Bài giảng và Bài tập: Phép tịnh tiến và phép dời hình - Hình học 11

Đ2 phép tịnh tiến và phép dời hình A. bài giảng định nghĩa phép tịnh tiến Định nghĩa: Phép tịnh tiến vectơ , kí hiệu là một phép dời hình biến điểm M thành M' sao cho = . Hoạt động Nêu cách tìm ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến A B C D Cho hình bình hành ABCD, khi đó ta thấy: Hoạt động Phép đồng nhất có phải là phép tịnh tiến không ? Các tính chất của phép tịnh tiến Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M' và N' thì M'N' = MN. Hoạt động Hãy chứng minh định lí 1. ý nghĩa của định lí 1 là "Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì" Định lí 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Hoạt động Hãy chứng minh định lí 2. Hệ quả: Phép tịnh tiến biến: Đường thẳng thành đường thẳng. Tia thành tia. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. Tam giác thành tam giác bằng nó. Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Góc thành góc bằng nó. Hoạt động Nêu các cách tìm ảnh của đoạn thẳng AB, tia Ax, đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến Nêu các cách tìm ảnh của DABC qua phép tịnh tiến Nêu các cách tìm ảnh của (O, R) qua phép tịnh tiến Cho hai đường thẳng song song a và a'. Tìm tất cả các phép tịnh tiến biến a thành a'. A (a) A' (a') ? Giải Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ = với A ẻ a và A' ẻ a' đều biến đường thẳng a thành a'. biẻu thức toạ độ của phép tịnh tiến Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ (a; b) biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với: . (CT) Hoạt động Hãy chứng minh kết quả trên.  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ của điểm M1 là ảnh của điểm M0(2; -1) qua phép tịnh tiến vectơ (2; 1). ? Giải Giả sử M1(x; y), ta có: = Û Û ị M1(4; 0). Vậy, ta được M1(4; 0). F Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của ví dụ trên chúng ta đã sử dụng định nghĩa của phép tịnh tiến để tìm toạ độ điểm M1. Còn trong thực tế chúng ta sẽ sử dụng ngay công thức (CT). Hoạt động Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nêu các cách tìm ảnh của: Đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến Nêu các cách tìm ảnh của (O, R) qua phép tịnh tiến ứng dụng của phép tịnh tiến Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định. A B C O B' H ? Giải Nếu BC là đường kính thì trực tâm H của DABC chính là A. Vậy H nằm trên đường tròn cố định (O, R). Nếu BC không phải là đường kính, vẽ đường kính BB' của đường tròn. Dễ thấy rằng nếu H là trực tâm của DABC thì = . Như vậy, phép tịnh tiến theo vectơ cố định biến điểm A thành điểm H. Do đó, khi A thay đổi trên (O ; R) thì trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố định là ảnh của đường tròn (O ; R) qua phép tịnh tiến nói trên. F Nhận xét: Như vậy, chúng ta đã thấy được cách sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán quĩ tích. A B M N a b B' M0 N0 M' Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (tất nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn thẳng từ A đến M và từ B đến N. Hãy xác định vị trí của chiếc cầu MN sao cho AM + BN ngắn nhất. ? Giải Lấy điểm M0ẻ a ta có duy nhất điểm N0ẻ b sao cho M0N0 ^ a và M0N0 ^ b. Gọi B' = và M = AB' ầ a, khi đó với điểm M' bất kì thuộc a tương ứng với điểm N' thuộc b (sao cho M'N' ^ a). Ta có: M'A + N'B = M'A + M'B ³ AB' = MA + MB' = MA + NB. Tức là AM + BN ngắn nhất. F Nhận xét: Như vậy, chúng ta đã thấy được cách sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán cực trị trong hình học. phép dời hình Hoạt động Yêu cầu một học sinh nhắc lại định nghĩa phép tịnh tiến và ý nghĩa của định lí 1. Lấy ví dụ về một phép biến hình không phải là phép tịnh tiến mà vẫn có tính chất "Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm". Định nghĩa: Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Định lí: Phép dời hình biến: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. Đường thẳng thành đường thẳng. Tia thành tia. