Bài tập Giới hạn hay

Bài toán. Cho dãy số xn : ; ,. Tìm lim xn? Cách 1: Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn: Ta có x1 < 2 ® hiển nhiên Giả sử xk < 2 ® ta chứng minh xk+1 < 2 Û (đúng) Vậy Ta có x1 < x2 (đúng) Giả sử xk-1 < xk ta chứng minh xk < xk+1 Đpcm Vậy dãy {xn} đơn điệu tăng và bị chặn trên nên có giới hạn L. Ta có phương trình tìm L: Do {xn} dương nên giới hạn L = 2 Cách 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy sau đó sử dụng giới hạn cơ bản + Ta có (đúng) + Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được + lim Cách 3: Sử dụng nguyên lý kẹp + Ta chứng minh xn < 2 (như trên) + Ta chứng minh: bằng quy nạp với (đúng) Giả sử bất đẳng thức đúng đến k ta có: ta cần chứng minh Vì (đúng "k ≥ 2) Mà ® Điều phải chứng minh Vậy Mà Cách 4: Sử dụng định nghĩa + "x > 0 bé tùy ý tồn tại N(x) sao cho "n > N(x) thì (*) + Ta chứng minh xn < 2 (theo chứng minh trên) + (*) Û 2 – xn < x + Chứng minh (theo chứng minh trên) Do đó: Chọn Chọn: Ta có: , "n > N ® Điều phải chứng minh Nhận xét 1: Từ các cách giải trên có thể phân tích để tìm chìa khóa của bài toán đó là: giới hạn của dãy số trên nếu có được tìm từ phương trình: Nhận xét 2: Từ cách giải (1) ta có thể mở rộng bài toán như sau: Bài toán 1.1: Cho x1 = a > 0; tìm lim xn (giải tương tự cách 1) Bài toán 1.2: Cho {xn} xác định với với n Î N*; a > 0; b > 0 Tìm lim xn. (giải tương tự cách 1) Bài toán 1.3: Chứng minh dãy {xn} với ai > 1 có giới hạn nếu: Nhận xét 3: Từ cách giải (2) ta có thể giải bài toán sau: Bài toán 1.4: Cho (n dấu căn) a) Tìm b) Đặt . Tìm lim yn? Giải: a) Từ kết quả Ta có = b) Nhận xét 4: Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xây dựng các dãy có giới hạn bằng a và có bao nhiêu dãy có cùng giới hạn bằng a. Sau đây là một số cách xây dựng các dãy có giới hạn cho trước. Hướng 1: Từ phương trình tìm giới hạn ta có nghiệm L = 2 ta xây dựng các dãy có giới hạn bằng 2 như sau: + Xuất phát từ L – 2 = 0 ® (L – 2) (L + 1) = 0 Þ L2 – L – 2 = 0 (Không xét) Chọn đặt Tìm lim xn (ta có ví dụ trên) + Hoặc (L – 2) (L + a) = 0 (với a > 0) Ta chọn Đặt x1 = 2a với Tìm lim xn (ta có bài toán 1-2) Hướng 2: ta có Từ đó xét dãy số: Với cách tương tự ta xây dựng được dãy hội tụ tiến về căn bậc k của n như sau: Dãy {xn}: Một cách tương tự khi cần cho dãy có giới hạn bằng ta xây dựng dãy số (Điều phải chú ý là giá trị x0 và giá trị a trong các kiến thiết trên không phải lấy tùy ý) Hướng 3: ta có thể dùng phương pháp xấp xỉ nghiệm Newton để xây dựng các dãy số. Để tìm nghiệm của phương trình F(x) = 0 thì chọn giá trị x0 tương đối gần với nghiệm đó và xây dựng dãy truy hồi. Khi đó {xn} sẽ dần đến nghiệm của phương trình F(x) = 0 Chẳng hạn xét thì ta được: (trùng với kết quả ở hướng 2) Hướng 4: Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 giả sử ta có phương trình: x2 + bx – 1 = 0 gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình, với a ÎR, a ≠ 0 xét (*) Như vậy {xn} thỏa mãn công thức truy hồi (*) Chọn Thì {xn} xác định như sau: tìm số hạng tổng quát của dãy Tương tự nếu xét thì ta có Thực chất là ta xây dựng dãy truy hồi tuyến tính bậc n đối với 2 nghiệm của phương trình bậc 2. Nguồn: Bồi dưỡng Giáo Viên SGD Nghệ An năm 2010