Bài giảng số 4: Nhị thức newton

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 1 BÀI GIẢNG SỐ 4. NHỊ THỨC NEWTON ......PHẦN 1...... Nhị thức Newton là phần rất quan trong và thường xuất hiện trong các đề thi ĐH_CĐ. Bài giảng số 4 sẽ giúp chúng ta giải quyết được các dạng bài tập cơ bản về nhị thức Newton. Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức nhờ khai triển Newton Phương pháp  Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng có dạng k n k k nC a b  ta dùng trực tiếp nhị thức Newton:   0 n n k n k k n k a b C a b    .  Chọn a,b thích hợp Ví dụ 1 Chứng minh rằng : a. 0 1 ... 2n nn n nC C C    b.  0 1 2 ... 1 0 n n n n n nC C C C      Giải a. Ta có:   0 1 2 2 1 11 ... n n n n n n n n n nx C C x C x C x C x         Chọn x = 1   0 1 2 11 1 2 ... n n n n n n n n nC C C C C          (Đpcm) b.Ta có    0 1 2 21 ... 1 n n n n n n n nx C C x C x C x       Chọn x = 1    0 1 20 1 1 ... 1 n n n n n n nC C C C        (Đpcm) Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 2 Ví dụ 2 Chứng minh rằng:  0 2 2 4 4 2 2 2 1 22 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n nn n n nC C C C       Giải Ta có :         2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 ... 1 1 ... 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x x C C x C x C x C x                   Lấy (1) + (2) ta được:     2 2 0 2 2 2 2 2 2 21 1 2 ... n n n n n n nx x C C x C x         Chọn x=3 suy ra:       2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 ... 3 2 2 3 ... 3 2 2 2 1 3 ... 3 2 2 (2 1) 3 ... 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C                           (Đpcm) Bài tập Bài 1. Chứng minh rằng : 0 2 4 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2... ... n n n n n n n n nC C C C C C C         . Hướng dẫn: Khai triển   2 0 1 2 3 4 5 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 ... 0 n n n n n n n n n n nC C C C C C C C             Điều phải chứng minh. Bài 2. Chứng minh rằng : 17 0 1 16 1 2 15 2 3 14 3 17 17 17 17 17 17 173 4 3 4 3 4 3 ... 4 1C C C C C       . Hướng dẫn:   17 3 4 1   . Bài 3. Chứng minh 2 4 6 2 2 1 2 2 2 2... 2 1 n n n n n nC C C C       Hướng dẫn: 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2(1 ) ... n n n n n n n n n nx C xC x C x C x C         (1) Trong (1): Cho 1x  ta được: 0 1 2 2 1 2 22 2 2 2 2... 2 n n n n n n n nC C C C C       (2); Cho 1x   ta được: 0 1 2 2 1 22 2 2 2 2... 0 n n n n n n nC C C C C       (3). Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 3 Cộng theo vế (2) và (3) ta có: 0 2 4 6 2 2 2 2 2 2 2 22( ... ) 2 2 n n n n n n n nC C C C C       suy ra đpcm. Bài toán 2: Tính tổng nhờ khai triển Newton Phương pháp :  Xét khai triển Newton   0 n n k n k k n k a b C a b    .  Chọn a và b thích hợp cho từng bài toán. Ví dụ 1 Tính tổng sau 17 0 1 16 1 2 15 2 3 14 3 17 1717 17 17 17 173 4 3 4 3 4 3 ... 4S C C C C C      Giải Xét khai triển   17 0 17 1 16 2 15 2 3 14 3 16 16 17 17 17 17 17 17 17 173 3 3 3 3 ... 3x C C x C x C x C x C x        Chọn 4x   ta có:   1717 0 1 16 1 2 15 2 3 14 3 17 17 17 17 17 17 173 4 3 4 3 4 3 ... 4 3 4 1C C C C C         Vậy : 1.S   Ví dụ 2 Cho n N . Tính các tổng sau a. 0 2 4 22 4 ... 2 ....n kn n n nM C C C C      b. 1 3 5 2 12 4 ... 