Bài giảng môn Toán lớp 7 - Phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc cao

Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC CAO I. Tóm tắt lí thuyết Trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác, ta thường gặp các dạng bài mà các hàm sin ,cos , tan ,cotx x x x có bậc 3 trở lên. Để giải quyết các dạng bài toán này, ta cần ghi nhớ một số công thức hạ bậc cao sau: 1. Công thức hạ bậc ba   3 1 sin 3sin sin 3 . 4 x x x    3 1 os 3cos os3 . 4 c x x c x   3 3sin sin3 tan . 3cos os3 x x x x c x     3 3cos os3 cot . 3sin sin3 x c x x x x    2. Công thức hạ bậc dạng sin os .n nx c x  4 4 2 1 sin os 1 sin 2 . 2 x c x x    6 6 2 3 sin os 1 sin 2 . 4 x c x x    4 4os sin os2 .c x x c x   6 6 2 1 os sin os2 1 sin 2 . 4 c x x c x x          3. Một số công thức hạ bậc mở rộng tổng quát    1 2 2 22 1 2 1 1 os os2 . 2 2 n n k n n nn n k o c x C c n k x C         2 1 2 12 1 os os 2 2 1 . 2 n n k nn k o c x C c n k x             1 2 2 22 1 2 1 1 sin 1 os2 . 2 2 n n kn k n n nn n k o x C c n k x C               2 1 2 12 1 sin 1 sin 2 2 1 . 2 n n kn k nn k o x C n k x        Nhận xét: Nhờ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba, công thức góc mở rộng, và qua các biến đổi, ta nhận được công thức hạ bậc cao như ở trên. II. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác 3 3 2 os . os3 sin .sin3 . 4 c x c x x x  Giải Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 2       2 2 3 3 3 3cos os3 3sin sin 3 2 os3 4 4 4 3cos3 cos 3sin 3 sin os 3 sin 3 2 3 cos3 cos sin 3 sin os6 2 3cos 2 os6 2 4cos 2 2 2 1 os 2 4 2 1 os2 os 42 . 8 x c x x x PT c x x x x x c x x x x x x c x x c x x c x c x c x k k                                  Vậỵ phương trình đã cho có nghiệm là   . 8 x k k      Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác 3 3 3os cos3 sin sin3 os 4 .c x x x x c x  Giải       3 2 2 3 3 3 3 3 3 3cos os3 3sin sin 3 os3 sin 3 os 4 lim 4 4 1 3 os 3 sin 3 os3 cos sin 3 sin os 4 4 4 1 3 os6 os2 os 4 4 4 1 3 4cos 2 3cos 2 os2 os 4 4 4 os 2 os 4 os4 os2 4 2 2 4 2 2 x x c x x x PT c x x c x c x x c x x x x c x c x c x c x x x c x c x c x c x c x c x x x k x x k                                  . 3 k x k     Vậy phương trình đã cho có nghiệm là   . 3 k x k    Ví dụ 3. Giải phương trình lượng giác 4 4 1 sin os . 4 4 x c x         Giải Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 3       2 2 2 2 1 os 2 1 os2 12 2 2 4 1 os2 1 sin 2 1 sin 2 os2 1 2 os 2 1 4 1 os 2 os 4 42 2 2 4 4 . 2 2 4 4 4 c x c x PT c x x x c x c x c x c x kx k k x k x k                                                                           Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  , . 4 x k x k k       Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác 6 6 2 1 sin os os 2 . 16 x c x c x   Giải   2 2 2 2 2 3 1 1 sin 2 os 2 4 16 3 1 1 sin 2 1 sin 2 4 16 4sin 2 1 1 os4 4 1 2 2 2cos 4 1 1 os4 os 2 3 4 2 3 2 . 12 4 2 3 PT x c x x x x c x x c x c x k x k k x k                                              Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  2 . 12 x k k      Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 4 Ví dụ 5. Giải phương trình lượng giác 8 8 2 17 sin os os 2 . 16 x c x c x  Giải     4 4 2 4 4 2 1 os4 1 os4 17 os 2 2 2 16 os2 1 os2 1 17cos 2 . c x c x PT c x c x c x x                     Đặt os2 , 1.t c x t  Khi đó, phương trình trở thành         4 4 2 4 3 2 4 3 2 2 4 2 2 1 1 17 4 6 4 1 4 6 4 1 17 2 5 2 0 1 2 t t t t t t t t t t t t t t t                      Từ đó ta có   2 1 1 os4 1 os 2 2 2 2 os4 0 4 2 . 8 4 c x c x c x x k k x k                  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :   . 8 4 k x k      Ví dụ 6. Giải phương trình lượng giác  6 62 sin os sin cos 0. 2 2sin x c x x x x     Giải Điều kiện : 1 sin . 2 x  Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 5   2 2 3 1 2 1 sin 2 sin 2 0 4 2 3sin 2 sin 2 4 0 sin 2 1 4 sin 2 3 sin 2 1 . 4 PT x x x x x x x x k k                            Kết hợp với điều kiện, ta có   5 2 . 4 x k k     Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :   5 2 . 4 x k k     III. Bài tập tự luyện Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a. 3 3 3cos sin3 sin cos3 sin 4x x x x x  . b. 3 34sin sin3 4sin cos3 3 3 os4 3.x x x x c x   c. 3 3 3 1 os cos3 sin sin3 os 4 . 4 c x x x x c x   Đ/S: a).   . 12 k x k    b).  ; . 24 2 8 2 k k x x k           c).   . 24 2 k x k      Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau a.    2 4 22sin 4sin 1 os2 7cos 2 3cos2 4 .x x c x x x    b. 4 4 4sin 2 os 2 os 4 . tan tan 4 4 x c x c x x x                  c. 8 8 17 sin os . 32 x c x  d. 8 8 1 sin 2 os 2 . 8 x c x  Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 6 Đ/S: a).  ; . 4 6 2 k x k x k          b).   . 2 k x k    c).   . 8 4 k x k      d).   . 8 4 k x k      Bài 3. Cho    6 4 2 23cos 2 sin 2 os4 ; 2cos 2 . 1 3cos 2 .f x x x c x m g x x x      Tìm m để phương trình    f x g x có nghiệm? Đ/S: 1 0.m   Bài 4. Tìm m để phương trình   44sin 1 sinx x m   có nghiệm? Đ/S: 1 ;17 . 8 m       Bài 5. Xác định a để phương trình 6 6sin os sin 2x c x a x  có nghiệm? Đ/S: 1 . 4 a  