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. Tam giác thành tam giác bằng nó. Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Góc thành góc bằng nó. B. phương pháp giải Các dạng toán thường gặp Tìm vectơ tịnh tiến biến hình (H1) thành hình (H2). Phương pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép tịnh tiến. Cho phép tịnh tiến theo và phép tịnh tiến theo . Với điểm M bất kì, biến M thành điểm M', biến M' thành M''. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành M" là một phép tịnh tiến. G Hướng dẫn: Đi tìm vectơ biến điểm M thành điểm M”. ? Giải Đặt = + , ta có nhận xét: = + = + = Vậy, phép biến hình biến M thành M" là một phép tịnh tiến T theo vectơ . Cho hai đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có tâm O1, O2 và đều có bán kính R. Tìm phép tịnh tiến biến (C1) thành (C2). G Hướng dẫn: Vì hai điểm O1, O2 cố định nên vectơ cố định, từ đó đi chứng minh rằng "Với mỗi điểm M1ẻ(O1) sẽ có điểm M2ẻ(O2) thoả mãn và ngược lại". ? Giải O1 O2 M1 M2 (C1) (C2) Lấy M1 tuỳ ý thuộc (C1) và gọi M2 là ảnh của M qua , ta có: = Û = ị O2M2 = R Û M2ẻ(C2) Ngược lại: lấy M2 là một điểm tuỳ ý thuộc (C2) và gọi M1 là tạo ảnh của nó qua , ta có: = Û = ị O1M1 = R Û M1ẻ(C1) Vậy (C2) là ảnh của (C1) qua . Giải bài toán định tính. Phương pháp áp dụng Ta thường gặp các dạng yêu cầu sau: Chứng minh (H1) là ảnh của (H2) qua phép tịnh tiến vectơ , ta thực hiện theo các bước: Lấy điểm M1 tuỳ ý thuộc (H1), ta đi chứng minh: M2 = T(M1) ẻ (H2). Ngược lại, lấy điểm M2 tuỳ ý thuộc (H2), ta đi chứng minh: M1 = T(M2) ẻ (H1). Chứng minh tính chất K, ta thực hiện theo các bước: Xác định một hoặc nhiều phép tịnh tiến để thiết lập mối liên kết giữa các yếu tố. Sử dụng các tính chất của phép tịnh tiến để giải các yêu cầu của bài toán. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi: MP + NQ = ( AB + BC + CD + DA). (*) G Hướng dẫn: Sử dụng phép tịnh tiến để chứng minh bất đẳng thức: Tương tự, chứng minh bất đẳng thức Từ đó, để có (*) thì ABCD là hình bình hành. ? Giải Thực hiện phép tịnh tiến : DE. Khi đó tứ giác BCED là hình bình hành, vì P là trung điểm của CD nên P cũng là trung điểm của BE. Do đó, ta có: MP = AE Ê (AD + DE) = (AD + BC). (1) A D C B E P M Dấu bằng chỉ xảy ra khi: A, D, E thẳng hàng Û AD//BC. Chứng minh tương tự ta cũng có: NQ Ê (AB + CD). (2) Dấu bằng chỉ xảy ra Û AB//CD Cộng theo vế (1), (2), ta được: MP + NQ Ê ( AB + BC + CD + DA). (3) Vậy để có (*) thì dấu “ = ” xảy ra ở (3) khi dấu “ = ” xảy ra tại (1) và (2) Û Û ABCD là hình bình hành. Giải bài toán định lượng. Phương pháp áp dụng Bằng việc thiết lập được các phép tịnh tiến thích hợp, ngoài việc chứng minh được các tính chất hình học ta còn có thể tính toán được các yếu tố trong một hình. Tứ giác ABCD có AB = , BC = 3. CD = 2, = = 600. Tìm số đo góc và G Hướng dẫn: Các em học sinh cần phác thảo tương đổi đúng hình vẽ với các số đo của giả thiết. Từ đó, lựa chọn phép tịnh tiến để tạo được quan hệ song song (cụ thể là hình bình hành trung gian). A D C B A’ ? Giải Xét phép tịnh tiến : AA', khi đó tứ giác ADCA' là hình bình hành và = 600. Trong DABA', ta có: = 600, AA' = 2AB. Do đó DABA' vuông tại B và = 300, A'B = 3. Vì A'B = BC = 3 nên DBCA' cân tại