Bài giảng số 1: Hai quy tắc đếm cơ bản

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 1 BÀI GIẢNG SỐ 1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Ở bài giảng này chúng ta sẽ được tìm hiểu về hai quy tắc cơ bản trong đại số tổ hợp đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân. Bài toán 1: Sử dụng quy tắc cộng để giải bài toán đếm Phương pháp:  Phân tích công việc cần giải quyết thành k phương án độc lập với nhau: A1, A2,,Ak.  Xác định A1 có n1 cách khác nhau A2 có n2 cách khác nhau Ak có nk cách khác nhau.  Khi đó, ta có n1 + n2 + + nk cách hoàn thành công việc Ví dụ 1: Lớp 10A có 30 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách để chọn một học sinh trong lớp làm lớp trưởng? Giải Công việc chọn lớp trưởng có hai phương án: chọn một nam học sinh hoặc một nữ học sinh làm lớp trưởng. Chọn học sinh nam làm lớp trưởng có 30 cách chọn Chọn học sinh nữ làm lớp trưởng có 10 cách chọn Khi đó, theo quy tắc cộng ta có 30 + 10 = 40 cách để chọn một học sinh trong lớp làm lớp trưởng. Ví dụ 2: Trong một hội nghị có n người tham dự, biết rằng người đến sau đều bắt tay lần lượt với người đến trước (không có người nào đến cùng một lúc). Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay trong hội nghị? (hai người bắt tay tính một lần) Giải Nhận xét: Người đến thứ k sẽ bắt tay với (k – 1) người đến trước. Việc bắt tay được thực hiện bởi các lượt bắt tay của người đến thứ nhất cho đến người đến thứ n. Lúc đến: Người thứ nhất có 0 cái bắt tay. Người thứ hai có 1 cái bắt tay với người thứ nhất Người thứ n có n – 1 cái bắt tay với người thứ nhất cho đến người thứ n – 1. Khi đó, có 0 + 1 + 2 ++ (n – 1) = ( 1) 2 n n  cái bắt tay trong hội nghị. Ví dụ 3: Một câu lạc bộ ngoại ngữ có: 73 thành viên đăng kí học tiếng Anh, 56 thành viên đăng kí học tiếng Pháp, 20 thành viên đăng kí học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Hỏi câu lạc bộ có bao nhiêu thành viên biết rằng câu lạc bộ chỉ tổ chức học Tiếng Anh và tiếng Pháp? Giải Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 2 Ta chia thành viên câu lạc bộ gồm 3 nhóm độc lập: + Nhóm I chỉ đăng kí học tiếng Anh: 73 – 20 = 53 (thành viên) + Nhóm II chỉ đăng kí học tiếng Pháp: 56 – 20 = 36 (thành viên) + Nhóm III đăng kí học cả tiếng Anh và tiếng Đức: 20 (thành viên) Khi đó, theo quy tắc cộng câu lạc bộ có: 53 + 36 + 20 = 109 thành viên. Bài tập Bài 1. Có năm viên bi màu trắng đánh số từ 1 đến 5, ba viên vi màu đỏ đánh số từ 6 đến 8 và bốn viên bi màu vàng đánh số từ 9 đến 13. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một trong số các viên bi đó. Đáp số: 13 cách chọn. Bài 2. Đội tuyển thi học sinh giỏi môn Toán và Văn khối 6 của một trường THCS gồm có 24 em, trong đó có 15 em thi môn Toán và 18 em thi môn Văn. Hỏi trong đội tuyển có bao nhiêu em thi học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn? Đáp số: 9 học sinh. Bài 3. Từ các số 1 đến 15 có bao nhiêu cách chọn một số là số lẻ hoặc là số nguyên tố? Đáp số: 9 số Bài toán 2: Sử dụng qui tắc nhân để giải bài toán đếm Phương pháp:  Phân tích công việc cần giải quyết thành k công việc nhỏ liên tiếp: A1, A2,,Ak.  Xác định A1 có n1 cách khác nhau. Ứng với mỗi cách thực hiện A1, A2 có n2 cách khác nhau Ứng với mỗi cách thực hiện A1,..,An – 1 thì Ak có nk cách khác nhau.  