Bài giảng số 3: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 1 BÀI GIẢNG SỐ 3. HOÁN VỊ , CHỈNH HỢP, TỔ HỢP ....PHẦN 2.... Các bài toán tổng hợp chúng ta thường phải vận dung linh hoạt, kết hợp các khái niệm về hoán vị ,chỉnh hợp ,tổ hợp thường xuất hiện trong đề thi học kì, đề thi ĐH_CĐ. Bài viết số 3 sẽ giúp các em giải quyết được các dạng bài toán đó. Sau đây ta đi vào một số dạng toán cụ thể. Bài toán 1: Bài toán kết hợp giữa quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Phương pháp: Ta áp dụng các công thứ về hoán vị, chỉnh hợp , tổ hợp kết hợp vớ quy rắc công và nhân. Ví dụ 1: Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 5 người trong đó có không quá 3 nữ ? Giải Ta có các trường hợp sau:  TH1: Tổ gồm 3 nữ và 2 nam, trường hợp này có 3 2 6 8.C C cách chọn;  TH2: Tổ gồm 2 nữ và 3 nam, trường hợp này có 2 3 6 8.C C cách chọn;  TH3: Tổ gồm 1 nữ và 4 nam, trường hợp này có 1 4 6 8.C C cách chọn;  TH4: Tổ gồm 0 nữ và 5 nam, trường hợp này có 0 5 6 8.C C cách chọn. Vậy số cách lập tổ là 3 2 6 8.C C  2 3 6 8.C C  1 4 6 8.C C  0 5 6 8.C C cách chọn. Ví dụ 2: Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách, nếu: a) Nam và nữ được xếp tùy ý. b) Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế. Giải a) Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế một cách tùy ý là một hoán vị của 10 người  có 10! cách xếp. b) Chọn 1 dãy để xếp nam ngồi có 2 cách; xếp 5 nam vào dãy ghế đã chọn có 5! cách; xếp 5 nữ vào dãy ghế còn lại có 5! cách  có tất cả 2.5!.5! cách xếp. Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 3 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 5 quyển sách Hóa vào 1 kệ dài biết rằng các quyển sách khác nhau từng đôi một và các sách cùng môn được xếp kề nhau ? Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 2 Giải Sắp xếp 3 quyển sách Toán: có 3! cách; Sắp xếp 4 quyển sách Lí: có 4! cách; Sắp xếp 5 quyển sách Hóa: có 5! cách; Số cách xếp ba nhóm sách lên kệ: có 3! cách. Vậy có tất cả : 3!.4!.5!.3! cách sắp xếp. Ví dụ 4: (TSĐH khối B-2004) Trong một môn học , thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồn 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu này vó thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải đủ 3 loại câu và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. Giải Ta có bảng phân chia các trường hợp sau Trường hợp Câu dễ (15) Câu trung bình (10) Câu khó  5 Số cách chọn 1 2 2 1 2 2 115 10 5 23625C C C  2 2 1 2 2 1 215 10 5 1050C C C  3 3 1 1 3 1 115 10 5 22750C C C  Kết quả 56875 Vậy có : 56875 cách . Bài tập 1. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt mà: a) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau. b) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau. Hướng dẫn và đáp số: a) Đặt 024; 042; 204; 240; 420; 402a b c d e f      . Từ { ;1;3;5}a ta lập được 3.3! 18 số; Từ { ;1;3;5}b ta lập được 3.3! 18 số; Từ { ;1;3;5}c ta lập được 4! 24 số; Từ { ;1;3;5}d ta lập được 4! 24 số; Từ { ;1;3;5}e ta lập được 4! 24 số; Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 3 Từ { ;1;3;5}f ta lập được 4! 24 số. Vậy ta có tất cả là 2.18 4.4! 132  số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn ở cạnh nhau. b) Gọi số cần lập là 1 2 3 4 5 6a a a a a a . Ta có các trường hợp sau:  TH1: 1 2 3; ;a a a là số chẵn, ba số sau là các số lẻ:  1a có 2 cách chọn;  2 3a a có 2! cách chọn;  4 5 6a a a có 3! cách chọn.  có 2.2!.3! 