Bài giảng môn Toán học lớp 9 - Tứ giác nội tiếp một đường tròn

Tứ giác nội tiếp đường tròn đường tròn ngoại tiếp tứ giác Tứ giác nội tiếp một đường tròn 1,Định nghĩaNếu qua bốn đỉnh của một tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn còn đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCDTứ giác nội tiếp một đường tròn 2, Định lýa, Thuận Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 2vABCDTứ giác nội tiếp một đường tròn 2, Định lýb, Đảo :Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 2v thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn ABCDTứ giác nội tiếp một đường tròn 2, Định lý Tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 2vABCDBài 1 Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ một cát tuyến đi qua A và B. Vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Vẽ một đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và cắt đường tròn (O’) tại F sao cho B nằm giữa E và F. Hai đường thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong đường tròn . Chứng minh rằng CE//DFBài 1 CE//DFC1 + D1 =1800 D1+B2=1800 C1=B2Mà B1+B2=1800C1+B1=1800tứ giác BEAC nội tiếpABCDEF1121Bài 1 Tứ giác ADFB nội tiếp =>D1+B2=1800(tính chất của tứ giác nội tiếp)Mà B2+B1=180(Hai góc kề bù)=>D1=B1Tứ giác ABEC nội tiếp =>C1+B1 =1800(tính chất của tứ giác nội tiếp)=>C1+D1=1800 mà hai góc ở vị trí trong cùng phía =>EC//DF (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)ABCDEF1121Bài 1 D1=B2(góc nội tiếp cùng chắn cung AF)Mà B2+B1=180(Hai góc kề bù)=>D1+B1=1800Tứ giác ABEC nội tiếp =>C1+B1 =1800(tính chất của tứ giác nội tiếp)=>C1=D1=>EC//DFABCFED1121Bài 2 Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây cung CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt dây AB tại I. Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng a, Các tứ giác AECI và BFCI nội tiếp đượcb, Tam giác IEF và tam giác CAB đồng dạng và tam giác IEF vuôngBài 2 Xét tứ giác ECIA có CI EF (gt)=>ECI=900có EAI=900(vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A)Do đó EAI+ECI=1800=>tứ giác ECIA nội tiếpCABDEFI11Bài 2 Xét  IEF và  CAB có FEI=CAB (góc nội tiếp cùng chắn cung CI của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECIA)CABDEFI11Bài 2 Tứ giác CFBI nội tiếp nên F1=B1(góc nội tiếp cùng chắn cung CI)Tương tự ta có E1=A1=> IEF ~  CAB (g,g)=>ACB=EIFmà ACB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) =>EIF=900hay tam giác EIF vuông tại F CABDEFI11Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 1, Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm 2. Chứng minh rằng tổng hai góc đối diện bằng 2v3, Dùng quỹ tích cung chứa góc. Tứ giác ABCD có hai đỉnh C và D nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB , sao cho góc ACB=ADB thì tứ giác ABCD nội tiếpCác cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi góc A= góc C1ABCD1Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác ABCD nội tiếp thì A+ DCB=1800 mà DCB+ C1=1800 (hai góc kề bù) =>A=C1ABCD1Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Nếu A=C1 mà DCB+ C1=1800 (hai góc kề bù) => A+ DCB=1800=>tứ giác ABCD nội tiếp ABCD1Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Nếu một tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối diện với góc tại đỉnh đó thì tứ giác nội tiếp ABCD12Bài 1 Cho đường tròn (O) và một điểm M không thuộc đường tròn . Từ M kẻ 2 cát tuyến MAB và MCD với đường tròn . Chứng minh rằng MA.MB=MC.MDBài 1 ABMCD21Bài 1 Xét hai tam giác MAC và MDB có góc M chung tứ giác ABDC nội tiếp nên D+A1=1800 mà A1+A2=1800=>D=A2 => MAC ~  MDB (g.g) =>MA:MD=MC:MB =>MA.MB=MC.MDMABCD12Bài 1 Tương tự ta cóND.NB=NC.NAMABCD12NBài 1 MA.MB=MC.MDKhi A trùng với B =>MA=MBta có MA2=MC.MDMABCDKhi A trùng với B thì cát tuyến MAB thành tiếp tuyến MA ta có MA2=MC.MDBài 1 ABMCD11Bài 2 Cho 4 điểm A, B, C, D và một điểm M là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng nếu MA.MB=MC.MD thì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn MA.MB=MC.MD=>MA:MD=MC:MB(1)Xét hai tam giác MAC và MDB có góc M chung và từ (1) nên  MAC ~  MDB =>D=A2 mà A1+A2=1800 =>D+A1=1800 => tứ giác ABDC nội tiếpMABCD12từ MA.MB=MC.MD =>MA:MC=MD:MBXét MAC và  MDB có góc M chung có MA:MC=MD:MB=>  MAC ~  MDB (c.g.c)=>D1=A1 hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới 2 góc bằng nhau nên 4 điểm ABCD nội tiếp ABCDM11từ MA.MB=MC.MD =>MA:MD=MC:MBXét MAC và  MDB có góc M1=M2 (đối đỉnh) có MA:MD=MC:MB=> MAC ~  MDB (c.g.c) =>D1=A1 hai điểm C và D cùng nhìn BC dưới 2 góc bằng nhau nên 4 điểm nằm trên đường tròn hay tứ giác ADBC nội tiếp ACBDM2111Kết luận Cho 4 điểm A, B, C, D và một điểm M là giao điểm của AB và CD. MA.MB=MC.MD khi và chỉ khi ABDC nội tiếp đường tròn Kết luận Cho 4 điểm A, B, C, D và một điểm M là giao điểm của AB và CD. MA.MB=MC.MD  ABDC nội tiếp đường tròn Bài tập trắc nghiệm :các kết luận sau đúng hay sai?Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn nếu có một trong các điều kiện saua, BAD + BCD =1800 b, ABD= ACD =400 d, ABC =ADC =900 c, ABC =ADC =1000 ĐúngĐúngsaiĐúngABCD là hình thoiSaie, ABCD là hình chữ nhậtf, ABCD là hình bình hànhh, ABCD là hình vuôngg, ABCD là hình thang cânĐúngsaiđúngĐúngTứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 1800Tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi hai đỉnh kề nhau của tứ giác cùng một cạnh dưới góc không đổiQua điểm Q thuộc dây cung chung AB của hai đường tròn cắt nhau vẽ dây PM và LN lần lượt của đường tròn thứ nhất và thứ hai. Chứng minh rằng tứ giác PNML nội tiếp Bài 3 BAPMLBài 3 NQTa có Q là giao điểm của hai dây cung PM và AB của đường tròn (O) nên QM.QP=QA.QB Q là giao điểm của hai dây cung LN và AB của đường tròn (O') nênQL.QN=QA.QB=>QM.QP=QL.QN=>tứ giác PLMN nội tiếpBAPMLBài 3 NQBài 4Cho hai đường tròn(O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Gọi M là một điểm tuỳ ý trên đường thẳng AB (ngoài đoạn AB)a, Qua M lần lượt dựng các tiếp tuyến MT và MT’ với (O) và (O’). Chứng minh rằng MT=MT’b, Qua M dựng hai cát tuyến tuỳ ý MCD và MC’D’ với (O) và (O’). Chứng minh rằng tứ giác CDD’C’ nội tiếp đường tròn Lời giảiMT là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến của đường tròn (O) nên MT2=MA.MB (1)MT’ là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến của đường tròn (O’) nên MT’2=MA.MB (2)=>MT2=MT’2=>MT=MT’O’ABT’OMTLời giảiMC.MD=MA.MBMC’.MD’=MA.MB=>MC.MD=MC’.MD’=>MC:MD’=MC’:MDvà có góc M chung nên MC’D ~MCD’ (c.g.c)=>D1=D’1 mà cùng chắn đoạn