Bài ôn tập chương II – Hình học 10 nâng cao

Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG: A. LÝ THUYẾT: §1. Giá trị lượng giá của một góc 1. Tỷ số lượng giác của góc a bất kỳ: (00 £ a £1800) M(x; y) là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị, a là góc giữa Ox và OM thì: 2. Các công thức cần nhớ: *. Hai góc phụ nhau: a và 900 - a sina = cos(900- a); cosa = sin(900- a); tana = cot(900- a); cota = tan(900- a) *. Hai góc bù nhau: a và 1800 - a sina = sin(1800- a); cosa = - cos(1800- a); tana = - tan(1800- a); cota = - cot(1800- a) 3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt: Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 sin 0 1 0 cos 1 0 -1 tan 0 1 ÷÷ -1 0 cot ÷÷ 1 0 -1 ÷÷ §2. Tích vô hướng của hai véc tơ: 1. Góc giữa hai véc tơ: *. Định nghĩa: Cho hai véc tơ và . Từ điểm O bất kỳ ta dựng các véc tơ Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai véc tơ và . *. Ký hiệu: . *. Chú ý: + Nếu hoặc là véc tơ thì góc giữa hai véc tơ và là tùy ý (từ 00 đến 1800). + Nếu = 900 thì ^ . + = 00 Û J ; = 1800 Û E . 2. Tích vô hướng của hai véc tơ: *. Định nghĩa: *. Công thức hình chiếu: với là hình chiếu của véc tơ trên đường thẳng chứa véc tơ *. Các tính chất của tích vô hướng và các hằng đẳng thức: 3. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: *. Định nghĩa: PM/(O) = *. Chú ý: + M Î (O) Û PM/(O). + M nằm trong đường tròn (O) Û PM/(O) < 0. + M nằm ngoài đường tròn (O) Û PM/(O) > 0. + M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) thì PM/(O) = 4.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và ứng dụng: Trong hệ tọa độ cho hai véc tơ . Khi đó: §3. Hệ thức lượng trong tam giác: 1. Định lý côsin: Trong DABC với BC = a, CA = b, AB =c, ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = c2 + a2 - 2cacosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC Từ định lý côsin suy ra các công thức tính côsin của các góc của DABC: 2. Định lý sin: Với mọi DABC nội tiếp đường tròn (O; R), ta có: 3. Công thức trung tuyến và ứng dụng: 30 I là trung điểm của đoạn thẳng AB =a. tập hợp những điểm M thỏa mãn hệ thức MA2+ MB2 =k2, trong đó k là một số không đổi cho trước Þ Từ đó: + Nếu 2k2 > a2 thì {M} là đường tròn tâm I bán kính + Nếu 2k2 = a2 thì {M}º O. + Nếu 2k2 < AB2 thì {M}= Ø. 4. Các công thức tính diện tích DABC: B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 1. Chứng minh các hằng đẳng thức: a) cos2a( cos4a + sin2a.cos2a + sin2a + tg2a) = 1 b) 1 - (sin6a + cos6a) = 3sin2a cos2a 2. a) Rút gọn biểu thức: b) Tính giá trị của A biết 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: (Các giá trị của a và c thỏa mãn để biểu thức có nghĩa). 4. Chứng minh các biểu thức sau: 5. CMR các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x. A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) B = cos6x + 2sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + sin4x C = (tgx + cotgx)2 - (cotgx - tgx)2 D = ; E = 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-2; 2), B(6; 4), C(4; 2) a) CMR: $ DABC. Tính cosB, tính SDABC ? b) Tìm điểm M Î Ox sao cho DMAB vuông. c) Tìm tọa độ trực tâm H của DABC. d) Tìm điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình thang vuông tại E và A. 7. CMR: a) DABC là đều nếu: b) DABC là cân nếu: 8. Cho DABC: a) . Tính góc A, B, C và R, ha, ma. b) A = 600; b = 6; c = 12. Tính góc B, C và a, R, r. c) B = 1050; C = 300; BH ^ AC tại H; BH = 3. Tính góc A và a, b, c, SABC. 9. Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng d. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với d tại H cắt đường tròn tại A, B. Đường thẳng d1 đi qua H cắt đường tròn (C) tại M, N. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng d tại M’, N’. CMR: a) b) Đường tròn ngoại tiếp DAM’N’ đi qua một điểm cố định khác điểm A khi d1 di động. 10. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua A, C vẽ đường tròn (O) bất kỳ. Từ B hạ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn tại M, M’. a) Tìm tập hợp trung điểm I của MM’khi đường tròn (O) thay đổi (vẫn đi qua A, C). b) Gọi K là điểm đối xứng của A qua O. CMR: và tìm tập hợp các điểm M, M’. 11. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua A, B vẽ đường tròn (O) bất kỳ. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CM’ với (O). a) Tìm tập hợp M, M’ khi (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B. b) Gọi H là trung điểm của MM’. CMR: và đường thẳng MM’ đi qua một điểm cố định nằm trên đường thẳng AB. c) Tìm tập hợp những điểm H. 12. Cho đường tròn (O; R) và dây CD có trung điểm H. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt SO, OH tại E, F. a) CMR: . b) CMR: . c) Khi S di động trên tia đối của tia DC, CMR: đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. 13. Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A vẽ các tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn. Dây PP’ cắt OM tại M’ và cắt OA tại B. a) CMR: OA.OB = OM.OM’ = R2. b) Khi M di động trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn nội tiếp DMPP’ di chuyển trên đường nào? 14. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = sin4x - sin2x + cos2x. 15. Cho DABC. Tìm {M}÷ . 16. Cho DABC có góc A nhọn. ở miền ngoài DABC vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm BC. CMR: AI ^ DE. 17. Cho DABC nội tiếp (O), trung tuyến CC’ cắt (O) tại điểm thứ hai D. CMR: CA2 + CB2 = 2CC’.CD. 18. Cho DABC nội tiếp (O). Một đường tròn (O’) thay đổi, đi qua A và trung điểm M của BC cắt BC tại điểm thứ hai E, và cắt (O) tại điểm thứ hai F. Gọi F1 là giao điểm của AF và BC. CMR: a) b) 19. Cho DABC. CMR: 20. CMR: (ĐH Dược Hà nội - 1998) 21. Cho hình thang cân ABCD , đáy lớn AB, góc nhọn ở đáy bằng 600. Biết Hãy biểu diễn véc tơ theo và . Tìm quan hệ giữa và để AC ^ BD. (ĐH Giao thông vận tải-1998) 22. Gọi AD là đường phân giác của góc A của DABC. Hãy biểu diễn qua và . (Học viện kỹ thuật mật mã - 1999). 23. Cho DABC trọng tâm G. Ký hiệu các góc GAB, GBC, GCA lần lượt là a, b, g. CMR: (ĐH Ngoại thương - 2000). 24. CMR: Nếu DABC thoả mãn điều kiện thì tam giác đó là tam giác đều. (Cao đẳng Sư phạm Hà nội - 2001). 25. Cho DABC, CMR: . (Học viện Ngân hàng - 2001) 26. Cho hình thang cân ABCD có các đáy AD, BC. . Biết . Hãy biểu diễn các véc tơ theo các véc tơ . (ĐH Luật Hà nội - 1998). 27. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR: a) Û AB2 + BD2 = AD2 + BC2. b) và thì (ĐH Luật Hà nội - 2000) 28. CMR: DABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (ĐH Y khoa Thái bình - 2000) 29. Cho DABC, đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm I của đường tròn nội tiếp vuông góc với phân giác trong của góc C. Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC. CMR: (ĐH Cảnh sát nhân dân - 2000). 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho DABC có: A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1). a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC. b) Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho . (ĐH Sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh - 2001). 31. Cho bốn véc tơ có độ dài bằng nhau và . a) CMR: góc giữa hai véc tơ bất kỳ bằng góc giữa hai véc tơ còn lại. b) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao? 32. Cho DABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3a, AC = 4a, điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA = 2IB, CI cắt AH tại E. Tính CE. 33. Cho DABC vuông tại A. a) Giả sử hai trung tuyến AM = 2, BN = 3. Tính các cạnh BC, CA, AB. b) Kéo dài BC một đoạn CD = AB, giả sử AB = 1 và góc CAD bằng 300. Tính BC. 34. Cho góc vuông xOy, A Î Ox, OA = a > 0. Đường tròn (g) bán kính R tiếp xúc với Ox tại A và cắt Oy tại B và C. CMR: 35. Tính góc A của DABC trong mỗi trường hợp sau: a) b(b2 – a2) = c(a2 – c2). b) bc.cosA + ca.cosB + ab.cosC = a2. 36. Cho DABC. a) Biết AD là đường cao, AC = 2, AB = 3, BC = 4. Chứng minh DABC có một góc tù và tính CD. b) Biết A = 600, , AC – AB = 2. Tính AB, AC. 37. Cho DABC. CMR: b) a = b.cosC + c.cosB. 38. Cho hai đường tròn (O1; R1), (O2; R2) cắt nhau tại A và B (O1, O2 ở về hai phía đối với đường thẳng AB). Đường thẳng (d) tiếp xúc với (O1) tại C và (O2) tại D (C và A ở về hai phía đối với đường thẳng O1O2). a) Đặt . Tính AC theo R1 và a, AD theo R2 và b. b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DACD. CMR: 39. Đường tròn nội tiếp DABC tiếp xúc với cạnh BC tại D. Biết BC = 9, cosC = 2/3, AD = DC. Đặt AD = x. Tính AC, AB theo x. Từ đó suy ra AB, AC. 40. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD. CMR: a) AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IK2. b) Suy ra một điều kiện cần và đủ tứ giác ABCD là hình bình hành. 41. cho DABC vuông ở B có AB = 2BC = 2a, l là một độ dài cho trước. a) Tìm {M} thỏa mãn: MA2 + MB2 + 2MC2 = l2. b) Tìm điểm N trên đường tròn đường kính AB thỏa NB2 – NC2 = l2. 