B, do đó: = = - = 600 - 300 = 900. = 3600 - ( + + ) = 3600 - (600 + 600 + 900) = 1500. Tìm tập hợp điểm M. Phương pháp áp dụng Ta thực hiện theo các bước: Tìm một phép tịnh tiến T, biến điểm E di động thành điểm M. Tìm tập hợp (H) của các điểm E. Vậy tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép tịnh tiến T. Cho đường tròn (O) và hai điểm cố định A và B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M' sao cho . (*) G Hướng dẫn: Với giả thiết của bài toán này chúng ta sẽ định hướng được ngay rằng "Cần tìm một vectơ biến điểm M thành điểm M' (tức là )", bởi quỹ tích của điểm M' phụ thuộc vào sự di động của điểm M. Và công việc này được thực hiện khá đơn giản từ điều kiện (*). M A B M' ? Giải Từ giả thiết, ta có: = . Tức là M' là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ . Vậy, quỹ tích điểm M' là đường tròn (O') là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ . O O1 A M N B I C O2 O’2 F E Cho hai đường tròn (O) và (O1) cắt nhau tại hai điểm, gọi A là một giao điểm. Đường thẳng (d) di động qua A và cắt hai đường tròn đã cho tại M và N. Trên hai tia AM và AN lấy hai điểm B và C sao cho: 2 = 2 = . (*) Tìm quỹ tích các điểm B và C. G Hướng dẫn: Vì vai trò của B, C là như nhau trong biểu thức điều kiện nên chúng ta thực hiện với định hướng "Tìm quỹ tích điểm B". ? Giải Dựng OE và O1F vuông góc với (d). Ta có E, F lần lượt là trung điểm các đoạn AM, AN và: = ( + ) = = = Dựng O1I vuông góc với OE, khi đó tứ giác O1IEG là hình chữ nhật Từ đó suy ra: = = ị O1ABI là hình bình hành ị = ị B = (I). Vì vuông nên tập hợp các điểm I là đường tròn (O2) đường kính OO1, từ đó suy ra tập hợp các điểm B là đường tròn (O’2) với (O’2) = [(O2)]. Tương tự ta có tập hợp điểm C là đường tròn (O’3) với (O’3) = [(O2)]. Dựng hình. Phương pháp áp dụng Ta luôn thực hiện theo 4 bước đã biết. Dựng hình thang ABCD (AB//CD) biết hai đường chéo AC = a, BD = b, góc và đường trung bình MN = c. G Hướng dẫn: Trước tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình thang ABCD với các số đo tương ứng để thấy được rằng không thể dựng được hình thang ABCD bằng cách thông thường. Và ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phép tịnh tiến trong bước phân tích cùng với kết quả "Mọi tam giác đều dựng được khi biết số đo ba cạnh của nó", cụ thể với tia Dt cắt AB tại D’ () thì DBDD’ có được đầy đủ số đo độ dài của ba cạnh bởi: BD = b, DD’ = CA = a, BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c. ? Giải Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn điều kiện đầu bài. A D C B N M D’ y x Thực hiện phép tịnh tiến : D D' khi đó tứ giác ACDD' là hình bình hành nên ta có: BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c ị DBDD' dựng được, (biết 3 cạnh). Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện: Dựng DBDD' với BD' = 2c, BD = b, DD' = a Dựng Dx // BD'. Dựng By hợp với BD' góc a, By cắt Dx tại C. Dựng Cz // DD', Cz cắt BD" tại A. Thì tứ giác ABCD là hình thang cần dựng. Chứng minh: Theo cách dựng ta có: CD//AB nên ABCD là hình thang; BD = b, góc ABC = a AC = DD' = a (do ACDD' là hình bình hành) và: MN = (AB + DC) = (AB + AD') = BD' = c. Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Û DBDD' dựng được Û ẵa - bẵ < 2c < a + b. Hệ toạ độ đối với phép tịnh tiến. Phương pháp áp dụng Ta trình bày phương pháp thực hiện hai dạng toán Xác định điểm M1 là ảnh của điểm M0(x0; y0) qua phép tịnh tiến vectơ (a; b). Khi đó, toạ độ điểm M1(x; y) được cho bởi: . Tìm phương trình của hình (H1) là ảnh của hình (H): f(x, y) = 0 qua phép tịnh tiến vectơ (a; b). Khi đó, mỗi điểm M(x; y)ẻ(H1) là ảnh của một điểm M0(x0; y0) ẻ (H) qua phép tịnh tiến vectơ (a; b), ta có: Û ị f(x - a, y - b) = 0. (*) Phương trình (*) chính là phương trình của (H1). