[Bài giảng] Tích Phân - Phạm Kim Chung

Sở GD & Đt nghệ an Tr−ờng THPT Đặng thúc hứa ∫ 6 6sin4x + cos2x dxsin x + cos x tích phân ( ) ( )∫ ∫ 6 6 8 8 x +1 - x -1dx 1 = = dx x +1 2 x +1 I = ... Giáo viên : Phạm Kim Chung Tổ : Toán Năm học : 2007 - 2008 ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa _____________________________ Tháng 12 – năm 2007 __________________________________ (Trang 1 “ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đ−ờng, ng−ời ta đi lắm thì thμnh đ−ờng thôi ! ” - Lỗ Tấn - Viết một cuốn tμi liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t− t−ởng lớn của một nhμ viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán lμ có hạn .. Khi tôi có ý t−ởng viết ra những điều tôi gom nhặt đ−ợc tôi chỉ mong sao qua từng ngμy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp..qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn khoăn, ngơ ngác hơn.. Vμ nếu còn ai đọc bμi viết nμy nghĩa lμ đâu đó tôi đang có những ng−ời thầy, ng−ời bạn cùng chung một niềm đam mê sự diệu kì Toán học . Thử giải một bμi toán khó... nh−ng ch−a thật hμi lòng ! ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ 6 6 2 28 4 2 x +1 - x - 1dx 1= dx = x +1 2 x +1 - 2x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 2 4 2 x +1 x - 2x +1 + 2 -1 x x - 1 x - 2x +1 + 2 +1 x1 1dx + dx 2 2x +1 - 2x x +1 - 2x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 22 2 4 2 4 24 2 4 2 4 2 4 2 2 - 1 2 +1x +1 x x - 1 x1 x +1 1 x -1= dx + dx + dx + 2 2 2 2x + 2x +1 x + 2x +1x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x +1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ 22 11+1 x= dx 2 1x - +2+ 2 x ( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ 22 2 11+ dx2 -1 x+ 2 1 1x - +2 - 2 x - +2+ 2 x x ( )⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ 22 11 -1 x+ dx 2 1x + - 2 - 2 x ( ) ( ) ( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ 22 2 11- dx2 +1 x+ 2 1 1x + - 2+ 2 x + - 2 - 2 x x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ 2 1d x -1 x= 2 1x - +2+ 2 x ( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫2 2 1 1d x - d x -2 - 1 2 -1x x+ - 4 2 4 21 1x - +2 - 2 x - +2+ 2 x x ( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ 2 1d x +1 x+ 2 1x + - 2 - 2 x ( ) ( ) ( ) ( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫2 2 1 1d x + d x +2 +1 2 +1x x+ - 4 2 4 21 1x + - 2+ 2 x + - 2 - 2 x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1x + - 2 - 2 x + - 2+ 22+ 2 2 - 2 2 - 2 2+ 2x x= u+ v + ln + ln +C1 18 8 16 16x + + 2 - 2 x + + 2+ 2 x x ( Với 1x - = 2+ 2tgu = 2 - 2tgv x ) (Nếu dùng kết quả nμy để suy ng−ợc có tìm đ−ợc lời giải hay hơn ?.. ) ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 2 Phần lý thuyết n Định nghĩa : Giả sử f(x) lμ một hμm số liên tục trên một khoảng K, a vμ b lμ hai phần tử bất kì của K, F(x) lμ một nguyên hμm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đ−ợc gọi lμ tích phân từ a đến b của f(x) vμ đ−ợc kí hiệu lμ . Ta dùng kí hiệu ( )∫b a f x dx ( ) bF x a để chỉ hiệu số : F(b) – F(a) Công thức Newton – Laipnit : ( )∫b a f x dx = ( ) bF x a = F(b) – F(a) Ví dụ : ( )31 2 3 0 1x 1 1 x dx 1 0 03 3 = = − =∫ 3 3 Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc vμ f, a vμ b mμ không phụ thuộc vμo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta có thể viết : F(b) – F(a) = = ( )∫b a f x dx ( )∫b a f x dx ( )∫b a f t dt = ( )∫b a f u du ... o Các tính chất của tích phân . 1. ( ) a a f x dx = 0∫ 2. ( ) ( ) b a a b f x dx = - f x dx∫ ∫ 3. ( ) ( ) ( ) ( )α ± β α ± β⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫b b a a f x g x dx = f x dx g x dx∫b a VD : ( ) ( )e e e 2 2 1 1 1 e e3 1 2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2 1 1x x ⎛ ⎞+ = + = + = − + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 2 4. ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫c b c a a b f x dx = f x dx+ f x dx VD : 2 21 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1x x x dx x dx x dx xdx xdx 1 1 02 2− − − = + = − + = − +−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = 5. f(x) 0 trên đoạn [a ; b] ⇒ 0 ≥ ( )∫b a f x dx ≥ 6. f(x) g(x) trên đoạn [a ; b] ⇒ ≥ ( )∫b a f x dx ≥ ( )∫b a g x dx VD : Chứng minh rằng : 2 2 0 0 sin2xdx 2 sinxdx π π ≤∫ ∫ 7. m f(x) M trên đoạn [a ; b] ⇒ m(b – a) = ≤ ≤ ∫b a m dx ≤ ( )∫b a f x dx ≤ ∫b a M dx = M(b – a) VD : Chứng minh rằng : 2 1 1 5 2 x dx x 2 ⎛ ⎞≤ + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∫ HD . Khảo sát hμm số 1y x x = + trên đoạn [1; 2] ta có : [ ] [ ]1;21;2 5 y ; y 2 2= =max min ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 3 Do đó : 2 2 2 1 1 1 1 5 2 dx x dx dx x 2 ⎛ ⎞≤ + ≤ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 2 1 2 21 5 2x x dx x 1 1x 2 ⎛ ⎞≤ + ≤ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 2 1 1 5 2 x dx x 2 ⎛ ⎞≤ + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∫ Phần ph−ơng pháp p Ph−ơng pháp đổi biến số : t = v(x) . VD . Tính tích phân : 2 1 0 x I dx x 1 = +∫ Đặt : . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 . 2t x 1= + Ta có : dtdt = ⇒ . Do đó : 2xdx xdx 2 = 2 1 2 0 1 2x 1 dt 1 1 I d x ln t ln2 12 t 2 2x 1 = = = =+∫ ∫ . Quy trình giải toán . ( ) ( )( ) ( )x x x∫ ∫b b a a f x dx = g v v' d B−ớc 1 . Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hμm liên tục, đổi cận . B−ớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt B−ớc 3 . Tính . ( ) ( ) ( ) ∫ v b v a g t dt / Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 2e e dx x ln x∫ 2 . ( ) 2 2 1 dx 2x 1−∫ 3. 1 2 3 0 x dx x 1+∫ 4. 3 4 2 xdx x 1−∫ 5 . 