Bí quyết giải Toán số học THCS theo chủ đề

HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO 2𝑝 − 120192020 ∶ 19 BÍ QUYẾT THEO CHỦ ĐỀ Giải toán số học THCS ✓ Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 6,7,8,9 ✓ Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT Giải toán số học THCS THEO CHỦ ĐỀ ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 6,7,8,9 ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán NHÀ XUẤT BẢN.. Lêi giíi thiÖu Các em học sinh và thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Bí quyết giải toán số học THCS được các tác giả biên soạn nhằm giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán ở THCS hiện nay và THPT sau này. Các tác giả cố gắng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chủ đề tương ứng với các vấn đề quan trọng thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán THCS, cũng như vào lớp 10 chuyên môn toán trên cả nước. Mỗi chủ đề được viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, các dạng toán thường gặp, bài tập rèn luyện và hướng dẫn giải giúp các em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện được các kiến thức đã học. Mỗi chủ đề có ba phần: A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề. B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ năng và phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi. Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán. C. Bài tập vận dụng: Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Các em hãy cố gắng tự giải. Nếu gặp khó khăn có thể xem hướng dẫn hoặc lời giải ở cuối sách. Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Trong quá trình soạn sách xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Thanh Trà - Trường THCS Chu Văn An quận Ngô Quyền, tỉnh Hải Phòng; Thầy Lưu Lý Tưởng - Trường THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Thầy Phạm Văn Vượng - Trường THCS Nhữ Bá Sỹ, tỉnh Thanh Hóa, Cô Quế Thị Lan Trường THCS Diễn Mỹ, Diễn Châu, Nghệ An đã tặng nhiều tài liệu và đề thi quý để tác giả kham khảo. Xin chân thành cảm ơn! BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CH U Y Ê N Đ Ề SỐ HỌ C A. KiÕn thøc cÇn nhí I. Ước và bội 1) Định nghĩa về ước và bội Ước: Số tự nhiên 0d ≠ được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước của a. Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư ( ) { }: |a d N d a= ∈ Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của 0a ≠ khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m. Nhận xét: Tập hợp các bội của a ( )0a ≠ là ( ) { }0; ;2 ;...; ,B a a a ka k Z= ∈ 2) Tính chất: - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên. - Nếu Ư ( ) { }1;a a= thì a là số nguyên tố. - Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là . .x y za b c thì số lượng các ước của A bằng ( )( )( )1 1 1x y z+ + + Thật vậy ước của A là số có dạng mnp trong đó: m có 1x + cách chọn (là 21, , , , xa a a ) n có 1y + cách chọn (là 21, , , , yb b b ) p có 1z + cách chọn (là 21, , , , zc c c ), Do đó, số lượng các ước của A bằng ( )( )( )1 1 1x y z+ + + II. Ước chung và bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) và Ư(b) có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là ước số chung của a và b. Kí hiệu ƯC(a; b) C H Ủ Đ Ề 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI 5 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI CH IN H P H Ụ C KỲ T HI HỌC SINH G IỎI CẤP H A I Nhận xét: Nếu ƯC ( ) { }; 1a b = thì a và b nguyên tố cùng nhau. Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số d N∈ được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b ( );a b Z∈ khi d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC(a; b). Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a; b) hoặc (a;b) hoặc gcd(a;b). Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) và B(b) có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội số chung của a và b. Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số 0m ≠ được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(a; b). Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a; b) hoặc [ ];a b hoặc lcm(a;b). 2) Cách tìm ƯCLN và BCNN a) Muốn tìn ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ,ta thực hiện các bước sau : 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố 2.- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung 3.- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó Tích đó là ƯCLN phải tìm . Ví dụ: 230 2.3.5, 20 2 .5= = ⇒ƯCLN(30; 20) 2.5 10.= = Chú ý : - Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng là 1. - Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau. - Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy. b) Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 , ta thực hiện ba bước sau : 1- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố . 2- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng . 3- Lập tích các thừa số đã chọn , mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của chúng Tích đó là BCNN phải tìm . Ví dụ: 230 2.3.5, 20 2 .5= = ⇒BCNN(30; 20) 22 .3.5 60= = Chú ý: - Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích các số đó. Ví dụ : BCNN(5 ; 7 ; 8) = 5 . 7 . 8 = 280 - Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó . Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 3) Tính chất Một số tính chất của ước chung lớn nhất: TỦ SÁCH CẤP 2| 6 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CH U Y Ê N Đ Ề SỐ HỌ C ● Nếu ( )1 2; ;...; 1na a a = thì ta nói các số 1 2; ;...; na a a nguyên tố cùng nhau. ● Nếu ( ) { } { }; 1, , , 1;2;....;m ka a m k m k n= ∀ ≠ ∈ thì ta nói các số 1 2; ;...; na a a đôi một nguyên tố cùng nhau. ● c∈ƯC (a; b) thì ( );; .a ba b c c c   =    ● ( ); ; 1.a bd a b d d  = ⇔ =    ● ( ) ( ); ; .ca cb c a b= ● ( ); 1a b = và ( ); 1a c = thì ( ); 1a bc = ● ( ) ( )( ); ; ; ;a b c a b c= ● Cho 0a b> > - Nếu .a b q= thì ( ); .a b b= - Nếu ( )0a bq r r= + ≠ thì ( ) ( ); ; .a b b r= Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất: ● Nếu [ ];a b M= thì ; 1.M Ma b   =    ● [ ] [ ]; ; ; ;a b c a b c =   ● [ ] [ ], , ;ka kb k a b= ● [ ] ( ); . ; .a b a b a b= 4) Thuật toán Euclid trong việc tính nhanh ƯCLN và BCNN “Thuật toán Euclid” là một trong những thuật toán cổ nhất được biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau đó được Euclid (ơ –clit) hệ thống và phát triển nên thuật toán mang tên ông. Về số học, “Thuật toán Euclid” là một thuật toán để xác định ước số chung lớn nhất (GCD – Greatest Common Divisor) của 2 phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: các số nguyên). Khi có ƯCLN ta cũng tính nhanh được BCNN. Thuật toán này không yêu cầu việc phân tích thành thừa số 2 số nguyên. Thuật toán Oclit – dùng để tìm ƯCLN của 2 số nguyên bất kỳ. Để tìm ƯCLN của hai số nguyên a và b bất kỳ ta dùng cách chia liên tiếp hay còn gọi là “vòng lặp” như sau: • Bước 1: Lấy a chia cho b: Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN(a, b) = b. Nếu a không chia hết cho b (dư r) thì làm tiếp bước 2. 7 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI CH IN H P H Ụ C KỲ T HI HỌC SINH G IỎI CẤP H A I • Bước 2: Lấy b chia cho số dư r: Nếu b chia hết cho r thì ƯCLN(a, b) = r Nếu b chia cho r dư 1r ( 1 0r ≠ ) thì làm tiếp bước 3. • Bước 3: Lấy r chia cho số dư 1r : Nếu r chia cho 1r dư 0 thì ƯCLN(a, b) = 1r Nếu r chia cho 1r dư 2r ( 1 0r ≠ ) thì làm tiếp bước 4. Bước 4: Lấy 1r chia cho số dư 2r : Nếu 1r chia hết cho 2r thì ƯCLN(a, b) = 2r . Nếu 1r cho cho 2r dư 3r ( 3 0r ≠ ) thì làm tiếp như trên đến khi số dư bằng 0. Số dư cuối cùng khác 0 trong dãy chia liên tiếp như trên là ƯCLN (a,b). Ví dụ: Tính ước số chung lớn nhất của 91 và 287. • Trước hết lấy 287 (số lớn hơn trong 2 số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 và 14 sẽ được dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật toán Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14). Suy ra