2 ....n kn n n nN C C C C       Giải Ta có   0 1 2 2 1 11 ... n n n n n n n n n nx C C x C x C x C x         Chọn 2x  ta có   0 1 2 21 2 2 2 ... 2 ..... 2 n k k n n n nC C C C M N          Chọn 2x   ta có   0 1 2 2 11 2 2 2 ... 2.2 ..... 2 n k k n n n nC C C C M N          Vậy ta có: Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 4             1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 n n n n n n MM N M N N                       Bài tập Tính các tổng sau a. 0 0 2 2 2 2 2 2 22 2 ... 2 n n n n nA C C C    b. 1 1 3 3 2 1 2 12 2 22 2 ... 2 n n n n nB C C C      (HD a, b: chọn khai triển   2 1 2 n x Chọn x = 1 ta có A+B, chọn x = -1 ta có A – B ) c. 0 1 2 26 6 ... 6n nn n n nC C C C C     d.  0 1 2 22 2 ... 1 2 n n n n n n nD C C C C      e. 0 1 2 2 2 2 2 2 2 210 10 ... 10 n n n n n nE C C C C     (HD c, d, e: chọn khai triển  1 2 n x Chọn x = 3 ta có C, chọn x = -1 ta có D, chọn x = -5 và thay n bởi 2n ta có E) Bài toán 4: Đồng nhất thức Ví dụ 1: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho 0 , , m k n k m n Z      Chứng minh: 0 1 1. ...k k k m m kn m n m n m n mC C C C C C C       Giải       0 1 0 1 1 0 1 1 ... Ta c : 1 ... 1 ... m m m m m m n n n n n n n m n m n m n m n m n m n x C C x C x ó x C x C x C x C C x C x                           Suy ra hệ số xk trong (1+x)n .(1+x)m là 0 1 1 ...k k m k mm n m n m nC C C C C C     Và hệ số xk trong khai (1+x)m+n là km nC  Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 5 Đồng nhất thức: (1+x)n .(1+x)m = (1+x)n+m Ta được: 0 1 1. ...k k k m m kn m n m n m n mC C C C C C C       ĐPCM Ví dụ 2 Chứng minh rằng 1 2 3 4 44 6 4 k k k k k k n n n n n nC C C C C C          Giải Ta có          4 4 0 1 2 2 4 0 1 2 3 4 4 4 4 4 1 1 1 ... ... 1 4 6 4 n n n n n n n n n n n n x x x C C x C x C C C x C x x x x x                        Đồng nhất thức hai đa thức này vơi nhau (so sánh hệ số của kx ở hai vế) ta có 1 2 3 4 44 6 4 k k k k k k n n n n n nC C C C C C          (Đpcm) Ví dụ 3 Cho 0 , k n k n Z     Chứng minh rằng :       0 1 1 2 ! . ... !. ! k k n n k n n n n n n n C C C C C C n k n k        Giải Ta được:         2 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 , 0 1 1 . ... . ... 1 ... n n n n n n n n n n n n nn n n n n nn x x x x x C C C C C x C x x x C C x C x x                            Đồng nhất thức 2 vế đẳng thức với nhau, so sánh hệ số của xk ở 2 vế ta được       0 1 1 2 ! . ... !. ! k k n n k n n n n n n n C C C C C C n k n k        Bài tập Bài 1. Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 6 Cho 0 , k n k n Z     Chứng minh rằng 0 1 1 1... n n k k k n k nC C C C       (HD: Xét đa thức           1 1 1 1 .... 1 1 k n k n k k P x x x x x              Hệ số của xk là 0 1 1 ... n k k k nC C C    Hơn nữa           1 11 1 1 1 1 k n k k nx x x x P x x x            Hệ số của xk là 1 1 1 k n k n k nC C      Đồng nhất thức ta có đpcm) Bài 2. Với * 3 3, nn N a  là hệ số của 3 3nx  trong khai triển đa thức    2 1 2 n x x  . Tìm n để 3 3 26na n  HD:           2 2 2 0 0 3 2 0 0 2 3 3 1 2 2 2 2 3 , 1,1 , 0,3 2 3 35 5. n n n k n k h h n h n n k h n n k h h n k h n n k h n x x C x C x C C x k h k h a n n n                         