Bài giảng số 2: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 1 BÀI GIẢNG SỐ 2. HOÁN VỊ , CHỈNH HỢP, TỔ HỢP ....PHẦN 1.... Bài giảng số 2 giúp chúng ta hiểu được các khái niện cơ bản như hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và vận dụng các khái niện đó để giải quyết một số bài toán thường gặp. Bài toán 1: Hoán vị Phương pháp:  Khi giải bài toán chọn một tập X có n phần tử, ta dùng hoán vị nếu có hai dấu hiệu sau:  Dấu hiệu 1: Chọn hết các phần tử của tập hợp X.  Dấu hiệu 2: Có sắp thứ tự các phần tử.  Số hoán vị  ! ( 1) 2 ...3.2.1nP n n n n    . Ví dụ 1: Có 6 bài toán Đại số, 5 bài Hình học và 4 bài Lượng giác. Từ các bài toán trên có bao nhiêu cách tạo một đề kiểm tra gồm 3 bài toán: 1 bài Đại số, 1 bài Hình học và 1 bài Lượng giác. Giải Để tạo một đề kiểm tra ta thực hiện các bước sau:  Bước 1: chọn 1 bài Đại số: có 6 cách;  Bước 2: chọn 1 bài Hình học: có 5 cách;  Bước 3: chọn 1 bài Lượng giác: có 4 cách; Vậy có 6.5.4 120 cách tạo ra một đề kiểm tra. Ví dụ 2: Cho tập hợp  1;2;3;4;5;6;7E  a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập hợp E? b) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ só phân biệt, hình thành từ tập hợp E và bắt đầu bằng số 123? Giải a) Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập hợp E ứng với chỉ một hoán vị của 7 phần tử thuộc tập hợp E và ngược lại. Vậy số các số phải tìm bằng 7 7! 5040P   số. b) Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập hợp E, bắt đầu bằng 123, ứng với chỉ 1 hoán vị của 4 chữ số  4,5,6,7 . Vậy số các số phải tìm bằng 4 4! 24P   số. Bài tập Bài 1. Cho tập hợp  1;2;3;4;5;6;7E  . Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập hợp E trong đó các chữ số 3,4,5 đứng cạnh nhau? Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 2 Đáp số: 5 5! 120P   số. Bài 2. Một đoàn khách du lịc đến 10 địa điểm của Thanh Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách tham gia Đáp số: 10 10! 3628800P   cách. Bài 3. a) Có bao nhiêu cách xếp 4 người ngồi thành một bàn hình chữ U. Đáp số: 4! 24 cách. b) Có bao nhiêu cách xếp 4 người ngồi thành một bàn hình tròn. Đáp số: 4 4! 24 4 P   cách. Bài toán 2: Chỉnh hợp Phương pháp:  Khi giải bài toán chọn một tập X có n phần tử, ta dùng chỉnh hợp nếu có hai dấu hiệu sau:  Dấu hiệu 1: Chỉ chọn k phần tử của tập hợp X  1 k n  .  Dấu hiệu 2: Có sắp thứ tự các phần tử đã cho.  Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử   ! . ! k n n A n k   Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ của một đội bóng quần vợt để chơi 4 trận đấu đơn, các trận đấu thứ tự. Giải Mỗi cách chọn có thứ tự 4 cầu thủ của đội bóng là một chỉnh hợp cập 4 của 10 phần tử. Vậy số cách chọn là: 410 5040A  cách chọn. Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt sao cho 1,2,3 luôn đứng cạnh nhau. Giải Gọi a là số gồm ba chữ số khác nhau lập từ các số 1,2,3 . Ta có 3! số a . Với mỗi số a , ta xét tập hợp { ;0;4;5;6;7;8;9}A a . Số thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng là M xyz trong đó , ,x y z phân biệt lấy từ A và luôn có mặt số a . Ta có các trường hợp sau:  Nếu x a thì yz có 2 7A cách chọn  có 2 7A số M ;  Nếu y a thì x có 6 cách chọn và z có 6 cách chọn có 6.6 36 số M ;  Nếu z a thì x có 6 cách chọn và y có 6 cách chọn  có 6.6 36 số M . Do đó từ A ta lập được 2 7 36.2 114A   số M . Vậy số tất cả các số lập được là 3!.114 684 số. Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 3 Bài tập 1. Xếp 4 nam và 3 nữ vào 9 ghế sao cho 3 ghế đầu tiên là nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp ? Hướng dẫn và đáp số: Chọn 3 nam xếp vào 3 ghế đầu tiên: có 3 4A cách; Chọn 4 ghế trong 6 ghế còn lại xếp 1 nam và 3 nữ vào có 46A cách. Vậy ta có tất cả là 3 4 4 6.A A cách sắp xếp. 2. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ 6 chữ số 1,3,4,5,7,8 . Hướng dẫn và đáp số: Từ 6 chữ số trên ta lập được 5 6 720A  số có 5 chữ số khác nhau. Ta có:  Số có dạng 1abcd : có 4 5A số;  Số có dạng 3abcd : có 4 5A số;  Số có dạng 4abcd : có 4 5A số;  Số có dạng 5abcd : có 4 5A số;  Số có dạng 7abcd : có 4 5A số;  Số có dạng 8abcd : có 4 5A số;  tổng các chữ số ở hàng đơn vị của 720 số trên là: 4 5(1 3 4 5 7 8) 3360A      . Tương tự ta cũng có:  Tổng các chữ số ở hàng chục của 720 số trên là: 4 5(1 3 4 5 7 8) 3360A      .  Tổng các chữ số ở hàng trăm của 720 số trên là: 4 5(1 3 4 5 7 8) 3360A      .  Tổng các chữ số ở hàng ngàn của 720 số trên là: 4 5(1 3 4 5 7 8) 3360A      .  Tổng các chữ số ở hàng chục ngàn của 720 số trên là: 4 5(1 3 4 5 7 8) 3360A      . Vậy tổng của 720 số lập được là: 2 3 43360(1 10 10 10 10 ) 37332960S       Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 4 Bài toán 3: Tổ hợp Phương pháp:  Khi giải bài toán chọn một tập X có n phần tử, ta dùng chỉnh hợp nếu có hai dấu hiệu sau:  Dấu hiệu 1: Chỉ chọn k phần tử của tập hợp X  1 k n  .  Dấu hiệu 2: Không sắp thứ tự các phần tử đã cho.  Số các tổ hợp chập k của n phần tử   ! . ! ! k n n C k n k   Ví dụ 1: Một tổ có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 7 người trong đó có 2 nữ. Giải Ta thực hiện theo các bước sau Bước 1: Chọn 5 hs nam từ 8 hs nam có 58C cách. Bước 2: Chọn 2 hs nam từ 4 hs nam có 24C cách. Vậy có : 5 28 4 336C C  cách lập. Ví dụ 2: Có bao nhiêu đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh. Giải Ta có  Mỗi đa giác lồi có n cạnh thì có n đỉnh.  Mỗi đoạn thẳng nối hai đỉnh bất kì, không kể thứ tự thì hoặc là một cạnh, hoặc là một đường chéo của đa giác đó. Vậy số đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh là 2 .nC n Bài tập 1. Có bao nhiêu cách chia 6 học sinh làm 3 nhóm để làm 3 công việc khác nhau, mỗi nhóm 2 học sinh ? Hướng dẫn và đáp số: 2 2 2 6 4 2C C C . 2. Xếp 15 cái bánh phân biệt vào 3 hộp giống nhau, mỗi hộp5 bánh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp ? Hướng dẫn và đáp số: Xem ba hộp là khác nhau ta có:  Lấy 5 bánh bỏ vào hộp 1 có 5 15C cách;  Lấy 5 bánh bỏ vào hộp 2 có 5 10C cách;  Lấy 5 bánh bỏ vào hộp 3 có 5 5C cách; Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 5  có 5 5 515 10 5. .C C C cách xếp. Vì các hộp như nhau nên số cách xếp bánh là: 5 5 5 15 10 5. . 3! C C C cách. 3. Có bao nhiêu cách xếp 5 bi trắng, 4 bi đen thành một dãy sao cho các bi đen không đứng cạnh nhau, nếu: a) Các bi cùng màu giống nhau. b) Các bi cùng màu khác nhau. Hướng dẫn và đáp số: a) 4 6C ; b) 4 6 .4!.5!C . 4. Có 10 bông trắng, 8 bông hồng. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 bông sao cho có ít nhất 2 trắng, 3 hồng ? Hướng dẫn và đáp số: 2 4 3 3 10 8 10 8C C C C . 5. Có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng và tất cả các viên bi đều phân biệt. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bi không đủ 3 màu ? Hướng dẫn và đáp số: Cách 1: 4 2 1 1 2 1 1 2 1 1 15 4 5 6 5 4 6 6 4 5( . . . . . . ) 645C C C C C C C C C C    ; Cách 2: 4 4 4 4 4 4 9 11 10 4 5 6 645C C C C C C      . 6. Có 6 trái xoài, 4 trái mít, 2 trái ổi. Chọn ra 6 trái. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Mỗi loại có đúng 2 trái. b) Mỗi loại có ít nhất 1 trái. Hướng dẫn và đáp số: a) 2 2 2 6 4 2. . 90C C C  . b) Cách 1: 6 6 6 6 12 10 8 6( 1)C C C C    ; Cách 2: 1 1 4 1 2 3 1 3 2 1 4 1 2 1 3 2 2 2 2 3 1 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6. . . . . . . . . . . . . .C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C      .