bài toán trở thành tìm ƯCLN(91,14). Lặp lại quy trình trên cho đến khi phép chia không còn số dư như sau: 91 = 14.6 + 7 (14 và 7 sẽ được dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7.2 (không còn số dư suy ra kết thúc, nhận 7 làm kết quả Thật vậy: 7 = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối cùng ƯCLN(287, 91) = 7 Tính BCNN nhanh nhất Để việc giải toán về BCNN và ƯCLN được nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN là [ a,b] và ƯCLN là (a,b) thì [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] . . . , . , , , , , , a b a b a b a b a b a b a b a b a b = ⇒ = = Nghĩa là: Tích 2 số nguyên .a b = ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ra ƯCLN (12,18) = 6 thì: TỦ SÁCH CẤP 2| 8 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CH U Y Ê N Đ Ề SỐ HỌ C BCNN (12,18) = (12 x 18) : 6 = 36 Nếu làm theo cách phân tich thừa số nguyên tố thì phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = 2 x 32 suy ra BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số nguyên có nhiều chữ số thì việc phân tích ra thừa số nguyên tố mất nhiều thời gian; trong khi lấy tích số có thể bấm máy tính cầm tay khá nhanh và dễ hơn. 5) Phân số tối giản a b là phân số tối giải khi và chỉ khi ( ), 1.a b = Tính chất: i) Mọi phân số khác 0 đều có thể đưa về phân số tối giản. ii) Dạng tối giản của một phân số là duy nhất. iii) Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản. B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Các bài toán liên quan tới số ước của một số * Cơ sở phương pháp: Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là . .x y za b c thì số lượng các ước của A bằng ( )( )( )1 1 1x y z+ + + Thật vậy ước của A là số có dạng mnp trong đó: m có 1x + cách chọn (là 21, , , , xa a a ) n có 1y + cách chọn (là 21, , , , yb b b ) p có 1z + cách chọn (là 21, , , , zc c c ), Do đó, số lượng các ước của A bằng ( )( )( )1 1 1x y z+ + + * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Tìm số ước của số 9618 Hướng dẫn giải Ta có : ( )9696 2 192 9618 3 .2 3 .2 .= = Vậy số ước của số 9618 là ( )( )96 1 192 1 97.193 18721.+ + = = 9 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI CH IN H P H Ụ C KỲ T HI HỌC SINH G IỎI CẤP H A I Bài toán 2. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ. Hướng dẫn giải Giả sử 1 21 2. .... k aa a kn p p p= với ip nguyên tố và *.ia N∈ n là số chính phương khi và chỉ khi 1 2, ,..., ka a a là các số chẵn khi đó ( )( ) ( )1 21 1 ... 1ka a a+ + + là số lẻ. Mặt khác ( )( ) ( )1 21 1 ... 1ka a a+ + + là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng minh. Bài toán 3. Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n không thể có đúng 17 ước số. Hướng dẫn giải Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng : ( ) ( )2 22 21 1 3 2n m m m m= − + + + = + không thể là số chính phương. Nếu n có đúng 17 ước số thì n là số chính phương (bài toán 1), vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.  Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết * Cơ sở phương pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên dư, sau đó để thỏa mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn điều kiện. * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2). Hướng dẫn giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4. Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2). Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ 4 chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) là ước của 4. ⇔ (n +2) ∈{ }4;2;1 ⇒ n ∈{ }2;0 . Vậy với n ∈{0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n + 2). TỦ SÁCH CẤP 2| 10 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CH U Y Ê N Đ Ề SỐ HỌ C Bài toán 2. Tìm số tự nhiên n để 3 15 + + n n là số tự nhiên. Hướng dẫn giải Để 3 15 + + n n là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3). ⇒ [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3). ⇔ 12 chia hết cho (n +3) . ⇔ (n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. ⇔ n ∈ {0; 1; 3; 9}. Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9}thì 3 15 + + n n là số tự nhiên. Bài toán 3. Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + 6  n + 3. Hướng dẫn giải Ta có: n2 + 3n + 6  n + 3 Suy ra: n (n + 3) + 6  n + 3 ⇔ 6  n + 3 => n + 3 ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 3. Bài toán 4. Tìm số nguyên n để phân số 4n 5 2n 1 + − có giá trị là một số nguyên Hướng dẫn giải Ta có: 4n 5 2n 1 + − = 4n 2 7 n(2n 1) 7 7n 2n 1 2n 1 2n 1 − + − + = = + − − − Vì n nguyên nên để 4n 5 2n 1 + − nguyên thì 7 2n 1− nguyên => 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} ⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thì 4n 5 2n 1 + − có giá trị là một số nguyên Bài toán 5. Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: 2 2 5 17 3 2 2 2 n n nB n n n + + = + − + + + Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 5 17 3 2 2 5 17 3 4 19 2 2 2 2 2 n n n n n n nB n n n n n + + + + + − + = + − = = + + + + + 11 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI CH IN H P H Ụ C KỲ T HI HỌC SINH G IỎI CẤP H A I 4( 2) 11 114 2 2 n n n + + = = + + + Để B là số tự nhiên thì 11 2n + là số tự nhiên ⇒ 11  (n + 2) ⇒ n + 2 ∈ Ư(11) = { }1; 11± ± Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11 ⇒n = 9 Vậy n = 9 thì B ∈ N Bài toán 6. Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số ( ) 21 23 k n k + = + là một số nguyên dương Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( )( ) 2 21 23 21 4842 1 4841 , 23 23 23 23 k k kk kn k k Z k k k k ++ + − ++ += = = = − + ∈ + + + + n là một số nguyên dương khi và chỉ khi 23 | 484, 23 23k k+ + > Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21 23 121 98 23 4 21 k k k k + = =  ⇒ ⇒ + = = Với k = 98, ta có n = 81 Với k = 21, ta có n = 11 Vậy giá trị k lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98.  Dạng 3: Tìm số biết ƯCLN của chúng * Cơ sở phương pháp: * Nếu biết ƯCLN(a, b) = K thì a = K.m và b = K.n với ƯCLN(m; n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm) , từ đó tìm được a và b. * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 và ƯCLN(a, b) = 18 Hướng dẫn giải Giả sử a b≤ Ta có: ( )162, , 18a b a b+ = = Đặt 18 18 a m b n =  = với ( ),n 1,m m n= ≤ Từ ( )162 18 162 9a b m n m n+ = ⇒ + = ⇒ + = Do ( m, n ) = 1, lập bảng: TỦ SÁCH CẤP 2| 12 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CH U Y Ê N Đ Ề SỐ HỌ C m 1 2 3 4 n 8 7 6 5 a 18 36 loai 72 b 144 126 90 Kết luận: Các số cần tìm là: ( ) ( ) ( )18;144 ; 36;126 ; 72;90 Bài toán 2. Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15 Hướng dẫn giải Gọi hai số cần tìm là a, b ( ), ; , 200a b N a b∈ < Ta có: ( )90; , 15a b a b− = = Đặt ( ) ( ) ( ), 115 , 1 15 9015 6 m na m m n m nb n m n  == =  ⇒ ⇒   − == − =    Lại có: 15 200 13 , 200 15 200 13 m m a b n n < ≤  < ⇒ ⇒  < ≤   m n a b 13 7 195 105 11 5 65 75 7 1 85 15 Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ), 195;105 , 65;75 , 85;15 .a b = Bài toán 3. Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( )432; , 6ab a b a b= = ≤ Đặt 6 , 6a m b n= = với (m, n) = 1 và m ≤ n 36 432 12mn mn⇒ = ⇒ = Ta được: m n a b 1 12 6 72 3 4 18 24 Vậy ( ) ( ) ( ),b 6;72 , 18,24a = 13 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI CH IN H P H Ụ C KỲ T HI HỌC SINH G IỎI CẤP H A I Bài toán 4. Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và ƯCLN(a; b) = 45 Hướng dẫn giải Từ giả thiết suy ra a > b Từ ƯCLN(a; b) = 45 ( ) ( )1 1 1 1 1 1 45 ; 1, 45 a a a b a b b b = ⇒ = ≥ = Mà: 11 11 1111 11 77 7 aaa bb b = = ⇒ = ⇒  = vì ( )1 1; 1a b = => 45.11 495 45.7 315 a b = =  = = Vậy hai số a,b cần tìm là a = 495 và b = 315  Dạng 4: Các bài toán phối hợp giữa BCNN của các số với ƯCLN của chúng * Cơ sở phương pháp: * Nếu biết BCNN (a, b) = K thì ta gọi ƯCLN(a; b) = d thì a = m.d và b = n.d với ƯCLN(m; n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm) , từ đó tìm được a và b. * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Cho 1980, 2100.a b= = a) Tìm ( ),a b và [ ],a b . b) So sánh [ ] ( ), . ,a b a b với .ab Chứng minh nhận xét đó đối với hai số tự nhiên a và b khác 0 tùy ý. ( Nâng cao và phát triển lớp 6 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Hướng dẫn giải a) 2 2 2 21980 2 .3 .5.11, 2100 2 .3.5 .7.