42. Cho DABC. CMR: b) Nếu thì cotB + cotC = 2cotA. c) Nếu và A = 600 thì DABC đều. 43. Cho DABC. CMR: 44. Cho DABC. CMR: a, b, c là ba nghiệm của phương trình: x3 – 2px2 + (4rR + p2 + r2)x – 4rRp = 0 thì suy ra: ab + bc + + ca = 4rR + p2 + r2; abc = 4rRp. 45. Cho DABC. a) CMR: b) AM là trung tuyến và góc AMB bằng a. CMR: cota = cotB – cotC. 46. Cho DABC. CMR: . 47. Cho DABC, gọi la là phân giác trong của góc A. CMR: 48. Cho DABC. a) Gọi M là trung điểm của BC. Một đường thẳng không đi qua A cắt các đoạn AB, AC, AM lần lượt tại B’, C’, M’. CMR: b) Hai điểm P, Q Lần lượt di động trên tia AB, AC sao cho (l là một độ dài cho trước). CMR: đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định. 49. Cho DABC. a) I là điểm nằm trong DABC và AI cắt BC tại A’, BI cắt CA tại B’, CI cắt AB tại C’. CMR: Từ đó suy ra: b) Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho AB = 2 AC1, BC = 3BA1, CA = 4CB1. BB1 cắt CC1 tại M, CC1 cắt AA1 tại N, AA1 cắt BB1 diện tích P. Tính diện tích của các tam giác A1B1C1 và MNP theo diện tích S của tam giác ABC. 50. Cho DABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn (O; R), AB = R. a) Gọi G là trọng tâm của DABC. Tính PG/(O). b) Kéo dài BG cắt (O) tại D. Tính GD. 51. Cho đường tròn (O; R) và điêm A cố định ở ngoài (O) và OA = 2R. BC là một đường kính di động của (O). Gọi (I) là đường tròn ngọai tiếp DAC. Đường thẳng AO cắt (I) tại D ¹ A. a) Tính OD, từ đó suy ra D là điểm cố định. b) Kéo dài AO cắt (O) tại K. Tính độ dài tuyếp tuyến KT kẻ từ K tới đường tròn (I). Tiếp điểm T di động trên đường nào khi BC quay xung quanh O. 52. Cho DABC có góc B tù, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) CMR: tứ giác BCFE nội tiếp. b) EF cắt BC tại I, IA cắt đường tròn đường kính AH tại G. CMR: A, B, C, G cùng thuộc một đường tròn. 53. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, trung trự c của OA cắt OA tại I và nửa đường tròn tại C. Một đường thẳng bất kỳ đi qua A cắt IC và đường tròn lần lượt tại M và N. a) CMR: AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DCMN. b) Xác định vị trí của M để đường tròn (ACM) tiếp xúc với AB. 54. Cho DABC. Gọi và CN lần lượt là trung tuyến của DABC. Gọi (O) và (O’) là các đường tròn đường kính BM, CN. a) CMR: A có cùng phương tích đối với (O) và (O’). b) Gọi P, Q là giao điểm của (O) và (O’). CMR: A, P, Q thẳng hàng. 55. Cho 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó. (O) và (O’) lần lượt là các đường tròn di động qua A, B và C, D và (O) Ç (O’) ={M, N}. a) CMR: đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Nếu (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại T thì kết quả trên thay đổi thế nào? b) Cho trước (O), hãy dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O). 56. Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngoài (O). Qua A vẽ cát tuyến ABC với (O) và BC = 2AB = Gọi I là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính AI cắt (O) tại P và Q. Tính khoảng cách từ A đến PQ. 57. Cho DABC biết a = 17,4m; B = 44030’; C = 640. Tính A, b, c. 58. Cho DABC có a = 49,4cm; b = 26,4cm; C = 47020’. Tính c, A, B. 59. Cho DABC có a = 24cm; b = 13cm; c = 15cm. Tính A, B, C. 60. Người ta muốn biết chiều cao h = CD của một cái tháp với chân C và đỉnh D. Từ hai điểm A, B với AB = 24m sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, người ta còn đo dược góc ACD bằng 630, góc CBD bằng 480. Tính chiều cao h của tháp. 61. Để tính khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến một gốc cây C trên một cù lao ở giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ sông với A sao cho từ A có thể nhìn thấy điểm C với góc CAB bằng 450, góc CBA ằng 700 và AB = 40m. Tính khoảng cách AC. 62. Cho DABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H CMR: 63. (Công thức Ơle cho tam giác). Cho DABC. Gọi (O; R) và (I; r) là hai đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp DABC. CMR: IO2 = R2 – 2Rr. 64. (Công thức Ơle cho tứ giác). Cho tứ giác ABCD có K, L là trung điểm của AC, BD. CMR: 65. DAC có các goác A, B, C thỏa mãn hệ thức sin2B + sin2C = 2sin2A. Chứng minh rằng A £ 600. (ĐH Sư phạm Hà nội 2001) 66. CMR: trong mọi DABC ta đều có: . Khi nào đẳng thức xảy ra? (ĐH Sư phạm TP. HCM). 67. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của DABC thỏa mãn hệ thức: c4 = a4 + b4. CMR: DABC có ba góc nhọn và 2sin2C = tanAtanB. (ĐH Thủy lợi 2001).