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với a, a, b là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y'), trong đó: . (*) Cho hai điểm M(x1, y1), N(x2, y2) và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua phép F. Hãy tìm toạ độ của M' và N'. Tính khoảng cách d giữa M và N, khoảng cách d' giữa M' và N'. Phép F có phải là phép dời hình hay không ? Khi a = 0, chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến. G Hướng dẫn: Chúng ta lần lượt: Với câu a), sử dụng ngay công thức (*). Với câu b), sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Với câu c), thực hiện phép so sánh MN với M’N’ để có lời kết luận. Với câu d), ta đi chứng minh x, y, x’, y’ thoả mãn công thức (CT). ? Giải Ta lần lượt có: M'(x1.cosa - y1.sina + a; x1.sina + y1.cosa + b), N'(x2.cosa - y2.sina + a; x2.sina + y2.cosa + b). Ta lần lượt có: d = . (1) (d')2 = (M'N')2 = [(x2.cosa - y2.sina) - (x1.cosa - y1.sina)]2 + + [(x2.sina + y2.cosa) - (x1.sina + y1.cosa)]2 = [(x2 - x1).cosa - (y2 - y1).sina]2 + [(x2 - x1).sina + (y2 - y1).cosa]2 = (x2 - x1)2.cos2a + (y2 - y1) 2.sin2a + (x2 - x1) 2.sin2a + (y2 - y1) 2.cos2a = (x2 - x1)2.(cos2a + sin2a) + (y2 - y1) 2.(sin2a + cos2a) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1) 2 Û d' = . (2) Từ (1) và (2) suy ra d = d' (hay MN = M'N'). Vậy, phép biến hình F bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên theo định nghĩa nó là một phép dời hình. Với a = 0, ta thấy: Û ị F là phép tịnh tiến. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây: Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(y; –x). Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(2x; y). Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình. ? Giải Phép biến hình F1 biến hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) thành hai điểm M'(y1; -x1), N'(y2; -x2). Khi đó, ta có: M'N' = = = MN. Vậy, F1 là một phép dời hình. Phép biến hình F2 biến hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) thành hai điểm M'(2x1; y1), N'(2x2; y2). Khi đó, ta có: M'N' == ạ MN. Vậy, F2 không là một phép dời hình.  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phương trình của đường thẳng (d1) là ảnh của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến vectơ , biết: (d): x + 3y - 2 = 0 và (1; 1). (d): 2x + y - 2011 = 0 và (1; -2). G Hướng dẫn: Để nhận được phương trình một đường thẳng chúng ta đều biết rằng có thể lựa chọn một trong ba cách: Cách 1: Biết một điểm mà đường thẳng đó đi qua cùng phương của nó. Như vậy, ta sẽ thực hiện: Bằng việc sử dụng công thức toạ độ của phép tịnh tiến ta tìm một điểm mà (d1) đi qua. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, tức (d1) song song với (d). Cách 2: Biết hai điểm phân biệt mà đường thẳng đó đi qua. Cách 3: Sử dụng phương pháp quỹ tích. Trường hợp đặc biệt, khi là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) thì (d1) sẽ trùng với (d). ? Giải Ta có ba cách trình bày sau: Cách 1: Lấy điểm A(2; 0) ẻ (d) và gọi A1 = , ta có: A1: ị A1(3; 1). Khi đó, phương trình đường thẳng (d1) được xác định bởi: (d1): Û (d1): Û (d1): x + 3y - 6 = 0. Cách 2: Lấy hai điểm A(2; 0) và B(-1; 1) thuộc (d) và gọi: A1 = ị A1: ị A1(3; 1). B1 = ị B1: ị B1(0; 2). Khi đó, phương trình đường thẳng (d1) được xác định bởi: (d1): Û (d1): Û (d1): x + 3y - 6 = 0. Cách 3: Mỗi điểm M(x; y) ẻ (d1) là ảnh của một điểm M0(x0, y0) ẻ (d) qua phép tịnh tiến vectơ (1; 1), ta có: Û ị (x - 1) + 3(y - 1) - 2 = 0 Û x + 3y - 6 = 0. (*) Phương trình (*) chính là phương trình của (d1). Nhận xét rằng đường thẳng (d) có vtcp là chính (1; -2) nên phép tịnh tiến theo vectơ biến (d) thành chính nó. Do đó, ảnh của (d) cũng có phương trình 2x + y - 2011 = 0. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phương trình của đường tròn (C1) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ , biết: (C): (x + 2)2 + (y - 1)2 = 4 và (2; 1). (C): x2 + y2 - 4x + y - 1 = 0 và (1; -2). G Hướng dẫn: Để nhận được phương trình một đường tròn chúng ta đều biết rằng có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Biết toạ độ tâm và độ dài bán kính của nó. Do đó, bằng việc sử dụng công thức toạ độ của phép tịnh tiến ta tìm được toạ độ tâm I1 của đường tròn (C1) là ảnh tâm I của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ . Từ đó: , với R là bán kính đường tròn (C). Cách 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích. ? Giải Ta có hai cách trình bày sau: Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I(-2; 1) và bán kính R = 2. Gọi I1 = , ta có: I1: ị I1(0; 2). Khi đó, phương trình đường tròn (C1) được xác định bởi: (C1): Û (C1): x2 + (y - 2)2 = 4. Cách 2: Mỗi điểm M(x; y) ẻ (C1) là ảnh của một điểm M0(x0; y0) ẻ (C) qua phép tịnh tiến vectơ (2, 1), ta có: Û ị (x - 2 + 2)2 + (y - 1 - 1)2 = 4 Û x2 + (y - 2)2 = 4. (*) Phương trình (*) chính là phương trình của (C1). Ta có hai cách trình bày sau: Cách 2: Mỗi điểm M(x; y) ẻ (C1) là ảnh của một điểm M0(x0; y0) ẻ (C) qua phép tịnh tiến vectơ (1; -2), ta có: Û ị (x - 1)2 + (y + 2)2 - 4(x - 1) + y + 2 - 1 = 0 Û x2 + y2 - 6x + 5y + 10 = 0. (*) Phương trình (*) chính là phương trình của (C1). Cách 2: Đường tròn (C) có tâm và bán kính Gọi I1 = , ta có: Khi đó, phương trình đường tròn (C1) được xác định bởi: (C1): C. bài tập rèn luyện Cho hai tam giác bằng nhau ABC và A’B’C’ (AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’). Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến DABC thành DA’B’C’. Có hay không một phép dời hình F sao cho mọi đường thẳng đều biến thành đường thẳng song song với nó. Chứng minh rằng phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ vuông góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C thành chính nó phải là phép đồng nhất. Cho hai đường tròn (O, R) và (O', R'), R ạ R' và một đường thẳng (D). Hãy dựng một đường thẳng (d) song song với (D) cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm A, B, A', B' sao cho AB = A'B' Giả sử phép dời hình f biến DABC thành DA'B'C'. Chứng minh rằng: Trọng tâm DABC biến thành trọng tâm DA'B'C'. Trực tâm DABC biến thành trực tâm DA'B'C'. Tâm đường tròn ngoại tiếp (nội tiếp) DABC biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp (nội tiếp) DA'B'C'. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O, R), trong đó AD = R. Dựng các hình bình hành DABM và DACN. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên (O, R). Tìm phương trình của đường thẳng (d1) là ảnh của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến vectơ , biết: (d): x - 3y + 3 = 0 và (-3; -2). b. (d): 2x - 6y + 3 = 0 và (; -3). Tìm phương trình của đường tròn (C1) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến vectơ , biết: (C): (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 và (-2; 1). (C): x2 + y2 - 2x - 4y - 2 = 0 và (0; 3). Hãy tìm vectơ (a; b) sao cho khi tịnh tiến đồ thị y = f(x) theo ta nhận được đồ thị hàm số y = g(x), biết: f(x) = -x2 - x + và g(x) = - x2 + 4. f(x) = và g(x) = . D. hướng dẫn - đáp số Giả sử tồn tại hai phép dời hình khác nhau F1, F2 