Bài tập Phương trình, bất phương trình mũ và logarit - Phần 3
Bài 5
Bất phương trình mũ và logarit
1. Bất phương trình mũ
Đó là bất phương trình có dạng
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài tập Phương trình, bất phương trình mũ và logarit - Phần 3, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Bài 5
Bất ph−ơng trình mũ và logarit
1. Bất ph−ơng trình mũ
Đó là bất ph−ơng trình có dạng
f(x) g(x)a a> (hoặc a ). (1) f(x) g(x)a≥
Để giải (1), ng−ời ta th−ờng dựa vào các phép biến đổi t−ơng đ−ơng
sau
f(x) g(x)a a
a 1
> >
⇔ f(x) g(x)
a 1
> >
f(x) g(x)a a
0 a 1
> < <
⇔ f(x) g(x)
0 a 1.
< < <
Ví dụ 1. Giải các bất ph−ơng trình sau
a) ; b)
2x x 62 1− − >
24x 15x 13
3x 41 4
4
− + − < . (1)
Giải. a) Bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với
x2 − x − 6 > 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) > 0
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞).
b) (1) ⇔ 4x2 − 15x + 13 < 4 − 3x (vì 43x−4 =
4 x
1
)
4
− .
⇔ 4x2 − 12x + 9 < 0 ⇔ (2x − 3)2 < 0 ⇔ x ∈ ∅. (vô nghiệm)
Ví dụ 2. Giải bất ph−ơng trình x25x − 5x+2 ≤ 0. (2)
Giải. (2) ⇔ 5x.(x2 − 52) ≤ 0 ⇔ x2 − 52 ≤ 0
(vì 5x > 0) ⇔ −5 ≤ x ≤ 5.
Ví dụ 3. Giải bất ph−ơng trình
a)
2x x 2
8 1 x x87 7 ( 7)
− −< + 6, (3)
b)
2x 7,2x 3,96 x(5 25 5) 0− +− − .≥ (4)
a) (3) ⇔ ( )22 x xx x 887 7.7 −− −< + 6 . (5)
Đặt
2x x
8
−
=7 . Từ (5) ta có y
7
y 6
y
y 0
⇔
(y 7)(y 1)
0
y
y 0
− +
⇔ 0 < y < 7. Trở lại biến cũ, ta có
1
(5) ⇔
2x
x 1
8
− < ⇔ (x 4 2 2)(x 4 2 2) 0− + − − <
⇔ x ∈ (−∞, 4 − ( ,4 2 2) (4 2 2, )−∞ − ∪ + +∞ .
b) (4) ⇔ 2x 7,2x 3,9
6 x 0
5 25
x 6
− +
− = 5 0− ≥ <
⇔ 2
x 6
x 7,2x 1,4
x 6.
= 0− + ≥ <
⇔
x 6
1
x (x 7)
5
x 6
= − − ≥ <
0 ⇔ x ∈ 1,
5
−∞ ∪ {6}.
Chú ý. Để đơn giản trong quá trình giải, ta có thể dùng ẩn phụ. Chẳng
hạn đối với bất ph−ơng trình
f(ax) ≥ 0, 0 < a ≠ 1,
ta đặt t = ax để đi đến hệ
f(t) 0
t 0.
≥ >
Ví dụ 4. Giải các bất ph−ơng trình sau
a)
x x
72 1 1
3 3
> 3 1 (6) ,
b)
x x
1 1
.
3 1 1 2 −
>− − 1 (7)
Giải. a) (6) ⇔ 72 x x3 1− − >
⇔ 72 − x − x > 0 ⇒
2t t 72
t x 0
0+ − < = ≥
⇔ 0 t 8
t x
≤ < =
⇔ 0 ≤ x < 64.
b) (7) ⇔
x 1 x
x x 1
1 3 3 1
0.
