Bài giảng môn Toán lớp 12 - Hàm số

1HÀM SỐ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x     + Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x     2. Qui tắc xét tính đơn điệu a. Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến b. Qui tắc B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số: 3 2 2 4 2 1 1 . y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x ( 3), (x > 0) 3 2 x - 1 c. y = x 2 3 . y = x +1 a x x x x x x d         Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 2 3 4 2 3 2 2 2 . y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9 3- 2x x 2 3 . y = e. y = f. y = 25-x x + 7 1 a x x x x xd x         Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. Phương pháp + Dựa vào định lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số 22y x x  nghịch biến trên đoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số 2 9y x  đồng biến trên nửa khoảng [3; + ). b. Hàm số 4y x x   nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] Ví dụ 5. Chứng minh rằng a. Hàm số 3 2 1 xy x   nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b. Hàm số 22 3 2 1 x xy x   đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. c. Hàm số 2 8y x x    nghịch biến trên R. Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. 2+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai Ví dụ 6. Tìm giá trị của tham số a để hàm số 3 21( ) ax 4 3 3 f x x x    đồng biến trên R. Ví dụ 7. Tìm m để hàm số 2 25 6( ) 3 x x mf x x     đồng biến trên khoảng (1; ) Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 my x x     đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Ví dụ 9 Xác định m để hàm số 3 2( 1) ( 3) 3 xy m x m x      đồng biến trên khoảng (0; 3) Ví dụ 10 Cho hàm số 4mxy x m   a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1) Ví dụ 11 Cho hàm số 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x      . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; ) Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm số 3 2 2ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a        đồng biến trên [2:+ ) Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. + f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ()f a f x f  + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b  Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 2 3 1 1 . tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < + 2 2 8 2 x x . cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0 2 6 x a x x x c x         Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2    b. Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; ) 2 x x x x     Ví dụ 3 Cho hàm số ( ) t anx - xf x  a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2    b. Chứng minh 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x     Ví dụ 3 Cho hàm số 4( ) t anx, x [0; ] 4 f x x    3a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ] 4  b. Chứng minh rằng 4tan , [0; ] 4 x x x      CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I. B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II. B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(xi) B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị ( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi) * Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 3 22 3 36 10y x x x    Qui tắc I. TXĐ: R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x             + - - 54 71 ++ - 00 2-3 +- y y' x Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71 x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 Qui tắc II TXĐ: R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x             y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và ycđ =71 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x       3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x xd x           Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 42 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x   Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.2 a c  y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT) Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 LG 2' 3 6 1y x mx m    . Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 23.(2) 6 .2 1 0 1m m m       Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : 2 0' 3 6 ' 0 2 xy x x y x        tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Bài 1. Xác định m để hàm số 3 23 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x    Bài 2. Tìm m để hàm số 3 2 2( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT3y x mx m x     Bài 3. Tìm m để hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2x mxy x m    Bài 4. Tìm m để hàm số 3 2 22 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x    Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2( ) axf x x bx c    đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 qf x xp x   đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 Hướng dẫn: 2'( ) 1 , x -1( 1) qf x x    + Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.q    + Nếu q > 0 thì: 2 2 12 1'( ) 0( 1) 1 x qx x qf x x x q              Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’ Phương pháp B1: Tìm m để hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý:  Hàm số 3 2ax ( 0)y bx cx d a     có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. 