2 3 4 dx sin x π π ∫ 6 . ( ) 1 0 dx 2x 1 x 1+ +∫ 7. ( ) 4 1 dx x 1 x+∫ q Ph−ơng pháp đổi biến số : x = u(t) . VD . Tính tích phân : 1 2 0 1 x∫ dx− Đặt x = sint t ; 2 2 π π⎛ ⎞⎡ ⎤∈ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t= 2 π Vậy với x = sint thì x 0;1∈ ⇒⎡ ⎤⎣ ⎦ t 0;2 π⎡∈ ⎢⎣ ⎦ ⎤⎥ vμ dx = costdt . Do đó : 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos tdt π π − = − = =∫ ∫ ∫ ∫2 2 π = = 2 0 1 cos2t 1 sinx cosx O 1 dt t sin2t 2 2 2 2 40 π π+ π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ . Quy trình giải toán . ( )∫b a f x dx B−ớc 1 . Đặt x = u(t), t ;∈ α β⎡⎣ ⎤⎦sao cho u(t) có đạo hμm liên tục trên đoạn ;α β⎡⎣ , f(u(t)) đ−ợc xác định trên đoạn vμ . ⎤⎦ ⎤⎦ b;α β⎡⎣ ( ) ( )u a; uα = β = ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 4 B−ớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt B−ớc 3 . Tính . ( ) β α ∫g t dt / Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 1 2 0 dx 1 x+∫ 2 . 1 2 2 0 dx 1 x−∫ 3. 1 2 0 dx x x 1+ +∫ 4. 1 2 2 0 x 1 x dx−∫ 5 . 1 3 2 0 x 1 x dx+∫ 6 . 5 2 0 5 x dx 5 x + −∫ ( Đặt x=5cos2t) r Ph−ơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) VD1 . Tính tích phân : I = 1 2 0 1 x dx+∫ Cách (1) Đặt 2 2 2 t 11+ x = x - t 1 = -2xt t x 2t −⇒ + ⇒ = Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1 2− vμ dx = 2 2 t 1 2t + dt . Do đó : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 4 2 2 3 1 1 1 1 t 1 t 1 1 t 2t 1 1 1 1 I . dt dt tdt 2 dt dt 2t 2t 4 t 4 t t − − − − − − − − ⎛ ⎞− − + + += = − = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ 31 − − =∫ = 2 2 1 2 1 2 1 2t 1 1 ln t 8 2 8t1 1 1 − =− − −− − +− − ( )1 2ln 2 12 2− − + ⎤⎦ nên ta có thể chọn t 0; 4 π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t πCách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1∈⎡⎣ 4= vμ dx= 2 1 dt cos t . Do đó : ( ) ( ) 1 4 4 4 4 4 2 2 22 2 3 4 2 0 0 0 0 0 0 d sin t1 1 1 1 cos t 1 x dx 1 tg t dt dt dt dt cos t cos t cos t cos t cos t 1 sin t π π π π π + = + = = = = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 0 0 1 sin t 1 sin t1 1 1 d sin t d sin t 4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t π π ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ 1 = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 2 2 0 0 0 d 1 sin t d 1 sin td sin t1 1 1 1 1 1 d sin t 4 1 sin t 1 sin t 4 2 1 sin t 1 sin t 41 sin t 1 sin t π π π ⎡ ⎤ − ++ = − + +⎢ ⎥− + − +− +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 4 0 π =∫ = 2 1 1 1 1 1 sin t 1 sin t 1 1 sin t . ln ln 4 0 π 4 4 4 4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t0 0 0 π π+ +⎡ ⎤− + = +⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦ π = ( )1 2ln 2 12 2− − + . Bình luận : Bμi toán nμy còn giải đ−ợc bằng ph−ơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rμng khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép tính toán đơn giản hơn. Nh−ng ng−ợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán dμi dòng vμ nếu quả thật không khá tích phân thì ch−a hẳn đã lμ đ−ợc hoặc lμm đ−ợc mμ lại dμi dòng hơn . VD2 . Tính tích phân : I = 1 2 0 1 dx 1 x+∫ ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 5 Cách (1) Đặt 2 2 2 t 11+ x = x - t 1 = -2xt t x 2t −⇒ + ⇒ = Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1 2− vμ dx = 2 2 t 1 2t + dt . Do đó : 1 2 1 22 2 2 1 1 2t t 1 1 I . dt dt t 1 2t t − − − − − += = −+∫ ∫ = = 1 2 ln t 1 −− − ( )ln 2 1= − − ⎤⎦ nên ta có thể chọn t 0; 4 