(3 1)(1 3 )
−
−
− − + >− − (8)
Đặt t= 3x, (8) có dạng
2
t 0
t
2 t
3 0
t
(t 1) 1
3
> − − > − −
⇔
t 0
4
2 t
3 0
t
(t 1) 1
3
> − > − −
⇔
3
t
2 0
(t 1)(4 t)
t 0
− > − − >
⇔
3
1 t
2
t 4
Từ đó (8) ⇔
x
x
3
1 3
2
4 3
< < <
⇔ 3
3
3
0 x log
2
log 4 x.
< < <
Ví dụ 5. Giải bất ph−ơng trình
3x x x( 2) (4 2) 2.8 .+ ≥ (9)
(9) ⇔
3x x
2 2
2
2 2
+ ≥ ⇔
3
x
t t 2 0
2
t 0
2
+ − ≥ = >
⇔
2
x
(t 1)(t t 2) 0
2
t 0
2
− + + ≥ = >
⇔
x
2
1
2
≥
(vì t2 + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0].
Chú ý : Khi giải bất ph−ơng trình mũ ta có thể logarit hóa hai vế.
Ví dụ 6. Giải các bất ph−ơng trình
a) , (10) 2x 1 3 x5 7− < −
b)
x 1 (3/ 4)x 14 4 5
5 5 5
− − > (11)
Giải. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log57)(3 − x) (vì hai vế d−ơng)
⇔ (2 + log57)x < 3log57 + 1.
⇔ x < 5
5
1 3log 7
.
2 log 7
+
+
b) (11) ⇔ 5 54 1 4 3 3(x 1) log log x 15 2 5 4 2
− + > − −
⇔ 5 54 3 1 4 5x log log5 4 2 5 2
− > −
3
⇔ x < 5
5
4
log 5
5 .
4 3
2 log
5 4
−
−
Ví dụ 7. Tìm a để bất ph−ơng trình sau nghiệm đúng với mọi x,
x x 29 2(2a 1)3 4a 3 0+ + + − > . (12)
Đặt t = 3x, (12) có dạng
f(t) := t2 + 2(2a + 1)t + 4a2 − 3 > 0. (13)
Bài toán trở thành : tìm a để (13) đúng với mọi t > 0.
Ta có f(t) = (t + 2a + 1)2 − 4(a + 1)
a) a + 1 < 0 (⇔ a < −1), (13) đúng với mọi t.
b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 − 2 a 1+ )(t + 2a + 1 + 2 a ) > 0 1+
⇔ t 2a 1 2 a
t 2a 1 2 a
− − + +
1
1
Để (13) đúng với mọi t > 0, cần và đủ là
−2a − 1 + 2 a 1 0+ ≤ ⇔ 2 a 1 2a 1+ ≤ + (14)
⇔ ⇔
24(a 1) 4a 4a 1
2a 1 0
+ ≤ + + + ≥ 2
1
a
2
4a 3 0
≥ − − ≥
⇔ a ≥ 3 .
2
Đáp số a ∈ (−∞, −1) ∪ 3 , )
2
.+∞
Ví dụ 8. Giải và biện luận
a) a2 − 9x+1 − 8a.3x > 0, (15)
b) a2 − 2.4x+1 − a.2x+1 > 0. (16)
a) (15) ⇔ a2 − 8a.3x − 9x+1 > 0 ⇔ x 2 x(a 4.3 ) 25.9 0− − >
⇔ ⇔ x 2 x(4.3 a) (5.3 )− > 2
.
x x
x x
4.3 a 5.3 (17)
4.3 a 5.3 . (18)
− > − < −
⇔ (19)
x
x 2
3 a
3 a+
< − <
+ Với a = 0, (19) vô nghiệm
+ Với a < 0 (19) ⇔ 3x < −a ⇔ x < log3(−a)
4
+ Với a > 0 (19) ⇔ 3x+2 < a ⇔ x < log3a − 2.
b) Đặt t = 2x, (16) có dạng
2 28t 2at a 0
t 0
+ −
⇔ ⇔
2 2(a t) 9t 0
t 0
− − > >
(a 4t)(a 2t) 0
t 0
− + > >
⇔
+ Với a = 0, hệ vô nghiệm
+ Với a < 0, hệ t−ơng đ−ơng với t < − a
2
nghĩa là (16) nghiệm đúng với mọi x ∈ 2 a, log 2
−∞ −
+ Với a > 0, hệ t−ơng đ−ơng với
0 < t <
a
4
hay x ∈ (−∞, log2a − 2).
