Bất đẳng thức- Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất ôn thi Đại học

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT- CM BĐT Cho 3 số dương x , y , z thay đổi và . Tìm GTLN của biểu thức Ta có : x + y + z = 1 TT: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . Vậy Cho 3 số dương . Chứng minh HD: ttuong tự ta có được . Ta cần chứng minh Thật vậy ta có (tự chứng minh bằng phép bđtđ) Áp dụng vì Cho 3 số dương . Chứng minh HD: BĐ Theo cô si ta có Vậy CM tương tự Suy ra Ta cần CM Thật vâỵ Cho 3 số thực a, b, c sao cho . CMR: HD: Cho 3 số thực dương a, b, c sao cho . Tìm GNNN HD: tương tự Suy ra Suy ra Tương tự Dấu bằng xảy ra Cho a, b, c, d là các số thực thỏa điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức HD: Cần chứng minh lại Khi đó Ta có Suy ra dấu cảu f’(d) là dấu của . Từ bbt suy ra = xảy ra Cho x, y là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: . HD: Vì Đặt x+y = t Ta có Xét với Bảng biến thiên suy ra Vậy maxP =4 Min P = -4 Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau HD: Ta có: và Mà và Suy ra Vậy Pmin =12 khi x =y =z=1 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a.b.c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Đặt . Khi đó theo giả thiết ta có x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn: xyz = 1 và biểu thức T đươc viết lại: Ta luôn có Bđt đúng: Þ (1) Tương tự: (2); (3) Cộng vế theo vế các bđt (1), (2), (3) ta được: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1 Vậy đạt được khi a = b = c = 1 Cho . Tìm GTNN của biểu thức HD: Đặt đưa về khảo sát Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa . Tìm GTLN của biểu thức HD: Ta có TT: Suy ra Dấu đẳng thức xảy ra khi Cho thỏa . CM: HD: AD bđt cốsi ta có mà Vậy Dấu bằng xảy ra Cho a, b, c dương và . CM: HD: Ta có , TT: Vậy cô si . Ta chỉ cần minh Luôn đúng vì = xảy ra Cho a, b dương và thỏa . CM: HD: 3 Ta có ta chứng minh (*) Đặt ta được dấu = khi x = 2 Cho a, b, c dương và thỏa . Tìm GTNN HD: .Đặt Ta có Tìm GTNN của biểu thức Đặt . Suy ra xét dấu bằng đạo hàm cấp 2 suy ra dấu đaọ hàm cấp 1 KL: Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm GTLN- GTNN của biểu thức . Đặt với Khi đó Cho a, b, c dương. CMR: TT: suy ra Đpcm Cho x, y , z là các số thực không âm.Tìm GTLN của biểu thức HD: . Đặt KSHS suy ra Cho a, b dương và thỏa . CM: HD: Suy ra .. Suy ra Cho là những số dương thỏa mãn: . Chứng minh bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức Ta có: Ta lại có: Tương tự: Từ đó suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Cho 3 số dương x , y , z có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức : Ta có : x + y + z = 1 TT: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . Chứng minh rằng thì Đẳng thức xảy ra khi nào ? Ta có (*) (1) Theo BĐT cô si và (*) ta có . VËy Dấu bằng xảy ra Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Đặt ta có và với Suy ra do đó .. Cho x,y dương và thỏa . Tìm GTNN của biểu thức Ta biến đổi Do nên . Đặt , điều kiện của t là Khi đó biểu thức ta thấy với mọi , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là:. Cho a, b, c dương thỏa . CMR AD BĐT cô si ta có , TT Khi đó mà do đó ta chỉ cần chứng minh với Theo BĐT cô si ta có TT suy ra điều phải chứng minh Cho 3 số dương a, b, c thỏa . CM: Theo BĐT Từ GT suy ra mà suy ra đpcm Cho a, b, c là 3 số thực thỏa và thỏa . Chứng minh Đặt đpcm tương dương Thật vậy Mà nên suy ra đpcm Cho 3 số thực dương a, b, c và thỏa . Tìm GTLN của biểu thức Ta có Suy ra Kết hợp điều kiện và giả thiết suy ra AD BĐT cô si cho 2048 số Nhân vế theo vế suy ra TT , Suy ra vậy max là Cho a; b; c là các số dương. CMR Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: HD: Để ý nên từ đó suy ra đpcm Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR ( Với p là nửa chu vi) Tương tự bài 31. Cho ba số a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: HD: Nhận xét Suy ra đpcm (như bài trên) Cho. Chứng minh rằng HD: Cho các số dương a, b, c . CMR: Đặt Khi đó Ta được trở thành: Với Cho các số dương a; b; c. Chứng minh rằng Cho các số dương a, b, c . Chứng minh rằng HD: Tương tự suy ra đpcm Cho các số dương x; y; z thỏa mãn: CMR vì Cho các số dương thỏa mãn : Chứng minh rằng: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. CMR: HD: Tương tự Cộng vế theo vế của (1); (2); (3) ta có đpcm. Dấu “ =” xảy ra khi a =b =c hay tam giác đều Cho CMR HD: Bài toán trên có thể viết lại: ( do x1 + x2 +...+xn = 1) Suy ra (*) đúng do đó ta có (16.1) đúng. Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Xét hàm số , với 0<x<3 Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7 . Cho là các số thực thỏa mãn .Tìm GTLN, GTNN của Ta có = Đặt . Ta có suy ra Ta tìm max, min của f(t) trên Ta có Suy ra khi suy ra khi suy ra Cho a,b, c dương và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ta có: (1) (2) (3) Lấy (1)+(2)+(3) ta được:(4) Vì Từ (4) vậy giá trị nhỏ nhất khi a = b = c = 1 Xét các số thực a, b, c thỏa mãn Tìm GTLN của biểu thức . AD BĐT cô si cho 2012 số với 5 số và 2007 số 1 ta có . TT ta có Vậy Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: *Biến đổi *Từ đó Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1) ta được : mà (Biến đổi tương đương) Tương tự: => (BĐT Côsi) => P Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1 Cho x, y dương và . Tìm GTNN của biểu thức khi Cho 2 số thực x, y thỏa Tìm GTLN- GTNN của biểu thức Mặt khác Suy ra Cho x,y, z dương và thỏa . CMR: Đặt , bđt cần chứng minh có dạng Ta có suy ra đpcm Cho x, y, z không âm và . Tìm minP với Ta luôn có . Đặt khi đó đặt Xét hàm số Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn . Chứng minh Ta có TT suy ra Ta có Suy ra Cho x, y, z là các số thực dương thỏa. CM . Tìm GTLN của biểu thức Cho x,y dương và . Tìm GTNN của biểu thức Đặt do và khi đó . KSHS suy ra Cho x, y, z không âm và . Tìm GTNN của biểu thức Cho x, y, z là các số thực thỏa . Tìm GTLN của biểu thức Ta có ; Suy ra . Dấu bằng xảy ra Cho x, y, z là 3 số thực dương. CM Ta có ; Vậy Cho x, y, z dương và thỏa . Tìm GTNN Đặt do Khi đó Ta có Mà ta có theo CS ;TT cho các biến còn lại nên ta có Cho a, b, c là các số thực dương chứng minh rằng Ta có Có thể CM lại đơn giản TT cho các biểu thức khác suy ra \ Cho x,y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thỏa điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức Ta có ; Từ đó suy ra Cho là các số thực dương thoả mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Sử dụng bđt AM-GM, ta có Từ đó suy ra Do và nên . Từ đây kết hợp với trên ta được . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1