Bài giảng môn toán lớp 7 - Hệ thức lượng trong tam giác

Ban Toán - 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC -----Phần 1----- I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho tam giác ABC có  a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của các góc A, B, C.  R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  S là diện tích tam giác ABC. Khi đó :  2 sin sin sin a b c R A B C     2 2 2 2 22 cos 4 cota b c bc A b c S A       2 2 2 2 22 cos 4 cotb a c ac B a c S B       2 2 2 2 22 cos 4 cotc b a ab C b a S C      Ví dụ 1. Cho tam giác ABC chứng minh rằng 2 22A B a b bc    Giải Cách 1. Ta có         2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 sin 4 sin sin sin sin sin sin 1 1 1 cos 2 1 cos 2 sin sin 2 2 cos 2 cos 2 2sin sin 2sin sin 2sin sin a b bc R A R B R B C A B C B A B B C B A B C B A B A B C                         sin sin sin sinA B A B B C    ( Do  sin sin 0).A B C         sin .sin sin sin sin sin 2 2B. C A B B C A B B A BA B B A A loaiA B B                  Cách 2. Ta có : 2 2 2 2 2 2 24 sin 4 sin 4 sin sina b bc R A R B R B C     Ban Toán - 2 2 2sin sin sin sinA B C B     sin sin sin sin sin .sinA B A B B C    2cos .sin .2sin .cos sin sin 2 2 2 2 A B A B A B A B B C             sin .sin sin sin sin .sin sin .sin A B A B B C C A B B C         sin sinA B B   ( Do  sin sin 0).A B C     2 2B. A BA B B A A loaiA B B            Ví dụ 2. Chứng minh rằng :   2 2 2 sin sin A B a b C c    Giải Ta có :  2 2 22 2 2 2 2 4 sin sin 4 sin R A Ba b c R C           2 2 2 2 2 2 1 1 1 cos 2 1 cos 2 sin sin 2 2 sin sin 2sin sincos 2 cos 2 2sin 2sin A B A B C C A B B AB A C C                  2 2sin sin sin 2sin sin A B A B A B C C      ( Do  sin sin 0).A B C   Ví dụ 3. Cho tam giác ABC chứng minh  2 2 2 cot cot cot . R a b c A B C abc      Giải Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot ;cot ;cot . 4 4 4 b c a a c b b a c A B C S S S          Do đó Ban Toán - 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot cot cot 4 4 4 . 4 4 b c a a c b b a c A B C S S S a b c a b c R abc abc R                  Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, chứng minh nếu cot , cot , cotA B C tạo thành cấp số cộng thì 2 2 2, ,a b c cũng là cấp số cộng Giải Ta có cot , cot , cotA B C tạo thành cấp số cộng nên có cot cot 2cot .A C B  Cách 1. Ta có :     2sin 2cos* sin 2sin sin cos sin sin sin A C B B A C B A C B           2sin cos cos cosB A C A C A C                     2 2 2 2 sin cos cos cos 1 sin cos cos 2 cos 2 2 B A C A C A C B B A C                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1 2sin 1 2sin 2 2sin sin sin 2 4 4 4 2 B B A C B A C b a c R R R b a c                   2 2 2, ,a b c là cấp số cộng Cách 2. Ta có : 2 2 2 2 cosa b c bc A   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 sin cot 2 4 cot cot . 4 a b c bc A A a b c S A b c a A S                   Tương tự ta cũng có : Ban Toán - 4 2 2 2 2 2 2 cot ; cot . 4 4 a c b a b c B C S S       Do đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 b c a a b c a c b S S S         2 2 22 .b a c   Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có 2 2 2sin sin 2sin .B C A  Chứng minh rằng 060 .A Giải Ta có 2 2 2sin sin 2sinB C A    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . * 4 4 4 b c a b c a R R R       Do định lý hàm cosin nên ta có  2 2 2 22 2 2 2 cos 2 4 b c b cb c a A bc bc         2 2 2 1 4 4 2 b c bc Cauchy bc bc     Vậy 060 .A Ví dụ 6. Cho tam giác ABC biết 1 tan . tan . 