Ví dụ 9. Với mỗi a (a > 0, a ≠ 1), giải
2x x 2a a 1+ 1.+ − ≥ (20)
Đặt t = a > 0. Lúc đó (20) có dạng x
2 2t a t 1+ − ≥1 ⇔ (21
⇔
2 4 2 4a a 4 a a 4
t t
2 2
− − + − + + − − 1.
≥
⇔
2 4
2 2
2 4
o
2 4
2 4
1
2 2
2 4
2
a a 4
0 t
(vô nghiệm)2
t a t 1 1
a a 4
t t
2
a a 4
t a a 82 t t
2
t a t 1 1
a a 8
t t
2
− + + < < + − ≤ − − + + ≥ = − + + ≥ − − +⇔ ≤ = + − ≥ − + + ≥ =
Vì t2 > to > 0 và t1 < 0 nên
(21) ⇔ t ≥ t2. Từ đó
a) Nếu 0 < a < 1 thì (20) ⇔ x ≤ logat2.
5
b) Nếu a > 1 thì (20) ⇒ x ≥ logat2.
Ví dụ 10. Giải bất ph−ơng trình
x x
x
a 1 a
a 1 1 2a
−
−
+>− − x với a > 0, a ≠ 1. (22)
(22) ⇔
x x
x x
a 1 a
0
a 1 1 2a
−
−
+− >− − ⇔
x x x
x x
a 2 a 1 1 a
0
(a 1)(1 2a )
−
−
− − − + + >− −
⇔
x x
x x
(a 2)a
0
(a 1)(a 2)
− − >− − ⇔
x
x x
1 2a
0
(a 1)(a 2)
− >− − . (23)
Đặt t = ax > 0, (23) cho ta
1
t
2 0
(t 1)(t 2)
−
<− − ⇔
1
0 t
2
1 t 2
< < < <
(24)
a) Với 0 < a < 1, (24) cho ta
x
x
1
0 a
2
1 a 2
< < < <
⇔ a
a
x log 2
0 x log 2.
> − > >
b) Với a > 1
(24) ⇔ a
a
x log 2
0 x log 2
< − < <
2. Bất ph−ơng trình logarit
Các tính chất sau đây của logarit hay đ−ợc sử dụng
a) ⇔ a alog f(x) log g(x)
a 1
> >
g(x) 0
f(x) g(x)
a 1,
> > >
b) ⇔ a alog f(x) log g(x)
0 a 1
>
< <
f(x) 0
g(x) f(x)
0 a 1,
> > < <
c) ⇔ f(x)log g(x) 0>
0 f(x) 1
0 g(x) 1
f(x) 1
g(x) 1,
>
6
d) lo ⇔ f(x)g g(x) 0<
0 f(x) 1
g(x) 1
f(x) 1
0 g(x) 1
,
> < <
Ví dụ 1. Giải bất ph−ơng trình
a) log5(x
2 − x) < 0 (1)
b) 3
x 1
g 0,
x 2
− >−lo (2)
Giải. a) (1) ⇔ 0 < x2 − x < 1 ⇔
2
x(x 1) 0
x x 1
− >
0− − <
⇔
x 0
x 1
1 5 1
x
2 2
− + < <
5
⇔ x ∈ 1 5 1 5,0 1,
2 2
− +∪
b) (2) ⇔ x 1 1
x 2
− >− ⇔
1
x 2− > 0 ⇔ x > 2.
