx) ; (Học Viện BCVT) ĐS: Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: . HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = , 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải Û2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. Û2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. Û2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. D=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. Þ (biết giải) 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp Giải phương trình lượng giác: Giải Điều kiện: Từ (1) ta có: So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = GiảiTa có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = Û cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = Û Û . Giải phương trình: Giải Phương trình Û (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0