Bài tập Đại Số

I-Bất đẳng thức cô si 1.Chứng minh rằng với a,b,c>0 2.Chứng minh rằng với a,b,c>0 và abc =1 3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm: 4.Cho k số không âm thoả Cm: với 5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: .Tìm GTLN của biểu thức 6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 7.Cho số tự nhiên . là các số thực dương Cmr: 8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn .Tìm GTNN của biểu thức 9.Tìm GTNN của với 10.Cho n số thực thuộc đoạn Cmr: 11.Cho n là số nguyên dương;lấy với mọi i=1,2,n Tìm GTLN của 12.Xét các số thực thoả Tìm GTLN của biểu thức 13.Cho n số dương Đặt : .Cmr: 14.Cho .Chứng minh rằng: 15.Cho .Chứng minh rằng: 16.Chứng minh với 17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có : 1/ 2/ 3/ 18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh: 19.Cho . Cmr: với m > 0 20.Cho .Chứng minh rằng: 21.Cho .Tìm GTLN của biểu thức với 22.Cho .Tìm GTLN của biểu thức với 23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức 24.Cho .Tìm GTLN của các biểu thức sau : 1/ 2/ 25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức 26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức 27.Giả sử >0 thỏa mãn điều kiện . Cmr: 28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn . Cmr: 29. Giả sử >0 thỏa mãn điều kiện .Cmr: 30. (QG-98) Giả sử >0 thỏa mãn điều kiện Cmr: 31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện Cmr: 33.Cmr: ta có 34.Cho .Cmr: 35. Cho .Cmr: 36.Cho với i=1,,2000.Thỏa mãn Tìm GTLN của 37.Chứng minh : Trong đó 38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1 Tìm GTNN của biểu thức 39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : .Trong đó a là một số dương cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx 40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : Tìm GTLN và GTNN của : 41.Cho hàm số thỏa mãn pt Cmr: ( OLP-30-4-99) II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Cho là các số thực thoả mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2.Cho là các số thực thoả mãn và Cmr: 3(HSG-NA-2005) là các số thực thoả mãn và Cmr: 4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : Tìm GTNN của 5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0 Chứng minh rằng : 6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4 Cmr: 7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : Cmr: 8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : Cmr: 9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : Cmr: .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào? 10.Cmr với mọi x,y ta đều có: 11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn Cm: 12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn : Cmr: 13.Cho các số x,y thỏa mãn : Cm: III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1Chứng minh rằng với mọi ta có 2.Tìm GTNN của hàm số 3.a)Chứng minh bất đẳng thức: b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C . Chứng minh : ( A,B,C đo bằng rađian) 4.Cho Chứng minh rằng với 5.Cho hàm số với Chứng minh : 6.Chứng minh .với A,B,C là ba góc của một tam giác. 7.Chứng minh 8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện Cmr: 9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có 10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức: .Chứng minh tam giác ABC đều 11.Cho .Chứng minh rằng : 12.Cho .Chứng minh rằng 13.Cho .Chứng minh rằng : 14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: 15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa . Chứng minh rằng: 16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có 17.Cho .Cmr: 18Cho số nguyên lẻ .Cmr: ta luôn có : 19.với giá trị nào của m thì 20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : 21.Cho là hai số thực thay đổi thỏa mãn Tìm GTLN của biểu thức 22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện Chứng minh ta có bất đẳng thức 23.(HSG Bà Rịa12-04-05) 1/Tìm cực trị của hàm số 2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của 24.Tìm GTNN của 25. Cho và . Cmr: 26. Cho và . Cmr: 27Cho a,b,c>0 .Cmr : 28. (Olp -2006)Cho .Cmr: 39.(Olp nhật 1997)Cho .Cmr: 40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : . Tìm GTLN và NN của biểu thức (QG -B-2004) 41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện Tìm GTLN và GTNN của (QG-A-2004) 42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn và .Chứng minh rằng 43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005) 44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn , Tìm GTNN và GTLN của hàm số QG –B-2003 ) 45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn , Tìm GTNN và GTLN của hàm số ( QG –A-2003) 46.Cho x>0 và Cmr: IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG 1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì 2.Chứng minh rằng nếu thì 3.Chứng minh 4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện .Chưng minh pt có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 5.Cho pt bậc n: trong đó là số thực thỏa mãn : .Chứng minh pt đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khỏang 6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn Chứng minh pt : có nghiệm thuộc khoảng 7.Cho hàm số liên tục : có đạo hàm trên khoảng Thỏa mãn .Chứng minh tồn tại sao cho và 8.Giải các pt sau : a) b) c) d) 9.Xét phương trình : Trong đó n là tham số nguyên dương a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1 Kí hiệu nghiệm đó là b)Cmr dãy số có giới hạn bằng 4 khi (QG-A-2002) 10.Cho hàm số và đồng biến trên đoạn ,với Chứng minh rằng tồn tại phân biệt trong sao cho 11.Cho thoả mãn các điều kiện và Cm:tồn tại dãy số sao cho (n là số nguyên dương ) 12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác CMR: V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra: a) tại x=0 b) tại x=0 2.Xác định a,b để hàm số : có đạo hàm tại x=0 3.Cho hàm số Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0 VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Giải bpt : 2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất 3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất 4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. 