Bảng ôn tập Lượng giác lớp 11

I. Các công thức lượng giác cần nhớ 1. Công thức cơ bản -1 sin 1x  -1 cos 1x  sin( + k2) = sin; cos( + k2) = cos; tan( +k) = tan; cot( + k) = cot * Hàm số siny x có TXĐ: D=R; TGT:  1;1 ; Tuần hoàn với chu kì: 2T  là hàm số lẻ * Hàm số cosy x có TXĐ: D=R; TGT:  1;1 ; Tuần hoàn với chu kì: 2T  ; là hàm số chẵn * Hàm số tany x có TXĐ:        ZkkRD , 2 \   ; TGT: R; Tuần hoàn với chu kì: T  ; là hàm số lẻ * Hàm số cosy x có TXĐ:  ZkkRD  ,\  ; TGT: R; Tuần hoàn với chu kì: T  ; là hàm số lẻ Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt  0 0o  30 6 o  454 o  60 3 o  90 2 o  2 120 3 o  3 135 4 o  5 150 6 o  180o sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  3 2  -1 tan 0 1 3 1 3  3 -1 1 3  0 cot  3 1 1 3 0 1 3  -1 3  2. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản 2 2sin cos 1   ; tan .cot 1   ; 2 2 1 1 tan cos     ; 2 2 1 1 cot sin     3. Các công thức có liên quan đặc biệt a. Cung đối nhau sin(-) = - sin ; cos(-) = cos; tan(-) = - tan; cot(-) = -cot; b. Cung bù nhau sin( - ) = sin; cos( - ) = - cos; tan( - ) = - tan; cot( - ) = - cot; c. Cung phụ nhau sin cos 2           ; cos sin 2           ; tan cot 2           ; cot tan 2           d. Cung hơn kém   sin sin     ;  cos cos     ;  tan tan    ;  cot cot    e. Cung hơn kém 2  sin cos 2           ; cos sin 2            ; tan cot 2            ; cot tan 2            Góc Hàm Trường THPT số 3 Bố Trạch. Lớp: ... Học sinh: ............ Năm học: 2013-2014 4. Công thức cộng  cos cos cos sin sina b a b a b   ;  sin sin cos cos sina b a b a b    cos cos cos sin sina b a b a b   ;  sin sin cos cos sina b a b a b   5. Công thức nhân đôi sin 2 2sin cosx x x ; 2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x      2 2 tan tan 2 1 tan x x x   6. Công thức hạ bậc 2 1 cos 2 sin 2 x x   ; 2 1 cos 2 cos 2 x x   7. Công thức nhân ba 3sin 3 3sin 4sinx x x  3cos3 4cos 3cosx x x  ;  2 2 3 tan tan tan 3 1 3tan x x x x    8. Công thức biến đổi tích thành tổng     1 cos .cos cos cos 2 x y x y x y      ;     1 sin .sin cos cos 2 x y x y x y          1 sin .cos sin sin 2 x y x y x y      ; 9. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos .cos 2 2 x y x y x y     ;  sin tan tan cos cos x y x y x y    cos cos 2sin .sin 2 2 x y x y x y      ;  sin tan tan cos cos x y x y x y    sin sin 2sin .cos 2 2 x y x y x y     ;  sin cot t sin sin x y x co y x y    sin sin 2cos .sin 2 2 x y x y x y     ;  sin cot t sin sin y x x co y x y    10. Công thức rút gọn: asin x + bcos x    2 2 2 2sin cos .sin .cosa x b x a b x a b x           2 2 2 2sin cos .sin .cosa x b x a b x a b x         Đặc biệt: sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x                  sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x                   Mở rộng: 2 cot tan sin 2 x x x   cot tan 2cot 2x x x  11. Công thức tính sin ; cos; tan  theo tan 2  Đặt tan 2 t   ta có: 2 2 sin 1 t t    2 2 1 cos 1 t t     2 2 tan 1 t t    “Trờn bước đường thành cụng khụng cú dấu chõn của những kẻ lười biếng” II. Phương trình lượng giác 1. Phương trình lượng giác cơ bản PTLG cơ bản ĐK cú nghiệm ĐK của nghiệm CT nghiệm ( Radian) CT nghiệm ( Độ) Tổng quỏt sinx= a 1a Rx 2 , 2 x k k Z x k                  000 00 360180 360 kax kax                    2 2 sinsin kxgxf kxgxf xgxf cosx= a 1a Rx Zkkx  ,2 Zkkax  ,360 00         2 coscos kxgxf xgxf   tanx= a Ra , 2 x k k Z     Zkkx  , Zkkax  ,180 00         kxgxf xgxf   tantan cotx= a Ra ,x k k Z  Zkkx  , Zkkax  ,180 