cùng thoả mãn: F1(DABC) = DA’B’C’, F2(DABC) = DA’B’C’. Khi đó: $M: F1(M) = M1, F2(M) = M2 và M1 ạ M2. Vì F là phép dời hình nên: ị A’M1 = A’M2 ị A’ thuộc đường trung của đoạn M1M2. Tương tự, ta cũng thấy B’, C’ thuộc đường trung của đoạn M1M2, suy ra: ị A’, B’, C’ thẳng hàng - mâu thuẫn. Vậy, tồn tại duy nhất một phép dời hình biến DABC thành DA’B’C’. Giả sử tồn tại phép dời hình F thoả mãn điều kiện đầu bài. Khi đó, sẽ không tồn tại điểm M để F(M) = M vì nếu trái lại thì với đường thẳng a đi qua M ta có F(a) = a’ và cả hai đường thẳng sẽ không thể song song bởi cùng đi qua điểm M. Từ nhận xét trên với điểm A bất kì, giả sử: ị F(AA1) = F(A1A2) tức F biến đường thẳng a đi qua hai điểm phân biệt A, A1 thành đường thẳng a' đi qua hai điểm phân biệt A1, A2 và chúng cắt nhau tại A1, vô lí. Vậy, không tồn tại phép dời hình thoả mãn điều kiện đầu bài. Trước tiên, sẽ không tồn tại hai điểm phân biệt biến thành chính nó qua F bởi khi đó a sẽ trùng với a’. Gọi I là giao điểm của a với a’, ta đi chứng minh F(I) = I. Thật vậy, với A khác I giả sử: ị ị F(I) = I, đpcm. Với phép dời hình F, thoả mãn F(A) = A, F(B) = B, F(C) = C. Giả sử trái lại F không phải là phép đồng nhất, tức là: $M: F(M) = M’ và M ạ M’. Vì F là phép dời hình nên: ị A, B, C thuộc đường trung của đoạn MM’ ị A, B, C thẳng hàng - mâu thuẫn. Vậy F phải là một phép đồng nhất. Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng (d) song song với (D), cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm A, B, A', B' sao cho AB = A'B'. Vì = nên = . O O1 A (D) B A’ B’ (d) O’ K Thực hiện phép tịnh tiến vectơ thì (O, R) có ảnh là (O1, R) đi qua A' và B' với I là gao điểm của đường thẳng Ox // (D). Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện: Dựng Ox // (D). Dựng O'K ^ (D), O'K cắt Ox tại I. Dựng (O1, R) và (O1, R) cắt (O', R') tại A' và B' Khi đó, đường thẳng A'B' là đường thẳng (d) phải dựng. Chứng minh: Vì: (d) ^ O'K nên (d) // (D). (d) cắt (O1, R) tại A', B' nên (d) cắt (O, R) tại A, B và AB = A'B'. Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi hai đường tròn (I, R) và (O', R') cắt nhau. Khi đó, bài toán chỉ có một nghiệm. Gọi M là trung điểm của đoạn BC và G là trọng tâm DABC. Giả sử: f(M) = M' và f(G) = G'. Từ tính chất không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm, ta suy ra: M' là trung điểm của B'C' ị A'M' là trung tuyến. (1) = = . (2) Từ (1) và (2) suy ra G' là trọng tâm DA'B'C'. Gọi AA1, BB1 là hai đường cao của DABC và H là trực tâm DABC. Giả sử: f(B1) = B1', f(A1) = A1' và f(H) = H'. Từ tính chất của phép dời hình, ta suy ra: H' = A1A1' ầ B1B1'. (3) Từ tính chất bảo toàn độ lớn góc của phép dời hình, ta suy ra: A1A1', B1B1' là các đường cao của DA'B'C'. (4) Từ (3) và (4) suy ra H' là trực tâm DA'B'C'. Ta lần lượt xét: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. Giả sử: f(O) = O'. Từ tính chất không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm, ta suy ra: O'A' = O'B' = O'C' bởi OA = OB = OC. Vậy, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp DA'B'C'. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC. Giả sử: f(I) = I'. Từ tính chất bảo toàn độ lớn góc của phép dời hình, ta suy ra: ị I thuộc đường phân giác của góc Â'. (5) ị I thuộc đường phân giác của góc '. (6) A D C B M N O O’ Từ (3) và (4) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp DA'B'C'. Từ giả thiết, ta có: ị suy ra - là tâm đường tròn ngoại tiếp DDMN. Mặt khác, ta cũng có: ị OO’ = R Û O’ẻ (O, R), đpcm. a. x - 3y = 0. b. x - 3y + 14 = 0. a. x2 + (y - 3)2 = 9. b. (x - 1)2 + (y - 5)2 = 7. a. (-2; -2). b. (-2; 3).