Ví dụ 2. Giải
2
1
5
x log (x x 1) 0.+ + > (3)
(3) ⇔ ⇔ 25x log (x x 1) 0+ + <
⇔ ⇔
2
2
x 0
x x 1
x 0
x x 1
> + +
1
1
02x x
x 0
+ > <
⇔ x < −1.
Ví dụ 3. Giải bất ph−ơng trình
a) 1
3
x x 2
3log (3 1). log (3 9) 3
+− − > − (4)
b) 2 42 27 log x log x 4.− + >
0
(5)
Giải. a) Đặt t = log3(3
x − 1). Khi đó (4) có dạng
t( 2 t) 3− − > − ⇔ 2t 2t 3+ − <
⇔ −3 < t < 1. Do đó
(4) ⇔ ⇔ 3 x3 3 1− < − < 3 x28 3 4
27
< <
7
⇔ 3 328log x log 427
< <
b) Đặt t = ta nhận đ−ợc bất ph−ơng trình 22log x
7 t 2t 4− + > ⇔ 7 t 4 2t− > −
⇔ ⇔
2
7 t 0
4 2t 0
4 2t 0
7 t 4t 16t 16
− ≥ − < − ≥ − ≥ − +
2 t 7
3
t 2.
4
< ≤ < ≤
Chú ý. Trong khi giải bất ph−ơng trình logarit, đôi khi ng−ời ta dùng
công thức
ag(x)log f(x)g(x)f(x) a .=
Ví dụ 4. Giải bất ph−ơng trình
2 lg(x 1) lgx2.x 1 (x 1)− ≥ + − . (6)
(6) ⇔ 2 lg(x 1)lgx lg(x 1)lgx2.10 1 10− −≥ +
Đặt t = 10 , ta có lg(x 1)lgx−
22t t 1 0
t 0
− − ≥ >
⇔ (2t 1)(t 1) 0
t 0
+ − ≤ >
⇔ t ≥ 1.
Từ đó, (6) ⇔ ⇔ lg(x − 1)lgx ≥ 0 lg(x 1)lgx10 1− ≥
⇔ ⇔
lg(x 1) 0
lgx 0
lg(x 1) 0
lgx 0
− ≥ ≥ − ≤ ≤
x 2 hay x [2, + ).
(vì hệ sau vô nghiệm)
≥ ∈ ∞
Ví dụ 5. Giải các bất ph−ơng trình sau
a) 2x
4x 5 1
log
| x 2 | 2
− ≥ − (7)
b) 3x xg 2x log (2x ).≤lo (8)
Giải. a) Điều kiện có nghĩa là
2 2x 0, x
4x 5
0
| x 2 |
> ≠ − > −
1
⇔ x > 5
4
, x ≠ 2.
(7) ⇔
5
x ,x
4
4x 5
x
| x 2 |
> ≠ − ≥ −
2
⇔
5
x , x 2
4
4x 5 x | x 2 |
> ≠ − ≥ −
(9)
8
(9) ⇔
x 2
4x 5 x(x 2)
5
x 2
4
4x 5 x(x 2)
> − ≥ − < < − ≥ − −
⇔
2
2
x 2
x 6x 5
5
x 2
4
x 2x 5
>
0
0
− + ≤ < < + − ≥
⇔ 2 x 5
6 1 x 2.
< ≤ − ≤ <
⇔ x ∈ (2, 5] [ 6 1, 2).∪ −
b) Điều kiện x ≠ 1, x > 0. Đặt t = logx2, (8) có dạng t + 1 ≤ t 3+ ⇔
⇔
2
t 1 0
t 3 0
t 1 0
(t 1) t 3
+ < + ≥ + ≥ + ≤ +
3 t 1
1 t 1
− ≤ < −− ≤ ≤
Từ đó (8) ⇔ −3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔ x
x
x 1
3 log 2 1
0 x 1
3 log 2 1
> − ≤ ≤ < <− ≤ ≤
⇔
3
x 2
1
0 x
2
≥ < ≤
⇔ x ∈ 3 10, [2, ).