2 2 3 A B  Chứng minh 2 .a b c  Giải Cách 1. Ta có 1 tan .tan 3sin sin cos .cos 2 2 3 2 2 2 2 2sin sin cos .cos sin sin 2 2 2 2 2 2 A B A B A B A B A B A B       cos cos cos 2 2 2 A B A B A B            cos 2cos * 2 2 A B A B    Mặt khác :  2 sin sina b R A B   Ban Toán - 5     4 sin .cos 2 2 8 sin .cos (*) 2 2 4 sin 4 sin 2 . A B A B R A B A B R do R A B R C c           Cách 2. 2a b c   2 sin sin 4 sin 2sin cos 4sin .cos 2 2 2 2 cos 2sin 2cos 2 2 2 2 2 2 cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 3sin sin cos cos 2 2 2 2 1 tan .tan . 2 2 3 R A B R C A B A B C C A B C A B A B C do A B A B A B A B A B A B A B                             Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội là q = 2. Giải sử có A<B<C. Chứng minh rằng 1 1 1 . a b c   Giải Do A, B, C theo thứ tự là cấp số nhân có q = 2 nên 2 , 4 .B A C A  Mà 2 4 ; ; . 7 7 7 A B C A B          1 1 1 1 1 1 1 2 42 sin 2 sin 2 sin sin 7 7 2 4 3 sin sin 2sin cos 1 1 3 47 7 7 7. . sin sin 2 4 2 32 2 7 7 sin sin sin sin 7 7 7 7 b c R B R C R do R R                                    Ban Toán - 6 cos 1 1 17 . 2 sin 2sin cos 7 7 R R A a       Ví dụ 8. Tính các góc của tam giác ABC nếu sin sin sin . 23 B C A   Giải Do định lý hàm sin ta có 2 sin sin sin a b c R A B C    . Nên : sin sin sin 2 2 43 2 3 3 23 2 B C a b c A R RR b c b a a c a                Ta có :   2 2 2 2 2 2 24 3 .c a a a c b a      Vậy tam giác ABC vuông tại C. Thay sin 1C  ta có : sin 1 sin 23 B A   0 0 1 sin 302 3 60 . sin 2 A A B B            II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cho tam giác ABC có trung tuyến là AM thì : 2 2 2 22 . 2 BC AB AC AM   Hay 2 2 2 22 . 2 a a c b m   Ban Toán - 7 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, , , ,AMB AC b AB c S    là diện tích của ta giác ABC. Với 00 90  a) Chứng minh rằng 2 2 cot . 4 b c S    b) Giả sử 045 ,  chứng minh cot cot 2.C B  Giải a) Tam giác AHM vuông cot HM MB BH AH AH       cot 1 2 a BH AH AH    Mặt khác  2 2 22 2 2 cos 4 2 . a c ac B cb c S AH a     Đặt .BC a   2 2 cos 2 4 2 2 b c a c B a BH S AH AH AH AH       Từ (1) và (2) ta được 2 2 cot 4 b c S    b) Ta có:     0 cot cot 2 2cot 2cot 45 2. HC HB HC HB B C AH AH AH MH MC MB HM AH HM AH               Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là ,b cm m thỏa mãn 1.b c mc b m   Chứng minh rằng cot cot 2cot .B C A  Giải Ta có 22 2 2 b c mc b m  Ban Toán - 8 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 b a c c b c a b                         4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 . c b b c a c a b b c a c a b c b a c b c b c b c a c b do b                         Thay 2 2 2 2 cosc b a bc A   vào (1) ta có      2 2 2 2 2 cos 4 sin cos 2 2 2 sin 2 sin sincos sin 2 sin sin .sin sin sin sin cos sin cos 2cot cot cot . sin .sin a bc A a R A A bc R B R C B CA A A B C B C B C C B A C B B C              Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến BB’ thì  cot 2 cot cot .C A B  Giải Tam giác GAB vuông tại G có GC’ là trung tuyến nên 2 'AB GC . Vậy 2 2 2 ' 9 4 3 cAB CC c m   2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 5 5 2 cos c c b a c a b c c ab C                Ban Toán - 9   2 2 2 cos 2 2 sin 2 sin .2 sin .cos c ab C R C R A R B C     22sin sin sin cosC A B C  2sin cos sin sin sin C C A B C         2sin cot sin sin 2 sin cos sin cos cot sin sin 2 cot cot cot . A B C A B A B B A C A B B A C          (đpcm). BÀI TẬP TỰ LUYỆN