24 số.  TH2: 1 2 3; ;a a a là số lẻ, ba số sau là các số chẵn:  1 2 3a a a có 3! cách chọn;  4 5 6a a a có 3! cách chọn.  có 3!.3! 36 số. Vậy ta có tất cả 24 36 60  số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt ? Tính tổng các số này. Đáp số: 5! 120 số và có tổng là 3999960. 3. Tính tổng của các số có 4 chữ số phân biệt. Hướng dẫn và đáp số: Gọi A là tập các số lập được. Trong đó:  Có 3 9A số có dạng 0abc , 2 88A số có dạng 2 81,...,8Aabc số có dạng 9abc  tổng các chữ số ở hàng đơn vị trong các số thuộc A là: 2 0 88 (1 2 ... 8 9) 20160S A      (đơn vị).  Có 3 9A số có dạng 0ab d , 2 88A số có dạng 2 81 ,...,8Aab d số có dạng 9ab d  tổng các chữ số ở hàng chục trong các số thuộc A là: 2 1 88 (1 2 ... 8 9) 20160S A      (chục).  Có 3 9A số có dạng 0a cd , 2 88A số có dạng 2 81 ,...,8Aa cd số có dạng 9a cd  tổng các chữ số ở hàng trăm trong các số thuộc A là: 2 2 88 (1 2 ... 8 9) 20160S A      (trăm). Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 4  Có 3 9A số có dạng 1bcd 3 9,... ...,A số có dạng 9bcd  tổng các chữ số ở hàng ngàn trong các số thuộc A là: 3 3 9 (1 2 ... 8 9) 22680S A      (ngàn). Vậy tổng cần tìm là: 3 222680.10 20160.(10 10 1) 24917760    . 4. Có 10 học sinh lớp 10 và 10 học sinh lớp 12 xếp vào 4 dãy ghế, mỗi dãy 5 học sinh. Có bao nhiêu cách xếp nếu các học sinh cùng lớp ngồi nối đuôi nhau, các học sinh ngồi cạnh nhau thì khác lớp ? Hướng dẫn và đáp số:  TH1: Xếp học sinh lớp 10 vào dãy 1 và dãy 3 và học sinh lớp 12 vào dãy 2 và dãy 4 :  Số cách xếp học sinh lớp 10 là 10! ;  Số cách xếp học sinh lớp 12 là 10! . Vậy trường hợp này có 2(10!) cách.  TH2: Tương tự, xếp học sinh lớp 10 vào dãy 2 và dãy 4 , học sinh lớp 12 vào dãy 1 và dãy 3 , ta cũng có 2(10!) cách. Vậy tất cả có 22.(10) cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài toán 2: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp. Phương pháp: Ví dụ 1: Giả phương trình 1 2 3 26 6 9 14x x xC C C x     1 Giải Điều kiện : 3 .x N  Phương trình         2! ! !1 6. 6. 9 14 1 ! 2! 2 ! 3! 3 ! x x x x x x x x              2 3 2 0 3 1 1 2 9 14 9 14 0 2 7 7 x x x x x x x x x x x x x x x                     . Vậy 2x  . Ví dụ 2: 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 5 Tìm ,x y  để : 1 1 1 6 5 2 y y y x x xC C C       2 Giải Điều kiện: 1 1 y x y     Ta có:         1 1 1 !1 1 ! . . 6 5 6 ! 1 ! 5 1 ! 1 ! y y x x xC C x y x y y x y                 5 1 1 6 1x y x y x y       . Mặt khác :         1 1 1 ! 1 ! . . 5 2 5 1 ! 1 ! 2 1 ! 1 ! y y x xC C x x y x y y x y                2 1 5 1x y x y y y      . Hệ phương trình  2                      5 1 1 6 1 5 1 1 3.5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 x y x y x y x y y y x y x y y y x y x y y y                            2 3 1 8 33 9 x y x yy y          . Vậy 8 . 3 x y    Bài tập Giải các phương trình, hệ phương trình và bất phương trình sau: 1. 4 3 2 1 1 2 5 0 4 n n nC C A     ; Đáp số: 11.n  2. 5 6 7 5 2 14 x x xC C C   ; Đáp số: 11x  . 3. 2 2. 72 6( 2 )x x x xP A A P   ; Đáp số: 3; 4.x x  4. 2 2 4 28 2411 225 n nC C  ; Đáp số: 7.n  5. 2 2 153 y y x x x C C C     ; Đáp số: 18 8 x y    6. 2 2 3 2 1 6 10 2 x x xA A C x    . Đáp số 3; 4.x x  7. Giải hệ phương trình 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C       với ,x y . Đáp số: 5, 2x y  .