00         kxgxf xgxf   cotcot * Nếu 2 2 sin a            thỡ ta viết arcsin a  . Khi đú, sinx= a arcsin 2 , arcsin 2 x a k k Z x a k          * Nếu      a  cos 0 thỡ ta viết aarccos . Khi đú, cosx= a Zkkax  ,2arccos  * Nếu x1 là hđộ giao điểm, với 1 2 2 x      ta đặt x1=arctana. Khi đú, tanx= a arctan ,x a k k Z   * Nếu x2 là hđộ giao điểm, với  20 x ta đặt x2 = arccota. Khi đú, cotx= a cot ,x arc a k k Z   Cỏc trường hợp đặc biệt: * sin 1 2 , 2 x x k k Z       ; sin 1 2 , 2 x x k k Z         ; sin 0 ,x x k k Z    ; * cos 1 2 ,x x k k Z    ; cos 1 2 ,x x k k Z       ; cos 0 , 2 x x k k Z       ; * tan 1 , 4 x x k k Z       ; tan 1 , 4 x x k k Z         ; tan 0 ,x x k k Z    ; * cot 1 , 4 x x k k Z       ; cot 1 , 4 x x k k Z         ; cot 0 , 2 x x k k Z       2. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. * Định nghĩa: Là phương trình có dạng  0 0at b a   trong đó t là một trong bốn hàm số lượng giác * Cách giải: Đưa về dạng: b t a    Phương trình cơ bản 3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. * Định nghĩa: Là phương trình có dạng  2 0 0at bt c a    trong đó t là một trong bốn hàm số lượng giác * Cách giải: Giải phương trình tìm t (thoả mãn điều kiện); Với mỗi t thoả mãn ta có PTLG cơ bản  nghiệm x 4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x: * Dạng: sin cos ( , , 0)a x b x c a b c   (*) Chú ý: Điều kiện đề phương trình có nghiệm là: 2 2 2a b c  * Cách giải: Chia hai vế của phương trình cho 2 2a b ta được phương trình: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b      (**) Đặt 2 2 2 2 cos sin a a b b a b           Khi đó phương trình (**) trở thành: 2 2 sin cos cos sin c x x a b       2 2 sin c x a b     là PTLG cơ bản 5. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x: * Dạng phương trình: 2 2sin sin cos .cos 0a x b x x c x   (*) * Cách giải: Cách 1: Bước 1: Thử cos 0x  vào PT: PT (*) không thỏa  , 2 x k k     không là nghiệm của phương trình; PT (*) thỏa  , 2 x k k     là nghiệm của phương trình; Bước 2: Chia cả hai vế của (*) cho x2cos ta được PT ( Nếu 0cos x là nghiệm  giả sử 0cos x mới chia) 2tan tan 0a x b x c   Bước 3: Giải phương trình ta được nghiệm của phương trình đã cho. Chú ý: Nếu phương trình có dạng tổng quát: 2 2sin sin cos .cos ( 0)a x b x x c x d d    (**) Ta biến đổi như sau: (**) 2 2 2 2sin sin cos .cos (sin cos )a x b x x c x d x x        2 2sin sin cos cos 0a d x b x x c d x      . Đây là phương trình có dạng (*) Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x. (tự giải) 6. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx * Dạng phương trình:  sin cos sin cosa x x b x x c   * Cách giải: Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x          ; điều kiện: 2t  2 2 11 2sin cos sin cos 2 t t x x x x       Phương trình trở thành:   2 21 2 2 0 2 t at b c bt at b c         Giải phương trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phương trình : 2 sin sin 4 4 2 t x t x                  đã biết cách giải 7. Phương trình gần đối xứng đối với sinx và cosx * Dạng phương trình:  sin cos sin cosa x x b x x c   * Cách giải: Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x          ; điều kiện: 2t  2 2 11 2sin cos sin cos 2 t t x x x x       Phương trình trở thành:   2 21 2 2 0 2 t at b c bt at b c         Giải phương trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phương trình : 2 sin sin 4 4 2 t x t x                  đã biết cách giải “Trờn bước đường thành cụng khụng cú dấu chõn của những kẻ lười biếng”