Khi đó, ta có n1.n2. . nk cách để hoàn thành công việc. Ví dụ 1: Có 13 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách để thành lập một cặp song ca gồm một em nam và một em nữ? Giải Để chọn cặp song ca nam – nữ ta cần phải tiến hành đồng thời 2 công việc: chọn một nam học sinh và một nữ học sinh. Việc chọn một nam học sinh có 13 cách chọn khác nhau. Ứng với việc chọn một nam học sinh ta có 5 cách chọn một học sinh nữ. Vậy, theo quy tắc nhân ta có 13.5 = 65 cách chọn một cặp song ca nam – nữ. Ví dụ 2: Cho tập hợp {1;2;3;5;6}A . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Có 3 chữ số (không nhất thiết khác nhau)? b) Có 3 chữ số khác nhau? Giải Gọi số tự nhiên cần tìm là abc a) Có 4 chữ số khác nhau a được chọn từ tập A mà tập A có 5 phần tử nên có 5 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn a thì b được chọn từ tập A có 5 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn a, b thì c được chọn từ tập A có 5 cách chọn. Khi đó, theo quy tắc nhân ta có: 5.5.5 = 125 số. b) Có 4 chữ số khác nhau Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 3 a được chọn từ tập A nên a có 5 cách chọn Ứng với mỗi cách chọn a thì b được chọn từ tập \{a}A nên có b có 4 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn a, b thì c được chọn từ tập \{a;b}A nên có c có 3 cách chọn. Khi đó, theo quy tắc nhân ta có: 5.4.3 = 60 số. Ví dụ 3: Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1 đến 9? Giải Gọi {1;...;9}A Một số có 5 chữ số được lập từ các phần tử của A có dạng abcde với , , , , a b c d e A e được chọn từ A mà e phải là chữ số chẵn nên e có 4 cách chọn. Ứng với với mỗi cách chọn e thì a được chọn từ tập A\{e} nên a có 8 cách chọn Ứng với với mỗi cách chọn e, a thì b được chọn từ tập A\{e;a} nên b có 7 cách chọn Ứng với với mỗi cách chọn e, a, b thì c được chọn từ tập A\{e; a; b} nên c có 6 cách chọn Ứng với với mỗi cách chọn e, a, b, c thì d được chọn từ tập A\{e; a; b; c} nên d có 5 cách chọn Khi đó, theo quy tắc nhân ta có 4.8.7.6 = 1344 số. Bài tập Bài 1. Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 2 điệu múa và 5 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội phải trình diễn 3 tiết mục. Hỏi đội văn nghệ có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn nếu: a) 3 tiết mục không yêu cầu khác loại? b) 3 tiết mục yêu cầu khác loại? Đáp Số: a) 9.8.7 = 504 cách chọn b) 2.2.5 = 20 cách chọn. Bài 2. Có 6 đường tẳng cắt nhau tại một điểm. Hỏi 6 đường thẳng đó tạo thành bao nhiêu góc? Hướng dẫn và Đáp số: Nhận xét: 6 đường thẳng đồng quy tạo thành 12 tia chung gốc. Một góc được tạo thành bởi 2 tia chung gốc. Do mỗi góc được tính hai lần nên số góc được tạo thành là 12.11 66. 2  Bài 3. Trên một đường tròn có n điểm phân biệt. a) Hỏi có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 trong số các điểm nói trên. b) Hỏi có bao nhiêu tạo được bao nhiêu tam giác từ n điểm trên. Đáp số: a) ( 1) 2 n n  đường thẳng . b) ( 1)( 2) 6 n n n  tam giác. Bài 4. Vòng đấu loại của một giải bóng đá diễn ra tất cả 182 trận đấu. Hỏi có bao nhiêu đội tham gia tranh giải biết rằng cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (lượt đi và lượt về). Đáp số: 14 đội. Bài 5. a) Có bao nhiêu số tự nhiên tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? Hướng dẫn và Đáp số: a) 4.5 = 20 số b) 90000 số. Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 4 Bài 6. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt. Đáp số: 9.9.8.7.6 27216 số. Bài toán 3: Kết hợp qui tắc cộng và qui tắc nhân để giải bài toán đếm. Ví dụ 1: Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 100 được tạo thành từ A={0,2,4,5,7,8,9}? Giải Các số tự nhiên bé hơn 100 gồm số có một chữ số hoặc số có hai chữ số. TH1: Có 7 số tự nhiên có một chữ số. TH2: Giả sử số tự nhiên có hai chữ số có dạng ab với a A b A và 0a a được chọn từ A={0,2,4,5,7,8,9} nên a có 6 cách chọn Ứng với mỗi cách chọn a, b được chọn từ A\{ }a nên b có 6 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có: 6.6 = 36 cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng ta có: 7 + 36 = 43 số. Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu có 3 chữ số khác, có bao nhiêu bé hơn 345 Giải Gọi số càn lập là abc , vì 345abc nên ta có các trường hợp: TH1: 3a a có thể là 1 hoặc 2 nên có 2 cách chọn a. b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn Có 2.5.4 = 40 số TH2: a = 3 vì 3 345bc Nếu b = {1,2} thì b có 2 cách chọn, c có 4 cách chọn. Có 1.2.4 = 8 số Nếu b = 4 thì có hai cách chọn c => có 2 số. Có 2 + 8 số Vậy có 10 + 40 = 50 số. Ví dụ 3: Một lớp học có 9 và 5 nữ, giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm 3 em để đi họp chi đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Chọn tùy ý? b) Trong 3 học sinh được chọn có đúng một học sinh nữ? c) Trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ? Giải a) Một nhóm 3 em tùy ý được tạo thành bằng cách chọn từng em một. Học sinh thứ nhất có 14 cách chọn Học sinh thứ 2 được chọn từ 13 em còn lại nên có 13 cách chọn Học sinh thứ 3 được chọn từ 12 em còn lại nên có 12 cách chọn Do mỗi nhóm như vậy được tính 6 lần nên có (14.13.12) : 6 = 364 cách chọn b) Một nhóm 3 em có đúng một nữ dược chọn bằng cách chọn một nữ và hai nam Học sinh nữ được chọn từ 5 em nên có 5 cách chọn Học sinh nam thứ nhất được chọn từ 9 em nam nên có 9 cách chọn Học sinh nam thứ hai được chọn từ 8 em nam còn lại nên có 8 cách chọn Mỗi nhóm chọn như vậy được tính hai lần nên có (5.9.8) : 2 = 180 cách chọn Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 5 c) Cách chọn nhóm tùy ý bao gồm cách chọn nhóm không có học sinh nữ nào và cách chọn nhóm có ít nhất một em nữ. Để chọn nhóm không có học sinh nữ ta có (9.8.7) : 6 = 84cách chọn Vậy nhóm 3 em có ít nhất một học sinh nữ có 364 – 84 = 280 cách chọn. Ví dụ 4 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Giải Gọi x abcde là số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. TH1: 0e  :  a có 9 cách chọn;  b có 8 cách chọn;  c có 7 cách chọn;  d có 6 cách chọn;  lập được 9.8.7.6 3024 số. TH2: 0e  :  e có 4 cách chọn;  a có 8 cách chọn;  b có 8 cách chọn;  c có 7 cách chọn;  d có 6 cách chọn;  lập được 4.8.8.7.6 10752 số. Vậy ta có thể lập được 3024 10572 13776  số. Bài tập Bài 1. Người ta muốn thành lập một tổ công tác gồm 3 nữ và 4 nam từ 10 nữ và 7 nam trong công ty. a) Có bao nhiêu cách thành lập tổ? b) Có bao nhiêu cách thành lập tổ mà A và B không cùng một tổ? Đáp Số: a) 4200 cách thành lập tổ ;b) 3480 cách Bài 2. Có một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 3 quả cầu màu xanh. Lấy từ trong hộp 3 quả cầu a) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có hai quả càu màu đỏ? b) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu đỏ? c) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có ít nhất 1 quả cầu đỏ? Đáp số: a) 63 cách ;b) 85 cách ;c)119 cách. Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 6 Bài 3. Một đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Đáp số:225 cách chọn Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có: a) 5 chữ số mà cả 5 chữ số đều là chẵn? b) 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau (số có dạng abcba ) ? Đáp Số: a) có 44.5 2500 số; b) 29.10 900 số.