Bài tập Hình học lớp 11 Quan hệ vuông góc - Góc và khoảng cách

Quan hệ vuông góc - Góc và khoảng cách 1/ Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) .Tam giác ABC vuông tại B. a)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b)Từ A kẻ AH ^ SB tại H, AK ^ SC tại K. Chứng minh rằng SC ^(AHK) và tam giác AHK là tam giác vuông. Bài giải:S a) Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ AB , SA ^ AC và tam giác ABC vuông tại B nên CB ^ AB H K mà AB là hình chiếu của SB trên (ABC) CB ^ SB Vậy các tam giác SAB, SAC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại B. A b) Vì CB ^ AB và CB ^ SB CB ^ AH (1) Và AH ^ SB AH ^ SC (2) Mà ta có SC ^ AK (3) B Từ (2) và (3) SC ^(AHK) C Từ (1) và (2) AH ^(SBC) AH ^ HK hay tam giác AHK vuông tại H. 2/ Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a , SA ^ (ABC) ,SA = 2a. Gọi I là trung điểm của AB a)Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) c)Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Tóm tắt lời giải: S a) Xem lời giải câu a) của bài 1. b) Ta có BC ^ AB và BC ^ SB N A Mà tam giác SAB vuông cân tại A c) Ta có BC^ AB và BC ^ SA BC ^ (SAB) (SBC) ^ (SAB) theo giao tuyến SB Hạ AN^ SB tại N là trung điểm của SB ta có khoảng cách C từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng AN = B 3/ Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên và cạnh đáy bằng a a)Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (ABC) b)Tính góc giữa cạnh bên và đáy c)Tính góc giữa mặt bên và đáy S Tóm tắt lời giải: a) Hạ AH ^ (ABC) tại H là trọng tâm của tam giác ABC Ta có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (ABC) bằng A b) Góc giữa cạnh bên SA và đáy ABC bằng góc SAH. B C H I Tam giác vuông SHA có SH = và AH = c) Gọi I là trung điểm của AC ta có góc giữa mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC) bằng góc SIH Tam giác vuông SHI có SH = và IH = 4/ Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) và đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc φ = 30o a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) b) Tính diện tích tam giác SBC theo a Tóm tắt lời giải: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Ta có S SA = AJ.tan 300 = Góc giữa SC và mp(ABC) bằng góc SCA A Mà J’’’ I C B b) Ta có 5/ Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên hợp với đáy 1 góc φ = 60o a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy (ABC) b) Tính góc giữa mặt bên và đáy 6/ Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a .SA = SB = SC = a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác SBC 7/ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A , BC = a .SA = SB = SC = a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau c)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) d)Tính diện tích tam giác SAC 8/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60o . SA = SB = SD = a)Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau c)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) d)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) suy ra diện tích tam giác SBD 9/ Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và BB’. a)Chứng minh rằng BC’ ^ (AIJ) b)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác AIJ 10/Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,góc A = 60o,A’A=A’B =A’D = a)Tính độ dài cạnh bên của lăng trụ b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC’D’) và (A’B’CD) vuông góc nhau c)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) d)Tính diện tích tam giác A’BD