5 Cực trị của hàm phân thức ( )( ) p xy Q x . Giả sử x0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x0) có thể được tính bằng hai cách: hoặc 0 00 0 0 0 ( ) '( )( ) hoÆc y(x )( ) '( ) P x P xy x Q x Q x  Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 2 3 21 x 2 4. y = ( 6) 1 . y =3 2 mx ma x mx m x b x        Hướng dẫn. a. TXĐ: R 2' 2 6y x mx m    . Để hàm số có cực trị thì phương trình: 2 2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m    2 3' 6 0 2 mm m m          b. TXĐ:  \ 2 2 2 2 2 2 (2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4' ( 2) ( 2) µm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0 ' 0 4 4 4 0 04 8 4 4 0 0 x m x x mx m x x my x x H y c x x m m mm m                                 Bài 1. Tìm m để hàm số 3 23 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx   Bài 2. Tìm m để hàm sô 2 3( 1) 1x m m x my x m      luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 3. Cho hàm số 3 22 · 12 13y x x    . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 4. Hàm số 3 22( 1) 4 13 my x m x mx     . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Bài 5. Cho hàm 2 1 x mxy x   . Tìm m để hàm số có cực trị Bài 6. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx my x     . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước. Phương pháp + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất. Ví dụ . 6Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x       3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x xd x           Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x   Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.2 a c  y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Bài 5. Xác định m để hàm số 3 23 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x    Bài 6. Tìm m để hàm số 3 2 2( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT3y x mx m x     Bài 7. Tìm m để hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2x mxy x m    Bài 8. Tìm m để hàm số 3 2 22 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x    Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2( ) axf x x bx c    đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 qf x xp x   đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 Bài 11. Tìm m để hàm số 3 23 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx   Bài 12. Tìm m để hàm sô 2 3( 1) 1x m m x my x m      luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 13. Cho hàm số 3 22 · 12 13y x x    . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 14. Hàm số 3 22( 1) 4 13 my x m x mx     . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Bài 15. Cho hàm 2 1 x mxy x   . Tìm m để hàm số có cực trị Bài 16. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx my x     . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.  GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên  ;a b : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định  Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm caùc giaù trò xi  ;a b (i = 1, 2, ..., n) laøm cho ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh . B2: Tính 1 2( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )nf a f x f x f x f b B3: GTLN = max{ 1 2( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )nf a f x f x f x f b } GTNN = Min{ 1 2( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )nf a f x f x f x f b } Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1y x x  trên khoảng (0; ) Hướng dẫn: Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; ) 2 2 2 2 1 1' 1 ' 0 1 0 1xy y x xx x            . Dễ thấy 1 (0; )x     Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN, GTNN của hàm số 3 22 3 43 xy x x    trên đoạn [-4; 0] Hướng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], 2 2 [-4;0] [-4;0] 1'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0 3 16 16( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 43 3 Ëy Max 4 x = -3 hoÆc x = 0 16Min khi x = -4 hoÆc x = -13 x x xf x x x f x x x x f f f f V y khi y                              Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 3 2 3 4 2 3 2 . f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1] c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3] a x x x x x x           Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 2 x 1. f(x) = trªn nöa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + )x + 2 x- 1 c. f(x) = x 1 - x d. f(x) a  1 3 = trªn kho¶ng ( ; )cosx 2 2    TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)  y = y0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 0 0lim ( ) ,hoÆc lim ( )x xf x y f x y   G T L N -+ y y ' bx 0ax G T NN +- y y ' bx 0ax ++ 0 2 +- y y' +10x 8 x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 0 0 0 0 lim , lim , lim , lim x x x x x x x x                Đường thẳng y = ax + b ( 0a  ) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn: lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0 x x f x f x   II. Các dạng toán Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ ( )( ) P xy Q x Phương pháp  Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.  Tiệm cận ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0 + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + ( )x với lim ( ) 0 x x  thì y = ax + b là tiệm cận xiên. Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số: 2 2 2x- 1 x 7 x + 2. y = b. y = c. y =x + 2 3 x 1 xa x     Hướng dẫn a. Ta thấy 2 2 2 1 2 1lim ; lim2 2x x x x x x         nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng. Vì 122 1lim lim 222 1x x x x x x       nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b. + 2 3 7lim 3x x x x     . Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + 12 3y x x    . Ta thấy 1lim[y - (x + 2)]= lim 03x x x    Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số. c. Ta thấy 21 2lim .1x x x    Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng. + 21 2lim 1x x x    . Nên x = -1 là tiệm cận đứng. + 2 2 2 1 2 2lim 011 1x x x x x x      . Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ 2ax ( 0)y bx c a    Phương pháp Ta phân tích 2ax ( )2 bbx c a x xa      Với lim ( ) 0 x x  khi đó ( )2 by a x a  có tiệm cận xiên bên phải Với lim ( ) 0 x x  khi đó ( )2 by a x a   có tiệm cận xiên bên tr ái VÝ dô 9T×m tiÖm cËn cña hµm sè: 29 18 20y x x   H­íng dÉn 29( 2) 6y x   10 C¸c tÝnh giíi h¹n v« cùc cña hµm sè ( )( ) f xy g x lim ( ) 0 f xx x lim ( )0 g xx x DÊu cña g(x) ( )lim ( )0 f x x x g x L  Tuú ý 0 + +L > 0 0 - -  - +L < 0 0 + -  Bµi 1. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè sau: 2x - 1 3 - 2x 5 -4. y = b. y = c. y = d. y =x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1 x+ 1 1e. y = f. y = 4 +2x + 1 x- 2 a -x + 3 4 - xg. y = h. y =x 3x + 1 Bµi 2. T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 x 12 27 x 2 x 3 2- x. y = b. y = c. y = d. y =4 5 ( 1) 4 x 4 3 1 x 2. y = 2x -1 + f. y =x 3 x x xa x x x x x xe x              3 2 2 2 1 2x g. y = x- 3 + h. y =2(x- 1) 1 x x   Bµi 3. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè 2 2 x. y = 1 x+ 3b. y = x+ 1 1. 4 xa x xc y x     Bµi 4. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè: 2 2 3 2( 2) 1 xy x m x m      cã ®óng 2 tiÖm cËn ®øng. Bµi 5. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c t¹o bëi tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ t¹o víi hai trôc to¹ ®é cña c¸c hµm sè: 2 23x 1 -3x 4. y = b. y =1 2 x xa x x       Bµi 6.(§HSP 2000). T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè 2 2( 1) 4 3 2 x m x my x      t¹o víi hai trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8 (®vdt) Bµi 7. Cho hµm sè: 2 (3 2) 3 3 1 x x m my x      (1) a. T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ ®i qua ®iÓm (4; 3)A  b. T×m m ®Ó ®­êng tiÖm cËn xiªn cña (1) c¾t Parabol 2y x t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 11 4. kh¶o s¸t vµ vÏ hµm bËc ba D¹ng 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ hµm sè 3 2 (a 0)y ax bx cx d     Ph­¬ng ph¸p 1. T×m tËp x¸c ®Þnh. 2. XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè a. T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc vµ c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã). T×m c¸c ®­êng tiÖm cËn. b. LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè, bao gåm: + T×m ®¹o hµm, xÐt dÊu ®¹o hµm, xÐt chiÒu biÕn thiªn vµ t×m cùc trÞ. + §iÒn c¸c kÕt qu¶ vµo b¶ng. 3. VÏ ®å thÞ cña hµm sè. + VÏ ®­êng tiÖm cËn nÕu cã. + X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt: Giao víi Ox, Oy, ®iÓm uèn. + NhËn xÐt ®å thÞ: ChØ ra t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng (kh«ng cÇn chøng minh) VÝ dô 1. Cho hµm sè: 3 23 1y x x    a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Tuú theo gi¸ trÞ cña m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 3 23 1x x m    H­íng dÉn a. 1. TX§: D   2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè a. Giíi h¹n t¹i v« cùc 3 3 2 3 3 3 2 3 3 1lim ( 3 1) lim (1 ) 3 1lim ( 3 1) lim (1 ) x x x x x x x x x x x x x x                     c. B¶ng biÕn thiªn 2 2 0' 3 6 ' 0 3 6 0 2 xy x x y x x x             Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng ( ;0) vµ (2; + )  Vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2). Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x= 2 ; vµ yC§=y(2)= 3 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x =0 vµ yCT = y(1) = -1 3. §å thÞ + Giao víi Oy: cho x = 0 0y  . Vëy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1) + '' 0 6 6 0 1y x x       . §iÓm A (1; 1) + NhËn ®iÓm A lµm t©m ®èi xøng. b. Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña 2 ®å thÞ 3 23 1y x x    vµ y =m Dùa vµo ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn: m > 3: Ph­¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm. 3 ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm -1< m < 3: Ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm. m = -1: Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm m < -1: Ph­¬ng tr×nh cã 1nghiÖm m  C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba Bµi 1(TNTHPT – 2008) Cho hµm sè 3 22 3 1y x x   a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 3 - + -1 -- + 00 20 +- y y' x 2 -2 -5 5 12 b. BiÖm luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 3 22 3 1x x m   Bµi 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· cho. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh 3 23 0x x m   cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Bài 3 (TNTHPT - 2007) Cho hàm số y= 3 3 2x x  có đồ thị là (C) . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2 ;4) . Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm số y= 3 23x x  có đồ thị (C) . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : 3 23x x  -m=0 . Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm số y= 3 26 9x x x  có đồ thị là (C) . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cã hoµnh ®é lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh y’’=0 . c/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=x+m2-m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối cực đại vào cực tiểu . Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm số y= 3 2 33 4x mx m  . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 . Bµi 7 (§H- A- 2002) Cho hµm sè 3 2 2 3 23 3(1 )y x mx m x m m       a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m= 1 b. T×m k ®Ó ph­¬ng tr×nh: 3 2 3 23 3 0x x k k     cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. c. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1). Bµi 8 (C§ SP MGTW- 2004) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 4m a. Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n cã 2 cùc trÞ. b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1 Bµi 9 (§H-B- 2007) Cho hµm sè 3 2 2 23 3( 1) 3 1y x x m x m       a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1 b. T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc trÞ c¸ch ®Òu ®iÓm O. Bµi 10 (§H - D - 2004) Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2 b. T×m m ®Ó nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh y’’= 0 thuéc ®­êng th¼ng y = x+ 1 Bµi 8 Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt b. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4 13 Bµi 3 Cho hµm sè 3 22 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x      a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =2 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu. Bµi 5 (§H 2006- D) Cho hµm sè 3 3 2y x x   a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b. Gäi d lµ ®­êng th¼ng qua ®iÓm A(3; 20) vµ cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng d c¾t (C ) t¹i 3 ®iÓm phÇn biÖt. (Gîi ý ®­êng th¼ng d qua M(x0;y0) cã hÖ sè gãc m cã d¹ng: y = m(x - x0) + y 0) Bµi 7 Cho hµm sè y = (x - m)3 - 3x a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1 b. T×m m ®Ó hµm sè ®· cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 0 Bµi 8 Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) c. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt d. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4 Bµi 11 Cho hµm sè y = 3 2 22 2x mx m x   a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m =1 b. T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 14  Hµm bËc bèn trïng ph­¬ng vµ mét sè bµi tËp cã liªn quan I. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm trïng ph­¬ng  Hµm sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho 0a   Hµm sè ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, cùc tiÓu 2' 0 2 (2 ) 0y x ax b     cã ba nghiÖm ph©n biÖt 02 b a   §å thÞ hµm sè lu«n nhËn Oy lµ trôc ®èi xøng.  NÕu hµm sè cã ba cùc trÞ trÞ chóng t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n. D¹ng to¸n: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè VÝ dô 1 (TNTHPT-2008) Cho hµm sè 4 22y x x  a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -2 VÝ dô 2. Cho hµm sè 4 3 24 3( 1) 1y x mx m x     a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =0 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã 3 cùc trÞ 15 Bµi tËp hµm sè trïng ph­¬ng Bµi 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 . y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1 1 5. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +2 2 a x x x d x x        1 Bµi 2. Cho hµm sè 4 2 22 1y x m x   a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1 b. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba cùc trÞ lµ ba ®Ønh cña tam gi¸c vu«ng c©n. Bµi 3 (§H §µ L¹t - 2002) a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh 4 22 1 0x x   b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = 4 22 1x x  c. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 4 22 1 0x x m    Bµi 4 (§H Th¸i Nguyªn - 2002) Cho hµm sè 4 2 m2 (C )y x mx   a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1 b. H·y x¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè ®å thÞ hµm sè cã 3 cùc trÞ Bµi 5. (§H Vinh - 2002) 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 4 25 4y x x    2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh 4 2 25 3 0x x m    cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 6 Cho hµm sè 4 2 924 4 xy x   a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè b. BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña hµm sè 22y k x  Bµi 7 Cho hµm sè 4 2 3 22y x mx m m    a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 1 b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ ( )mC cña hµm sè ®· cho tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm Bµi 8. (§H CÇn th¬ - 2002) Cho hµm sè 4 22 2y x x m    (Cm) a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0 b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña hµm sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox c. Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ba cùc trÞ lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n. 16 HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong ),(:)( mxfyCm  ( m là tham số ) Biện luận theo m số đường cong của họ )( mC đi qua điểm );( 000 yxM cho trước. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Ta có : Họ đường cong )( mC đi qua điểm );( 000 yxM  ),( 00 mxfy  (1) Xem (1) là phương trình theo ẩn m. Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0 Cụ thể:  Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M0  Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0  Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong )( mC D¹ng 1: TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong ),(:)( mxfyCm  ( m là tham số ) Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Gọi );( 000 yxM là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua. Khi đó phương trình: ),( 00 mxfy  ng