2
∪ +∞
Ví dụ 6. Giải bất ph−ơng trình
2 2 2 3
5 11
2
log (x 4x 11) log (x 4x 11)
0.
2 5x 3x
− − − − − ≥− − (10)
Điều kiện ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 −
2
2
x 4x 11
2 5x 3x 0
− − > − − ≠
0
15 ) ∪ (2 +
15 , +∞) = D
Với x ∈ D,
2
2 5
11
5
3log (x 4x 11)
log (x 4x 11) .
log 11
− −− − =
Do đó, trên D
(10) ⇒
2
5
2
5
log (x 4x 11)3
2
log 11 2 5x 3x
− − − − −
(11)
⇔
2
5
2
log (x 4x 11)
0
2 5x 3x
− − ≤− − (vì 2 − 5
3
0
log 11
< )
9
⇔ ⇔
2
5
2
2
5
2
log (x 4x 11) 0
2 5x 3x 0
log (x 4x 11) 0
2 5x 3x 0
− − ≥ − −
2
2
2
2
x 4x 11 1
3x 5x 2 0
x 4x 11 1
3x 5x 2 0
− − ≥ + − > − − ≤ + − <
⇔
x ( , 2) [6, )
1
x 2,
3
∈ −∞ − ∪ +∞ ∈ −
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ [6, +∞).
Ví dụ 7. Giải các bất ph−ơng trình
a) (12) x 1 x 1log (x 1) log xx (x 1)+ +− + − ≤ 2.
Giải : Điều kiện
x 0
x 1 0
x 1 0
x 1 1
> − > + > + ≠
⇔ x > 1.
Đặt x t . Khi đó x 1log (x 1)+ − =
t > 0, x =
1
log (x 1)x 1
x 1 x 1
x 1
1
t , log x log t
log (x 1)
−+ + ++
= −
hay ⇔ t = x 1 x 1log x log t+ = − x 1log x(x 1) +− . Từ đó (12) có dạng 2t ≤ 2
⇔ t ≤ 1 hay
x 1log (x 1)x 1+ − ≤ ⇔ x 1log (x 1) 0+ − ≤ (vì x > 1)
⇔ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2.
Kết luận 1 < x ≤ 2.
Ví dụ 8. Giải loga(x − a) > 1
a
log (x 1),+ (13)
ở đây 0 < a ≠ 1.
Giải. Điều kiện x > a. Khi đó
(13) ⇔ ⇔ a alog (x a) log (x a)− > − + 2 2alog (x a ) 0− > . (14)
a) a > 1, khi đó (14) ⇔
2 2x a
x a
1− > >
⇔ x > 21 a+
b) 0 < a < 1, lúc đó (14) ⇔
2 2x a
x a
1−
⇔ a < x < 21 a+ .
10
Đáp số : x ∈ 2( 1 a , )+ +∞ với a > 1
x ∈ 2(a, 1 a )+ với 0 < a < 1.
Ví dụ 9. Giải bất ph−ơng trình
2
a a
a
log x log x 2
1
log x 2
+ + >− ; 0 < a ≠ 1. (15)
Điều kiện x > 0, logax − 2 ≠ 0 hay
0 < x ≠ a2.
Đặt t = . Khi đó (15) có dạng alog x
2t t 2
1
t 2
+ + >− ⇔
2t 4
0
t 2
+ >− ⇔ t > 2
Trở lại biến cũ
t > 2 ⇔ ⇔ alog x 2>
2
2
x a
a 1
0 x a
0 a 1.
> > < < < <
Kết luận
2
2
x (a , ) khi a 1
x (0, a ) khi 0 a 1
∈ +∞ > ∈ < .<
11
File đính kèm:
- PT_MU-LOGA_Phan3.pdf