5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt 6. Tìm những giá trị của a để pt: có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt : 7.Giải pt : 8.Giải hệ 9.Giải bất pt 10.Giải pt : với tham số 11. Giải hệ: 12 Giải pt: với 13 Giải pt: 14.Giải pt: VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM 1.Tìm m để pt sau có nghiệm : 2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt: có đúng một nghiêm 3.Cho hàm số với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr với mọi đều tồn tại duy nhất số thực (QG-A-2006) 4.Cho pt : a)Giải khi m = 0 b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn 5.Tìm m để pt sau có nghiệm: 6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt: 7.Tìm m để pt : có nghiệm. 8.Tìm a đ pt : đúng 2 nghiệm thuộc 9.Cho hàm số: a) Tìm GTNN của hàm số b) Cm pt có đúng hai nghiệm. 10.Chứng minh pt có một nghiệm dương duy nhất 11. Cho có 3 nghiệm phân biêt a)Hỏi pt: có bao nhiêu nghiệm b)Chứng minh rằng: 12.Cho pt : ( n là tham số) a) Cmr v ới mối số nguy ên ,pt c ó một nghiệm duy nhất trong khoảng .k í hiêụ ng đó là b)Cm dãy số () có giới hạn 13.Chứng minh pt có 4 nghiệm phân biệt và hãy tính tổng VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.Tìm a ñeå heä sau coù nghieäm duy nhaát: 2. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm 3.Giải hệ 4.Chứng tỏ rằng với mọi thì hệ sau có nghiệm duy nhất 5.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 6.Giải hệ: 7.Giải hệ: ( QG – A- 2006) 8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006) 6.Giải hệ: ( HSGQG 1999) 7.Giải hệ: (THTT) 8.Gọi là nghiệm của hệ pt: ( m là tham số) Tìm GTLN của biểu thức ,khi m thay đổi HƯỚNG DẤN GIẢI I.Bất đẳng thức 4. 7. 20. Ta có: Tương tự suy ra: Mà: Vậy: 26. Ta cm: 29.Đặt: ta có Từ đó suy ra: (đpcm) 30. Đặt:.Ta có: Từ đó suy ra: .vậy có (đpcm) 31.Đăt: Ta có: .vậy 38. Chọn 39. Chọn khi 39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: .với p>0 xác định sau ta có cộng theo vế : Chọn p thỏa : Vậy 43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Gọi Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn và đường thẳng .Dễ thấy Mà nên Vậy khi 2.và 3 tương tự 4.Gọi Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn và đường thẳng : Khi đó Gọi và lần lượt là tâm và bán kính của Lấy đối xứng với I qua thì Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .Trong đó là giao Của JK với và còn Vậy III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT 3.Từ câu a) ta có .và vì nên có đpcm 4.Hàm số với có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm : VN Thì : có nghiệm duy nhất thì vì đồng biến nên là điểm cực tiểu vì vậy (đpcm) 8.Đặt thì (1) vì f là đa thức bậc n nên .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại Thì vậy từ (1) suy ra (đpcm) 12. Hàm số: đồng biến trên Và có nên từ ta có (đpcm) 13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của Chú ý: *Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x 15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị là 23. đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1 nên nhỏ nhất bằng 3 *có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi 40. với t=xy + yz +zx Vì do (0<x<4) Từ đó tìm được min và max của P 41.Tương tự40 42. Lấy ln hai vế ta có (1) Nếu hoặc thì hiển nhiên đúng Xét và .Khi đó (1) Xét hàm số : nghịch biến trên Suy ra: 44,45. Biểu diễn theo cotgx ta được IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG 6. xét hàm số 8.a) (1) .Giả sử pt có nghiệm Xét hàm số có .Do đó tồn tại Sao cho Thử lại thấy và đều thỏa mãn (1) Vậy pt có hai nghiệm , b) . Giả sử pt có nghiệm Xét thì suy ra pt có nghiệm có nghiệm . c)Đặt Ta có pt: .Đây là pt bậc hai theo nên có không quá hai nghiệm do đó pt có không quá 3 nghiệm Ta thấy là 3 nghiệm của pt C) Xét có đạo hàm cấp hai dương Và .vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1 9)Viết lại pt dưới dạng (1) Dễ thấy ,với mỗi hàm liên tục và nghịch biến trên Hơn nữa khi và khi .Từ đó suy ra Với mỗi ,pt(1) có duy nhất nghiệm Với mỗi ,ta có Từ đó, dohàm trên nên với mọi (2) Mặt khác hàm có đạo hàm trên nên theo định lí Lagrange Với mỗi tồn tại sao cho Hay (3) từ (2) và (3) : suy ra (đpcm) III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM 2. Tìm miền giá trị của f(x) ta được a cần tìm 3.Hàm số có miền giá trị trên là Do đó chỉ cần cm: ,với mọi 4 . Chú ý: .Do đó lượng giác hóa và đưa về ẩn phụ Rồi khảo sát hàm số thu được theo t 5.Tương tự 4 10. Ta có với x>0 vậy f Nb Mà và Kết hợp f liên tục trong suy ra pt có nghiệm dương duy nhất .