Bài toán khoảng cách trong hình học không gian

Bài toán khoảng cách trong hình học không gian Mục lục Loại 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, một đường thẳng................................................................ 1 A. Tóm tắt lý thuyết .......................................................................................................................... 1 B. Một số ví dụ ................................................................................................................................. 3 C. Bài tập ......................................................................................................................................... 8 Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng .... 11 A. Tóm tắt lý thuyết ........................................................................................................................ 11 B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 12 C. Bài tập ....................................................................................................................................... 15 Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, khoang cach trong khong gian THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1 Loại 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, một đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) bằng khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng). Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng  P được ký hiệu là   d M; P . H là hình chiếu vuông góc của M lên  P thì   d M; P MH Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng  được ký hiệu là  d M; . H là hình chiếu vuông góc của M lên  thì  d M; MH  . 2. Bài toán cơ bản: Nhiều bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường thẳng có thể quy về bài toán cơ bản sau Bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC và khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC . Cách giải: Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC , H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD . Ta có +)  SA ABC  BC SA , lại có BC AD (do dựng)   BC SAD  SD BC   d S;BC SD . +) Từ chứng minh trên, đã có  BC SAD  AH BC , lại có AH SD (do vẽ)   AH SBC    d A; SBC AH . H P M Δ M H S A C B D H THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2 3. Một số lưu ý * Về cách tính khoảng cách một cách gián tiếp +)  MN P       d M; P d N; P . +)       M,N Q Q P            d M; P d N; P . +)  MN P I         d M; P d M; Q MI NI . Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN       d M; P d N; P . +) MN        d M; P d N; P . +) MN I      d M; d M;MI NI    . Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN     d M; d N;   . * Về cách sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp 1 2 nS.A A ...A . Ta có   3VS.A A ...A1 2 n 1 2 n SA A ...A1 2 n d S, A A ...A    . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau, cắt nhau theo giao tuyến  . Lấy A , B thuộc  và đặt AB a . Lấy C , D lần lượt thuộc  P và  Q sao cho AC , BD vuông góc với  và AC BD a  . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng phẳng  BCD . Giải Ta có    P Q ,    P Q   ,  AC P , AC     AC Q  BD AC . Lại có BD AB   BD ABC  1 . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC . Vì ABC vuông cân tại A nên AH BC và a 2BC2 2AH   . Từ  1 suy ra AH BD   AH BCD . Do đó H là chân đường vuông góc hạ từ A lên  BCD     a 22d A; BCD AH  . Ví dụ 2. [ĐHD12] Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác A'AC vuông cân, A'C a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD' theo a . Giải Q P Δ a a a H A B C D THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 4 A'AC vuông cân (tại A ) nên A'C 2 AC AA' a 2   . ABC vuông cân (tại B ) nên AC 2 AB a  . Hạ AH A 'B ( H A 'B ) .Ta có BC ABB'A'  AH BC , lại có AH A 'B (do dựng)   AH BCD' . AH là đường cao của tam giác vuông ABA'  31 1 1 1 12 2 2 2 2 2AH AB AA' a 2a 2a       a 6 3AH  .Vậy   a 6 3d A;BCD' AH AH   . Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có SA 3a và  SA ABC . Giả sử AB BC 2a  , ABC 120  . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC . Giải Dựng AD BC ( D BC ) và AH SD ( H SD ). Thật vậy, từ giả thiết ta có CD SA , lại có CD AD (do dựng)   CD SAD  AH CD , mà AH SD   AH SCD  H là chân đường vuông góc hạ từ A lên  SBC . Ta có AD AB sin ABD 2asin 60 a 3   . AH là đường cao của tam giác SAD vuông tại A nên: 1 1 1 1 1 42 2 2 2 2 2AH AS AD 9a 3a 9a       3a2AH  . Vậy   3a 2d A;SBC AH  . a a 2 a 2 2a C C' D D' A A' B B' H 2a 2a 3a 120o S A C B D H THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 5 Ví dụ 4. [ĐHD11] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , BA 3a , BC 4a ; mặt phẳng  SBC vuông góc với mặt phẳng  ABC . Biết SB 2a 3 và SBC 30  . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC theo a . Giải Hạ SK BC ( K BC ). Vì    SBC ABC nên  SK ABC . Ta có  32BK SBcosSBC 2a 3. 3a    KC BC BK 4a 3a a     . Do đó nếu ký hiệu 1d , 2d lần lượt là các khoảng cách từ các điểm B , K tới  SAC thì d BC1d KC2 4  , hay 1 2d 4d . Hạ KD AC ( D AC ), hạ KH SD ( H SD ). Từ  SK ABC  AC SK , lại có AC KD (do dựng)   AC SKD  KH AC , mà KH SD (do dựng)   KH SAC  2d KH . Từ ADK ABA  suy ra: CK DKCA BA  BA.CK 3a.a 3a CA 5a 5DK    (    2 22 2CA BA BC 3a 4a 5a     ). KS SB.sin SBC a 3  . KH là đường cao của tam giác vuông SKD nên: 25 281 1 1 1 2 2 2 2 2 2KH KD KS 9a 3a 9a       3a 714KH  . Vậy    6a 71 2 7d B; SAC d 4d 4KH    . Ví dụ 5. [ĐHB11] Cho lăng trụ 1 1 1 1ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm 1A lên mặt phẳng  ABCD trùng với giao điểm của AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng  1 1ADD A và  ABCD bằng 60 . Tính khoảng cách từ điểm 1B đến mặt phẳng  1A BD theo a . 30° 2a 3 4a 3a K S C A B D H THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 6 Giải Vì 1B A cặt mặt phẳng  1A BD tại trung điểm của 1B A nên khoảng cách từ 1B và A tới  1A BD bằng nhau. Gọi I là giao điểm của AC và BD , M là trung điểm của AD . Ta có  1A I ABCD  1AD A I  1 . Lại có IAD là tam giác cân tại I nên trung tuyến IM đồng thời là đường cao, tức là AD IM  2 . Từ  1 và  2 suy ra  1AD A IM  1A M AD . Do đó 1A MI chính là góc giữa hai mặt phẳng  1 1A D DA và  ABCD  1A MI 60  . Từ   1A ABD A BD 11 3 1V S .d A; A BD suy ra    33a3VA ABD a 31 4 1 S 2 2A BD a 31 2 d A; A BD    . Vậy    a 31 1 2d B ; A BD  . Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và AC 2a . SA có độ dài bằng a và vuông góc với đáy. 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC . 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB . Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến đường thẳng CH .  a 3 1 1 2A I IM.tan A MI   A ABD1V 1 ABD 13 S .A I 1 1 13 2. AB.AD.A I 3a 3 a1 6 2 4a.a 3.  . Lại có A BD1S 1 12 BD.A I 2a 3 a 32 21 2 2 2a 3a .   . a 3 a I M D1C1 B1 A1 DC B A 60o THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 7 Giải 1) Ta có  SA ABC  BC SA , cũng từ giả thiết ta có BC AB   BC SAB  SB BC . BC 2 AB a 2   2 2 2 2SB SA AB a 2a a 3     . Vậy  d S;BC SB a 3  . 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB . Ở câu trên, ta đã chứng minh  BC SAB  AH BC , lại có AH SB AH CH . Lại lấy K là trung điểm của CH  MK song song và bằng 12 AH  MK CH , a 6a.a 2SA.AB1 12 2 62 2 2 2SA AB a 2a MK      . Vậy   a 66d M;CH MK  . 2a a K M H S A C B THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 8 C. Bài tập Bài 1. Cho tứ diệnOABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ  OH ABC . 1) Chứng minh: H là trực tâm ABC . 2) Chứng minh: 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    . Bài 2. [ĐHD02] Cho tứ diện ABCD có  AD ABC ; AC AD 4cm  , AB 3cm , BC 5cm . Tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng  BCD . Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a   , ASB 120  , BSC 60  , CSA 90  . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC . Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Cạnh AB có độ dài bằng a và nằm trong mặt phẳng   . Biết rằng cạnh AC có độ dài bằng a 2 và tạo với mặt phẳng   góc 60 , hãy tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng   . Bài 5. Trong mặt phẳng   cho góc vuông xOy . M là một điểm nằm ngoài   . Biết rằng MO 23 cm và khoảng cách từ M đến Ox , Oy cùng bằng 17 cm . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   . Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Biết rằng AB 7 cm , BC 5 cm , CA 8 cm , SA 4 cm . 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 2) Tính khoảng cách từ các điểm S và A đến đường thẳng BC . Bài 7. [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,  ABC BAD 90   , BA BC a  , AD 2a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD theo a . Bài 8. [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AA' 2a , A'C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C' , I là giao điểm của AM và A'C . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  IBC theo a . Bài 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . Gọi G là tâm của đáy, M là trung điểm của SC . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 9 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC . 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SAG . Bài 10. Cho ABC là tam giác vuông cân tại B , BA a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC tại A lấy điểm S sao cho SA a . Gọi I , M theo thứ tự là trung điểm của SC , AB . 1) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  ABC 2) Tính khoảng cách từ các điểm S và I đến đường thẳng CM . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 10 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 11 Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết 4. Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . * Đường thẳng  cắt a , b và vuông góc với a , b được gọi là đường vuông góc chung của a và b . * Nếu đường vuông góc chung cắt a , b lần lượt tại M , N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b . 5. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau * Phương pháp tổng quát: Cho hai đường thẳng chéo nhau a , b . Gọi   là mặt phẳng chứa b và song song với a , a' là hình chiếu vuông góc của a lên   . Đặt N a' b  , gọi  là đường thẳng qua N và vuông góc với     là đường vuông góc chung của a và b . Đặt M a   khoảng cách giữa a và b là độ dài đường thẳng MN . * Trường hợp đặc biệt: Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với hau a , b . Gọi   là mặt phẳng chứa b và vuông góc với a . Đặt  M a   . Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống b  MN là đường vuông góc chung của a , b và a b Δ N M a a' b α M N a a' b α M N THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 12 khoảng cách giữa a , b là độ dài đoạn thẳng MN . 6. Nhận xét: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Các nhận xét nhau đây cho ta cách khác để tính khoảng cách giữa a và b . * Nếu   là mặt phẳng chứa a và song song với b thì khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa b và   . * Nếu   ,   là các đường thẳng song song với nhau, lần lượt chứa a , b thì khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa   và   . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông có BA BC a  , cạnh bên AA' a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C . Giải Lấy N là trung điểm của BB ' , ta có MN là đường trung bình của tam giác B'BC  B'C MN   B'C AMN . Do đó        d B'C;AM d B'C; AMN d B'; AMN  . Lại có BB ' cắt  AMN tại N là trung điểm của BB ' nên      d B'; AMN d B; AMN . Hình chóp B.AMN có BA , BM , BN đôi một vuông góc nên   2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 2 7 d B; AMN BA BM BN a a a a            a 7d B; AMN 7 . Vậy   a 7d B'C;AM 7  . Ví dụ 2. [ĐHA06] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 1 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN . Giải N M A B C C' B' A' THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 13 Ta thấy MN BC   MN A'BC        d A'C;MN d MN;A'BC d M; A'BC  . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống A 'B . Ta có:  BC ABB'A'  MH BC , mặt khác MH  A 'B (do vẽ)   MH A'BC  H chính là chân đường vuông góc hạ từ M xuống  A'BC . MH là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân HBM  a 2BM 42 MH   . Vậy   a 24d A'C;MN  . Ví dụ 3. [ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi đường chéo AC 4 , SO 2 2 và SO vuông góc với đáy ABCD , ở đây O là giao điểm của AC và BD . Gọi M là trung điểm của SC . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM . Giải Ta có MO là đường trung bình của tam giác SAC  SA MO   SA MBD       d SA;MB d SA;MBD d S;MBD  . SC cắt mặt phẳng  MBD tại trung điểm M của SC nên      d S; MBD d C; MBD . Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống SA , đặt H CK MO  . Ta có  SO ABCD  BD SO , lại có ABCD là hình thoi nên BD AC   BD SAC  CH BD  1 . MO SA , CK SA  CH MO  2 . Từ  1 và  2 suy ra H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống  MBD . Từ 2 2SA SO AO 8 4 2 3     , 1 1SAC 2 2S AC.SO 4.2 2 4 2   suy ra H N M C C' D D' A A' B B' K M O C A B D S H THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 14 2S 2 62.4 2SAC1 1 1 2 2 SA 2 32 3 CH CK    . Vậy   2 63d SA;MB  . Ví dụ 4. [ĐHB02] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'B và B'D . Giải Lấy M , N , P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng A'D' , BC , AD . Ta thấy A'MDP và BNDP là các hình bình hành nên MD A'P , DN PB     MDNB' A'PB . Do đó          d A'B;B'D d A'PB ; MDNB' d D; A'PB  . Lại có AD cắt  A'PB tại trung điểm P của AD       d D; A'PB d A; A'PB . Hình chóp A.A'PB có AA' , AP , AB đôi một vuông góc nên    91 1 1 1 1 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2d A; A'PB AA' AP AB a a a a            a3d A; A'PB  . Vậy   a3d A'B;B'D  . Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 6 2 cm . Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD . Giải Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD . Ta có ACD và BCD là các tam giác đều nên CD vuông góc với AN và BN  CD MN . Lại có AN AN 3 6  suy ra AB MN và  2 2MN AN AM 54 18 6 cm     . Vậy MN là đường vuông góc chung của AB , CD và khoảng cách giữa chúng là MN 6 cm . P N M C' C D' D A' A B' B M N B D C A THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 15 Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , BC 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA 2a . Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . Giải Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật   AB SCD . Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD . Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên CD AD , lại có  SA ABC  CD SA   CD SCD  AE CD  1 . Mặt khác AE SD (do dựng)  2 . Từ  1 và  2 suy ra  AE SCD  E là hình chiếu vuông góc của A lên  SCD . Đường thẳng qua E song song với CD chính là hình chiếu vuông góc của AB lên  SCD . Đường thẳng này cắt SC tại N . Đường thẳng qua N song song với AE cắt AB tại M  MN là đường vuông góc chung cần tìm.Tam giác SCD cân tại A nên E là trung điểm của SD  N là trung điểm của SD . CD a2 2AM EN    M là trung điểm của AB . Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , CD là AD 2 MN AE a 2   . 2a 2a 2a a M N E B A D C S THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 16 C. Bài tập Bài 1. [ĐHB07NC] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC . Bài 2. [ĐHA11] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a  ; hai mặt  SAB và  SAC cùng vuông góc với mặt phẳng  ABC . Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC và  ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a . Bài 3. [ĐHA10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD và SH a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . Bài 4. [ĐHA12] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt  ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA h và SA vuông góc với đáy. Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB . Bài 6. Trong mặt phẳng  P cho đường tròn đường kính AB 2R , C là một điểm chạy trên đường tròn đó. Trên đường thăng đi qua A và vuông góc với  P lấy S sao cho SA a 2R  . Gọi E và F lần lượt là trung điêm của AC và SB . Xác định vị trí của C trên đường tròn sao cho EF là đường vuông góc chung của AC và SB . Bài 7. Cho tứ diện ABCD có AC AD BC BD a    , AB 2m , CD 2n . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AB và CD . 1) Chứng minh rằng IK là đường vuông góc chung của hai cạnh AB và CD . 2) Tính độ dài IK theo a , m và n .