π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t πCách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1∈⎡⎣ 4= vμ dx= 2 1 dt cos t . Do đó : 1 4 4 4 4 2 2 22 2 0 0 0 0 0 cos t1 1 1 1 cos dx dt dt dt dt cos t cos t cost cos t1 x 1 tg t π π π π = = = =+ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t = ( ) ( ) 4 2 0 d sin t 1 1 sin t ln 4 2 1 sin t1 sin t 0 π π−= = =+−∫ ( )ln 2 1− − . / Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 2 2 1 x 1dx−∫ 2 . 2 22 1 x dx x 1−∫ 3. 0 2 1 x 2x 2dx − + +∫ 4. 1 2 2 0 dx 1 x 4x 3+ − +∫ 5 . 1 2 2 dx 1 1 2x x − − + − −∫ 6 . 1 2 0 xdx x x 1+ −∫ iChú ý : Khi đứng tr−ớc một bμi toán tích phân, không phải bμi toán nμo cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng ph−ơng pháp đổi biến số . Có nhiều bμi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ ( sẽ nói đến ở phần Phân Loại Các dạng Toán ) s Ph−ơng pháp tích phân từng phần . Nếu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm số có đạo hμm liên tục trên đoạn [a; b] thì : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫b b a a b u x v' x dx = u x .v x - v x u' x dxa hay ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫b b a a b u x dv = u x .v x - v x dua VD1. Tính 2 0 x cos xdx π ∫ Đặt ⎨ = , ta có : u x dv cos xdx =⎧ ⎩ du dx v sin x =⎧⎨ =⎩ ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 6 ( )2 2 0 0 x cos xdx x sin x sin xdx cosx 12 2 2 20 0 π ππ ππ π= − = + = −∫ ∫ Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra lμ đặt có đ−ợc không ? u cosx dv xdx =⎧⎨ =⎩ Ta hãy thử : 22 2 2 0 0 x 1 x cos xdx cosx x sin xdx2 2 20 π ππ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ , rõ rμng tích phân 2 2 0 x sin xdx π ∫ còn phức tạp hơn tích phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u vμ dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng ph−ơng pháp tích phân từng phần . Ta hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất ! VD2. Tính 2 5 1 ln x dx x∫ Ta thử đặt : 5 1 u x dv ln xdx ⎧ =⎪⎨⎪ =⎩ rõ rμng để tính v= lμ một việc khó khăn ! ln xdx∫ Giải . Đặt 5 u ln x 1 dv dx x =⎧⎪⎨ =⎪⎩ ta có : 5 4 1 du x 1 1 v dx x 4x ⎧ =⎪⎪⎨⎪ = = −⎪⎩ ∫ Do đó : 2 2 5 4 5 4 1 1 2 2ln x ln x 1 dx ln2 1 1 15 ln2 dx 1 1x 4x 4 x 64 4 4x 256 64 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ iNhận xét : Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u vμ dv phải thoả mãn : 1 du đơn giản, v dễ tính . 2 Tích phân sau ( )vdu∫ phải đơn giản hơn tích phân cần tính ( )udv∫ . / Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 1 x 0 xe dx∫ 2 . 1 3x 0 xe dx∫ 3. ( )2 0 x 1 cosxdx π −∫ 4. ( )6 0 2 x sin3xdx π −∫ 5 . 1 2 x 0 x e dx−∫ 6 . 2 2 0 x sin xdx π ∫ 7. 2 x 0 e cosxdx π ∫ 8. 9. 