Bài tập Giới hạn đầy đủ

GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: lim c =c lim nk =+ lim qk = 0 (|q| 1). Chia tử số cho n mũ cao nhất hoặc đặt n mũ cao nhất, nhân lượng liên hiệp (nếu cần) . Baøi 1: Tính caùc giôùi haïn: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. lim 20. 21. lim 22. lim 23. 24. 25. lim 26. lim 27. lim 28.lim 29. 30. Baøi 2: Tính caùc giôùi haïn: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Baøi 3: Tính caùc giôùi haïn: 1. 2. lim() 3. 4. 5. 6. 7. 8. lim) 9. lim) 10. 11. 12. 13. lim 14. lim 15. lim(1 + n2 – ) 16. Baøi 4: Tính caùc giôùi haïn: 1. 2. lim 3. lim 4. 5. 6. 7. lim 8. lim 9. lim 10. lim 11. 12. 13. lim với |a| < 1 ; |b| < 1 4.Cho dãy xác định bởi u1 = ; un+1 = a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng b) Tính lim (un) 5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b) Tính lim (un) 6.Viết các số sau dạng thập phân: a) 2,1111111... b) 1,030303030303... c) 3,1515151515.... d) 0.14232323232 7. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn 8. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 "n Î N a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n "n ≥ 3 b) Tính limxn 9.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= a) Chứng minh rằng: un < 1 "n b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun 10.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= a) Chứng minh rằng un < 3 " n b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun 11. Cho dãy số (un) xác định bởi Gọi (vn) là dãy số xác định bởi vn = un +18. a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn. b) Tính tổng của cấp số nhân (vn) và tìm lim un. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ: Baøi 1: Tính caùc giôùi haïn: Daïng: ñaët (x -x0) laøm nhaân töû chung ôû töû soá vaø maãu soá roài ñôn giaûn . Baøi 2: Tính caùc giôùi haïn: a. b. . c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. x. y. Baøi 3: Tính caùc giôùi haïn: a. b. c. d. e. f. g. m,nÎN n) c. Baøi 4: Tính caùc giôùi haïn: a) b) c) d) a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. Baøi 4: Tính caùc giôùi haïn: (baèng caùch theâm, bôùt löôïng lieân hôïp) a. b. c. d. e. f. g. a. b. c. d. e. f. ) Daïng: Chia töû maãu cho x muõ cao nhaát hoaëc ñaët x muõ cao nhaát laøm nhaân töû chung . a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t)Baøi 5:Tính caùc giôùi haïn: Baøi 6:Tính caùc giôùi haïn: Daïng: Nhaân löôïng lieân hieäp, quy ñoàng a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) v) w) Baøi 7:Tính caùc giôùi haïn: a. e. g. b. f. h. Giôùi haïn moät beân Tìm caùc giôùi haïn sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) g) h) i) Tìm giôùi haïn beân phaûi, giôùi haïn beân traùi cuûa hs f(x) taïi xo vaø xeùt xem haøm soá coù giôùi haïn taïi xo khoâng ? Tìm A ñeå haøm soá sau coù giôùi haïn taïi xo: a) vôùi x0 = 1 b) vôùi x0 = 3 Daïng :Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá löôïng giaùc: Cho bieát : Baøi 8: Tính giôùi haïn caùc haøm soá löôïng giaùc sau: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. 4.Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) 7.Tìm 2 số a,b để a) b) = 0 8. Tính các giới hạn sau: a) b) Hàm số liên tục Định nghĩa: *Hàm số f(x) liên tục tại xo Û *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm xo Î (a;b) *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b] và Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a;b) sao cho f(c) = 0 Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b) 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau: f(x) = tại xo = 1 f(x) = tại xo = 2 f(x) = tại xo = 1 f(x) = tại xo = 1 f(x) = tại xo = 2 f(x) = tại xo = 0 f(x) = tại xo = 0 f(x) = tại xo = 2 3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0 a) f(x) = tại x0 = 1 b) f(x) = tại x0 = 1 c) f(x) = tại xo = 0 d) f(x) = tại xo = 0 4.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = b) f(x) = 5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R a) f(x) = b) f(x) = 5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R a) f(x) = b) f(x) = 6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0 7. Chứng minh rằng phương trình a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) 8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;] 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0 a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0 a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ¹ 0 b)Cho a > 0 , c 0 c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) Î [a;b] " x Î [a;b] Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x Î [a;b] 12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm: a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và a , b là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b] 14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo Î (1;2) và xo >