Bài giảng Toán §1: Phương pháp quy nạp toán học

Dãy sốCấp số cộng Cấp số nhân§2§3§4 CHƯƠNG III Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân §1 Phương pháp quy nạp Toán học Xét hai mệnh đề chứa biến :P(n) : “ 3n n ” với nN*a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?b) nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai ? P(n) : “ 3n n ”a) n = 1 : 2 > 1 (Đ) n = 2 : 4 > 2 (Đ) n = 3 : 8 > 3 (Đ) n = 4 : 16 > 4 (Đ) n = 5 : 32 > 5 (Đ)a) n = 1 : 3 24481>325243>40 Chứng minh rằng 3n > 8n với mọi n  3.GiảiBước 1. Khi n = 3 ta có 33 = 27 > 24 = 8.3Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  3, nghĩa là 3k > 8k. Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là 3k+1 > 8(k+1). Thật vậy, ta có 3k+1 = 3.3k. Mà theo giả thiết qui nạp ta có 3k > 8k nên 3k+1 > 3.8k = 24k = 8k + 16k. Vì k  3 nên 16k  48. Do đó 3k+1 > 8k + 16k > 8k + 48 > 8k + 8 = 8(k + 1). Vậy 3n > 8n với mọi n  3.