10. e 1 ln xdx∫ ( )5 2 2x ln x 1 dx−∫ ( )e 2 1 ln x dx∫ Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó ! Phần phân loại các dạng toán ê  Tích phân của các hμm hữu tỷ A. Dạng : I ( ) ( )a 0≠∫ P x= dxax + b ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 7 Công thức cần l−u ý : I dx ln ax b C ax b a α α= = ++∫ + # Tính I1 x 1 dx+= −∫ x 1 # Tính I2 2x 5 dx−= +∫ x 1 # Tính I3 3x dx 2x 3 = ∫ + Ph−ơng pháp : Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đ−a tích phân về dạng : I ( )Q x dx dx ax b α= + +∫ ∫ ( Trong đó Q(x) lμ hμm đa thức viết d−ới dạng khai triển ) B. Dạng : I ( ) ( )a 0≠∫ 2P x= d xax + bx + c 1. Tam thức : có hai nghiệm phân biệt . ( ) 2f x ax bx c= + + Công thức cần l−u ý : I ( )( ) ( ) u' x dx ln u x C u x = = +∫ ☺ Tính I 2 2 dx x 4 = −∫ Cách 1. ( ph−ơng pháp hệ số bất định ) ( ) ( )2 1 AA B 02 A B 22 A B x 2 A B A B 1 1x 4 x 2 x 2 B 2 ⎧ =⎪+ =⎧ ⎪= + ⇒ ≡ + + − ⇒ ⇔⎨ ⎨− =− − + ⎩ ⎪ = −⎪⎩ Do đó : I 2 2 dx x 4 = −∫ = 1 1 dx2 x 2−∫ - 1 1 dx2 x 2+∫ = 1 x 2ln C2 x 2− ++ Cách 2. ( ph−ơng pháp nhảy tầng lầu ) Ta có : I 22 2 2 2 1 2x 2x 4 1 dx dx dx ln x 4 ln x 2 C x 4 2 x 4 x 4 2 −⎡ ⎤= = − = − − +⎢ ⎥− − −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ + # Tính I 2 2 dxx a α= −∫ # Tính I 22x dx9 x= −∫ # Tính I 23x 2 dxx 1 += −∫ # Tính I 22 x dxx 5x 6= − +∫ # Tính I 32 3x dxx 3x 2= − +∫ Ph−ơng pháp : • Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng ph−ơng pháp hệ số bất định hoặc ph−ơng pháp nhảy tầng lầu. • Khi bậc của đa thức P(x) ≥2 ta sử dụng phép chia đa thức để đ−a tử số về đa thức có bậc < 2 . ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 8 2. Tam thức : có nghiệm kép . ( ) ( )22f x ax bx c x= + + = α + β Công thức cần l−u ý : I ( )( ) ( )2 u' x 1 dx C u x u x = = − +∫ # Tính I ( )( )22 d x 21 1 dx C x 4x 4 x 2x 2 −= = = −− + −−∫ ∫ + # Tính I 2 4x dx4x 4x 1= − +∫ . Đặt : 2x – 1 = t dt dx= 2 2x t 1 ⎧⎪⇒ ⎨⎪ = +⎩ , lúc đó ta có : I 2 2 t 1 dt dt 2 2 dx 2 2 2ln t t t t t += = + = −∫ ∫ ∫ C+ # Tính I 22 x 3 dxx 4x 4 −= − +∫ # Tính I 32 x dxx 2x 1= + +∫ Ph−ơng pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta th−ờng đặt : tx t x −βα + β = ⇒ = α vμ thay vμo biểu thức trên tử số . 3. Tam thức : vô nghiệm . ( ) 2f x ax bx c= + + # Tính I 21 dxx 1= +∫ Đặt : 2 1 x tg dx d cos = α ⇒ = αα , ta có : I ( )2 2 1 d d cos tg 1 = α = αα α +∫ ∫ C= α + , với ( )tg xα = # Tính I 2 21 dxx a= +∫ . HD Đặt x atg= α 2adx dcos⇒ = αα , ta có : I d C a a α α= = +∫ # Tính I 2 2 dxx 2x 2= + +∫ # Tính I 2 2x 1 dxx 2x 5 += + +∫ # Tính I 22x dxx 4= +∫ # Tính I 32x dxx 9= +∫ ê C. Dạng : I ( ) ( )≠∫ 3 2P x= d x a 0ax + bx + cx+ d 1. Đa thức : có một nghiệm bội ba. ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 9 Công thức cần l−u ý : I ( )n n 1 1 1 dx C x n 1 x − = − +−∫ ( )n 1≠ = ☺ Tính I ( )3 1 dx x 1 = −∫ Nếu x > 1 , ta có : I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 x 11 1 dx x 1 d x 1 C C 2x 1 2 x 1 − − −= = − − = + = −−− −∫ ∫ + . Nếu x < 1 , ta có : I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 x1 1 dx 1 x d 1 x C C 21 x 2 x 1 − − −= − = − − = + = − +−− −∫ ∫ Vậy : I ( )3 1 dx x 1 = −∫ = ( )2 1 C 2 x 1 − +− Chú ý : mm 1 x , với x > 0 x −= # Tính I ( )3 x dx x 1 = −∫ Đặt : x – 1 = t ta có : I 3 2 3 2 t 1 1 1 1 1 dt dt C t t t t 2t + ⎛ ⎞= = + = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ # Tính I ( ) 2 3 x 4 dx x 1 −= −∫ # Tính I ( ) 3 3 x dx x 1 = −∫ # Tính I ( ) 4 3 x dx x 1 = +∫ 2. Đa thức : có hai nghiệm . ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ☺ Tính I ( )( )2 1 dx x 1 x 1 = − +∫ Đặt : x + 1 = t , ta có : I ( )2 3 1 d dt t t 2 t 2t = =− −∫ ∫ 2t Cách 1 Ta có : 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 1 3t 4t 1 3t 4t 4 3t 4t 1 3t 2 3t 4t 1 3 2 t 2t t 2t 4 t 2t t 2t 4 t t 2t 4 t t ⎛ ⎞− − − − + −⎛ ⎞ ⎛= − = − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − − −⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎞⎟⎠ Do đó : I 2 3 2 3 2 2 3t 4t 1 3 2 3 1 dt dt ln t 2t ln t C t 2t 4 t t 4 2t − ⎛ ⎞= − + = − − +⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ ∫ + . Cách 2 ( ) ( )23 2 2 2B 1 1 At B C 1 A C t 2A B t 2B 2A B 0 t 2t t t 2 A C 0 − =⎧+ ⎪= + ⇒ ≡ + + − + − ⇒ − + =⎨− − ⎪ + =⎩ 1 B 2 1 A 4 1 C 4 ⎧ = −⎪⎪⎪⇒ = −⎨⎪⎪ =⎪⎩ Do đó : 3 2 2 2 1 1 t 2 1 1 1 2 1 1 2 dt dt dt ln t ln t 2 C t 2t 4 t t 2 4 t t t 2 4 t +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= − − = − + − = − − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣∫ ∫ ∫ ⎤⎥⎦ ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 10  Ph−ơng pháp “nhảy tầng lầu” đặc biệt có hiệu quả khi tử số của phân thức lμ một hằng số .  Ph−ơng pháp “hệ số bất định” : bậc của đa thức trên tử số luôn nhỏ hơn bậc mẫu số 1 bậc . # Tính I ( )2 2x 1 dx x x 2 += −∫ Để sử dụng ph−ơng pháp nhảy tầng lầu ta sẽ phân tích nh− sau : ( ) ( ) ( )2 2 2x 1 2 1 x x 2 x x 2 x x 2 + = +− − − # Tính I ( ) ( ) 2 2 x dx x 1 x 2 = − +∫ Sử dụng ph−ơng pháp hệ số bất định : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x Ax B C x 2x 1 x 2 x 1 += + +− + − Do đó : ( )( ) ( 22 )x x 2 Ax B C x 1≡ + + + − Cho : x=-2, suy ra : 4C 9 = x=0 , suy ra : 2B 9 = − x=1, suy ra : 5A 9 = Ph−ơng pháp trên gọi lμ ph−ơng pháp “gán trực tiếp giá trị của biến số” để tìm A, B, C. # Tính I 33 2x 1 dxx 2x x −= + +∫ 3. Đa thức : có ba nghiệm phân biệt . ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ☺ Tính I ( )2 1 dx x x 1 = −∫ Cách 1. Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 3 32 2 1 1 3x 1 3x 3 1 3x 1 2 x x 2 x x xx x 1 x x 1 ⎡ ⎤ 3⎡ ⎤− − −⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥− −− −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Do đó : I 2 3 3 1 3x 1 3 1 3 dx ln x x ln x C 2 x x x 2 2 ⎡ ⎤−= − = − −⎢ ⎥−⎣ ⎦∫ + Cách 2 . Ta có : ( ) ( ) ( ) (22 1 A B C 1 A x 1 Bx x 1 Cx x 1 x x 1 x 1x x 1 = + + ⇒ ≡ − + + + −− +− ) Cho x=0, suy ra A = -1 . x=1, suy ra 1B 2 = x=-1, suy ra 1C 2 = Do đó : I 21ln x ln x 1 C 2 = − + − + ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 11 # Tính I ( )2 x 1 dx x x 4 += −∫ # Tính I ( )( ) 2 2 x dx x 1 x 2 = − +∫ # Tính I ( )( ) 3 2 x dx x 1 x 2 = − −∫ # Tính I ( )( )2 dx 2x 1 4x 4x 5 = + + +∫ Đặt : 2x + 1 =t dtdx 2 ⇒ = , ta có : I ( )2 1 dt 2 t t 6 = −∫ = ( ) 2 2 3 3 2 1 3t 6 3t 18 1 dt dt ln t 6t 3 ln t C 24 t 6t 24t t 6 ⎡ ⎤− −⎢ ⎥− = − −− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ + 4. Đa thức : có một nghiệm (khác bội ba) ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ☺ Tính I 3 1 dx x 1 = −∫ Đặt x – 1 = t , ta có : dx dt⇒ = I ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 dt 1 t 3t 3 t 3t dt dt 3t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3 ⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= = −+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 2 1 dt t 3 dt 3 t t 3t 3 +⎡ ⎤= −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦∫ ∫ = 22 1 dt 1 2t 3 3 dt dt 3 t 2 t 3t 3 2 3 3t 2 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥= − −⎢ ⎥+ + ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ 21 1ln t ln t 3t 3 3 C3 2= − + + − α + ( Với 3x tg2= α ) # Tính I ( )2 1 dx x x 1 = +∫ # Tính I ( )2 1 dx x x 2x 2 = + +∫ # Tính I 23x dxx 1= +∫ # Tính I 33x dxx 8= −∫ # Tính I 3 21 dxx 3x 3x 2= − + −∫ Tóm lại : Ta th−ờng sử dụng hai phép biến đổi : c Tử số lμ nghiệm của mẫu số . d Tử số lμ đạo hμm của mẫu số . vμ phân thức đ−ợc quy về 4 dạng cơ bản sau : n {↔ ∫ ứng với 1 1 1 dx = ln ax + b + C ax + b ax + b a o {↔ ∫ ứng với u' u' dx = ln u + C u u ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 12 p ( ) { ( )≥ ↔ ∫n n ứng với u' u' 1 n 2 dx = - + C u u n - 1 n-1u q ( ) { ( )↔ ∫2 22 2 ứng với 1 1 dx = + C ax + d + a x + d + a a , với x d atg+ = α D. Dạng : I ( )( )∫Q x= Vμ một số kĩ thuật tìm nguyên hμm . dxP x 1. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa nghiệm của mẫu số . # Tính I ( )( )( ) dx x x 1 x 7 x 8 = − + +∫ HD : I ( ) ( )( )( )( )( ) x x 7 x 1 x 8 dx x x 1 x 7 x 8 + − − += − + +∫ # Tính I 4 2dxx 10x 9= + +∫ HD : I ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 x 9 x 1dx 1 8x 1 x 9 x 1 x 9 + − += =+ + + +∫ ∫ # Tính I 6 4 2dxx 6x 13x 42= + − −∫ HD : I ( )( )( )2 2 2 dx x 3 x 2 x 7 = − + +∫ # Tính I 5 dx5x 20x= +∫ HD : I ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 x 4 x1 dx 1 5 20x x 4 x x 4 + − + +∫ ∫= = # Tính I 7 3dxx 10x= −∫ HD : I ( ) ( ) ( ) 4 4 3 4 3 4 x x 10dx 1 10x x 10 x x 10 − −= =− −∫ ∫ # Tính I ( )( )( )2 2 2 dx x 2 2x 1 3x 4 = − + −∫ # Tính I 8 6 4 2dxx 10x 35x 50x 24= − + − +∫ # Tính I ( )( )4 3 2 dx x 1 x 4x 6x 4x 9 = + + + + −∫ # Tính I 24x dxx 1= −∫ # Tính I 44x dxx 1= −∫ # Tính I 44x dxx 1= +∫ # Tính I 46x dxx 1= −∫ ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 13 # Tính I 66x dxx 1= −∫ # Tính I 100dx3x 5x= +∫ # Tính I ( )250 dx x 2x 7 = +∫ # Tính I ( )( ) 2000 2000 1 x dx x 1 x −= +∫ 2. Kĩ thuật đặt ẩn phụ với tích phân có dạng : I ( )( ) ( )1α α ≠∫ P x = dx ax + b ☺ Tính I ( ) 3 30 x x 1 dx x 2 + += −∫ Đặt x – 2 = t dx dt x t 2 =⎧⇒ ⎨ = +⎩ , ta có : I ( ) 3 3 2 30 30 26 27 28 29 t 2 t 3 t 6t 13t 11 1 1 1 1 dt dt 6 13 11 C t t 26t 27t 28t 29t + + + + + + ⎡ ⎤= = = − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ + = # Tính I ( ) 4 45 x dx x 3 = −∫ # Tính I ( ) 4 3 50 3x 5x 7x 8 dx x 2 − + −= +∫ Chú ý : Với loại toán nμy trong cuốn “Tích Phân – T.Ph−ơng ” đã sử dụng ph−ơng pháp khai triển Taylor nh−ng tôi cảm thấy cách lμm nμy không nhanh hơn lại gây nhiều phức tạp cho học sinh nên đã không nêu ra . 3. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa đạo hμm của mẫu số . # Tính I 4xdxx 1= −∫ Đặt 2x t 2xdx dt= ⇒ = # Tính I 34x dxx 1= +∫ ☺ Tính I 2 4 x 1 dx x 1 −= +∫ I ( ) 2 22 24 222 2 11 d x1x 1 1xxdx dx ln 1x 1 2 2 x x 2 11x x 2x x ⎛ ⎞+− ⎜ ⎟− −⎝ ⎠= = = =+ x x 2 1+ + +⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ +C # Tính I 24x 1 dxx 1 += +∫ # Tính I 24x dxx 1= +∫ # Tính I ( )24 3 2x 1 dxx 5x 4x 5x 1 −= − − − +∫ # Tính I ( )24 3 2x 1 dxx 2x 10x 2x 1 += + − − +∫ ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 14 # Tính I ( )24 3 2x 2 dxx 3x 11x 6x 4 −= − + − +∫ # Tính I ( )24 3 2x 3 dxx 2x 2x 6x 9 += − − + +∫ # Tính I 4 2dxx x 1= + +∫ # Tính I 4 2dxx 3x 4= − +∫ Bình luận : Loạt bμi toán nμy lμm tôi khá ấn t−ợng với phép chia cả tử số vμ mẫu số cho . Quả thật tôi luôn cố gắng tìm tòi xem liệu mình có thể nghĩ ra một ph−ơng pháp nμo khác hay hơn chăng, nh−ng ” bó tay.com “ . Thế mới hiểu toán học : “luôn tiềm ẩn những vẻ đẹp lμm ng−ời ta sửng sốt”. 2x # Tính I 56x dxx 1= +∫ # Tính I 6x dxx 1= −∫ Đặt , ta có : I2x t 2xdx dt= ⇒ = 31 dt2 t 1= −∫ # Tính I 36x dxx 1= −∫ # Tính I 46x 1 dxx 1 += +∫ # Tính I 36x x dxx 1 += +∫ HD : I ( ) ( )3 2 6 6 d x d x1 1 3 x 1 2 x 1 = ++ +∫ ∫ # Tính I 36x dxx 1= +∫ HD : I ( ) ( ) 2 2 32 1 x d x 2 x 1 = +∫ # Tính I ( )( )2 26 3x 1 x 2x 1 dxx 14x 1 + + −= − −∫ HD : I 2 3 3 3 1 1 11 x 2 x 2 1x x xdx d x 1 x1 1x 14 x 3 x 14x x x ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ − # Tính I ( ) 19 210 x dx 3 x = +∫ HD . I ( ) ( ) ( ) 10 9 10 10 2 210 10 x .10x 1 x dx d x 103 x 3 x = = + +∫ ∫ # Tính I ( ) 99 750 x dx 2x 3 = −∫ # Tính I ( ) 2n 1 kn x dx ax b − = +∫ ∫12 2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 15 4. Kĩ thuật chồng nhị thức . Cơ sở của ph−ơng pháp : Để tìm nguyên hμm có dạng : I ( )( ) n m ax b dx cx d += +∫ , ta dựa vμo cơ sở : ( ) , 2 a b c dax b cx d cx d +⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + vμ phân tích biểu thức d−ới dấu tích phân về dạng : I ( )2 ax b dx ax b ax b k f k f d cx d cx d cx dcx d + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+∫ ∫ += = + VD . Tính I ( )( ) ( ) 10 10 10 11 12 2 3x 5 3x 5 dx 1 3x 5 3x 5 1 3x 5 dx d C x 2 11 x 2 x 2 121 x 2x 2 x 2 − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +∫ ∫ ∫ − ++ # Tính I ( )( ) 99 101 7x 1 dx 2x 1 −= +∫ # Tính I ( ) ( )5 3 dx x 3 x 5 = + +∫ HD . I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 5 6 2 56 8 x 3 x 5dx 1 1 dx 1 1 dx 2 x 5x 3 x 3 x 3 2x 5 x 5 x 5x 5 x 5 x 5 x 5 + − +⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥++ + ++ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎣ ⎦+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ Để tránh sự đồ sộ trong tính toán ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ nh− sau : Đặt ( )2 1 dt dx 2x 3 x 5t x 5 x 5 2 1 1 t t x 5 x 5 2 ⎧ =⎪+ +⎪= ⇒ ⎨+ + − −⎪ = ⇒ =