= = ƯCLN(1980, 2100) 22 .3.5 60= = ( ) 2 2 21980,2100 2 .3 .5 .7.11 69300.BCNN = = b) [ ] ( )1980,2100 . 1980,2100 1980.2100= ( đều bằng 4158000 ). Ta sẽ chứng minh rằng [ ] ( ), . , .a b a b a b= Cách 1. Trong cách giải này, các thừa số riêng cũng được coi như các thừa số chung, chẳng hạn a chứa thừa số 11,b không chứa thừa số 11 thì ra coi như b chứa thừa số 11 với số mũ bằng 0 . Với cách viết này, trong ví dụ trên ta có: 2 2 01980 2 .3 .5.7 .11.= 2 2 02100 2 .3.5 .7.11 .= TỦ SÁCH CẤP 2| 14 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CH U Y Ê N Đ Ề SỐ HỌ C ( )1980,2100 là tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất 2 2 0 02 .3 .5.7 .11 60= . [ ]1980,2100 là tích các thừa số chung với số mũ lớn nhất 2 2 22 .3 .5 .7.11 69300.= Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp tổng quát: [ ] ( ), . , .a b a b a b= ( )1 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, các thừa số nguyên tố ở hai vế của ( )1 chính là các thừa số nguyên tố có trong a và .b Ta sẽ chứng tỏ rằng hai vế chứa các thừa số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng bằng nhau. Gọi p là thừa số nguyên tố tùy ý trong các thừa số nguyên tố như vậy. Giả sử số mũ của p trong a là ,x số mũ của p trong b là y trong đó x và y có thể bằng 0. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng .x y≥ Khi đó vế phải của (1) chứa p với số mũ x y+ . Còn ở vế trái, [a, b] chứa p với số mũ x, (a, b) chứ p với số mũ y nên vế trái cũng chứa p với số mũ .x y+ Cách 2. Gọi ( , )d a b= thì ', (1)a da b db′= = , trong đó ( ', ') 1.a b = Đặt ab m d = ( )2 , ta cần chứng minh rằng [ ],a b m= . Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho m ax= , m by= và (x, y) = 1. Thật vậy từ (1) và (2) suy ra '. bm a ab d = = , '. .am b ba d = = Do đó, ta chọn ' ', ,x b y a= = thế thì ( ), 1x y = vì ( )' ', 1.a b = Vậy [ ], ,ab a b d = tức là [ ] ( ), . , .a b a b ab= Bài toán 2. Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10 , BCNN của chúng bằng 900. Hướng dẫn giải Gọi các số phải tìm là a và b , giả sử a b≤ . Ta có ( , ) 10a b = nên. '10a a= , ' 10b b= , ' '( , ) 1, '.a b a b′= ≤ Do đó 100 ' ' (1)ab a b= . Mặt khác [ ], .( , ) 900.10 9000 (2).ab a b a b= = = Từ (1) và (2) suy ra ' ' 90.a b = Ta có các trường hợp : 'a 1 2 3 4 'b 90 45 18 10 15 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI CH IN H P H Ụ C KỲ T HI HỌC SINH G IỎI CẤP H A I Suy ra: a 10 20 50 90 b 900 450 180 100 Bài toán 3. Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15 Hướng dẫn giải Giả sử a < b Gọi d = ƯCLN( a; b) => ( ) ( )1 1 1 1 1 1 . , ; 1 . a d a a b a b b d b = < = = , và d < 15 Nên BCNN(a; b) = 1 1. .a b d Theo bài ra ta có: ( ) ( ) { }1 1 1 1. 15 1 . 15 15 1;3;5;15d a b d d a b d U+ = => + = => ∈ = , Mà d < 15, Nên TH1 : 11 1 1 1 1 1 . 14 14 14 a a d a b b b = => = = => = =>  = => = hoặc 1 1 2 2 7 7 a a b b = => =  = => = TH2 : 11 1 1 1 3 3 . 4 4 12 a a d a b b b = => = = => = =>  = => = TH3 : 11 1 1 1 5 5 . 2 2 10 a a d a b b b = => = = => = =>  = => = Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại.  Dạng 5: Các bài toán liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau * Cơ sở phương pháp: Để chứng minh hai số là nguyên tố cùng nhau, ta chứng minh chúng có ƯCLN = 1. * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau. b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. c) 2n + 1 và 3n + 1 ( n N∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Hướng dẫn giải a) Gọi d ∈ ƯC (n , n + 1) ( )1 1 1n n d d d⇒ + − ⇒ ⇒ =  . Vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. b) Gọi d ∈ ƯC (2n + 1, 2n + 3) ( ) ( ) { }2 3 2 1 2 1;2 .n n d d d⇒ + − + ⇒ ⇒ ∈  Nhưng 2d ≠ vì d là ước của số lẻ. Vậy d = 1. TỦ SÁCH CẤP 2| 16 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CH U Y Ê N Đ Ề SỐ HỌ C Vậy (2n + 1) và (2n + 3) là hai số nguyên tố cùng nhau. c) Gọi d ∈ ƯC (2n + 1,3n + 1) 3(2 1) 2(3 1) 1 1n n d d d⇒ + − + ⇒ ⇒ =  . Vậy 2n + 1 và 3n +1 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài toán 2. Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng các số sau cũng là hai số nguyên tố cùng nhau: a) a và a + b b) a2 và a + b c) ab và a + b. Hướng dẫn giải a) Gọi d ∈ƯC(a, a + b) ( )a b a d b d⇒ + − ⇒  Ta lại có: a d d⇒ ∈ ƯC(a, b), do đó d = 1 (vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau). Vậy (a, a + b) = 1. b) Giả sử a2 và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d thì a chia hết cho d, do đó b cũng chia hết cho d. Như vậy a và b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a, b) = 1. Vậy a2 và a + b là hai số nguyên tố cùng nhau. c) Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d. Tồn tại một trong hai thừa số a và b, chẳng hạn là a, chia hết cho d, do đó b cũng chia hết cho d, trái với (a, b) = 1. Vậy (ab, a + b) = 1. Bài toán 3. Tìm số tự nhiên n để các số: 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau? Hướng dẫn giải Giả sử 9n + 24 và 3n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d. Ta có ( ) ( ) { }9 24 3 3 4 12 2;3n n d d d+ − + ⇒ ⇒ ∈  . Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = 1 là 2, 3d d≠ ≠ . Ta dễ thấy 3d ≠ vì 3n + 4 không chia hết cho 3. Muốn 2d ≠ thì ít nhất một trong hai số 9n + 24 hoặc 3n + 4 không chia hết cho 2. Ta thấy 9n + 24 là số lẻ suy ra n lẻ, 3n + 4 lẻ suy ra n lẻ. Vậy để (9n + 24, 3n + 4) = 1 thì n phải là số lẻ. Bài toán 4. Tìm n để 18n + 3 và 31n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau Hướng dẫn giải 17 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI CH IN H P H Ụ C KỲ T HI HỌC SINH G IỎI CẤP H A I Gọi UCLN( 18n + 3 ; 21n + 7) = d, => d ∈N* Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 7 18 318 3 126 42 126 21 21 21 7 6 21 7 n dn d n n d d n d n d ++ => => + − + => + +        ( ) { }21 1; 3; 7; 21d U⇒ ∈ = ± ± ± ± Do 21n + 7d, Mà 21n + 7 không chia hết cho 3, nên d = 1 hoặc d = 7 Để hai số 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyen tố thì d khác 7 hay 18n + 3 7/ => 18n + 3 -2 1 / 7=>18n - 18 / 7=>18( n - 1) / 7 => n - 1 / 7 => n - 1 ≠ 7k => n ≠ 7k + 1 Vậy n ≠ 7k + 1 với k là số tự nhiên thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố  Dạng 6: Các bài toán về phân số tối giản * Cơ sở phương pháp: Một phân số là tối giản khi tử số và mẫu số có ước chung lớn nhất bằng 1. * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Chứng minh rằng 2 3 3 4 n n + + là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. Hướng dẫn giải Gọi d là ước chung của (2n + 3) và (3n + 4). Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 32 3 3 2 3 2 3 4 1 2 3 43 4 n dn d n n d d d n dn d ++ ⇒ ⇒ + − + ⇒ ⇒ ∈  ++       Ư(1) Mà Ư(1) { } { }1;1 1;1d= − ⇒ ∈ − Vậy 2 3 3 4 n n + + là phân số tối giản. Bài toán 2. Chứng minh rằng 21 4 14 3 n n + + là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi (2n + 4, 14n + 3) = d ( ) ( ) ( ) 21 4 1 7 1 3 14 2 3 3 14 3 2 n d n n n d +⇒ ⇒ + ⇒ + +     Từ (1) và (3) suy ra 1 1d d⇒ = Vậy 21 4 14 3 n n + + là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. Cách 2: Giả sử phân số 21 4 14 3 n n + + chưa tối giản TỦ SÁCH CẤP 2| 18 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CH U Y Ê N Đ Ề SỐ HỌ C Suy ra 21n + 1 và 14n + 3 có một ước số chung nguyên tố d. ( ) ( )21 4 14 3 7 1 14 2 n n n d n d ⇒ + − + = + ⇒ +   Do đó: ( ) ( )14 3 14 1 1n n d+ − + =  ,vô lý Vậy bài toán được chứng minh. Bài toán 3. Chứng minh rằng 2 2 3 3 2 n n n + + + là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. Hướng dẫn giải Ta viết lại: ( )( )2 2 3 2 3 1 23 2 n n n nn n + + = + ++