CC’ nên 4 điểm C, C’, D , D’ cùng thuộc một đường tròn O’AD’BT’ODC’CM11TBài 4 Trong đường tròn O lấy điểm I. Vẽ qua I hai dây AB và CDa, Tính CD biết AI=12 cm, IB=18 cm, CI:ID=3:8b, Tính CI và ID biết AI=12 cm IB=16 cm và CD=32cmLời giải Ta có IA.IB=IC.ID12.18=IC.ID mà IC= 3/8.ID nên=>216=3/8.ID.ID=>3/8.ID2=216=>ID2=576=> ID=24 =>IC=3/8.24=9 vậy CD=IC+ID=33cmOACBDILời giải CD=IC+ID=32cm=>CI=32-ID mà IA.IB=IC.ID=>12.16=(32-ID).ID=>ID2-32ID+192=0=>CI=8 và ID=24hoặc CI=24 và ID=8OACBDIBài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH cố định. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng a, Tứ giác BCFE nội tiếp đường tròn b, Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFE đi qua 2 điểm cố định Lời giải Ta có tứ giác AEFH là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn =>AFH=AHE (vì chắn cung AE) mà AHE +H2=900 và B+H2=900 =>B=AFH vậy tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng 2v nên tứ giác BEFC nội tiếp đường trònBACHEF2Lời giảiGọi P và Q là giao điểm của AH với đường tròn, O là giao điểm của AH và EF =>OE=OA=OHta có OE.OF=OP.OQ=(OA-AP)(AQ-OA)=OH2=AH2/4ta lại có AF.AC=AP.AQ=AH2(hệ thức lượng trong tam giác vuông)=>AP,AQ là những đoạn thẳng coa độ dài không đổi Vậy P và Q là những điểm cố địnhBACHEFPQOBài 5Chứng minh rằng điểm đối xứng của trực tâm tam giác qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đóBài 6Cho đường tròn đường kính AB, đường thẳng d vuông góc với AB tại H. Từ điểm M thuộc d kẻ MA, MB cắt đường tròn đường kính AB tại P và Q. Gọi N là giao điểm của d và PBa, Chứng minh rằng tứ giác MPNQ nội tiếpb, Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua d. Chứng minh rằng tứ giác AB1MN nội tiếpMHAB (gt)ta có BPA=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )=>BPAMDo đó MH và BP là hai đường cao của tam giác AMB mà MH cắt PB =N nên N là trực tâm của tam giác AMBVì Q thuộc (O) nên AQB=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )nên AQ là đường cao của tam giác ABM do đó N thuộc AQABMHQ1B1PNta có NQM=900(vì AQB=900)NPM=900(kề bù với APB)=>NQM+NPM=900+900=1800Vậy tứ giác MPNQ nội tiếpABMHQ1B1PN tứ giác AB1NM nội tiếpAMN+AB1N=1800mà AB1N+NB1H=1800AMN=NB1H Mà NB1H=NBH AMH=NBH AMH+BAC=900NBH+BAC=900ABMHQ1B1PNAPB = 1v và AQB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )=>N là trực tâm tam giác => AN cũng là đường cao nên N thuộc AQta có AMH=ABP ( cùng phụ với góc A)mà ABP=NB1H (tính chất đối xứng)=>AMH=NB1Hmà NB1H + AB1N=1800(hai góc kề bù)=>AB1N+AMN=1800Do đó tứ giác AB1NM nội tiếpABMHQ1B1PNBài 7 Cho tam giác ABC các đường cao AA1, BB1, CC1 . O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: B1C1 vuông góc với OA; A1C1 vuông góc với OB; OA vuông góc với C1B1Cung AM=cung ANCung AM+MB=cung AN+MBgóc ACB = góc AC1Nmà AC1N+BC1B1=1800BC1B1+ACB=1800Tứ giác BC1B1C nội tiếpBC1C=BB1C =900ACBA1O1B1C1HMNKéo dài B1C1 cắt đường tròn tại M và N Do tứ giác BC1B1C nội tiếp nên AC1 N = ACB mà ACB=1/2(sđAM+sđMB)AC1N=1/2(sđAN+sđMB)=>cung AM=cungAN=>AM=AN mà OM=ON nên OA là trung trực của MN nên OA vuông góc với MNACBA1O1B1C1HMNQua A kẻ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) ta có xAB=ACB (1)(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)Do tứ giác BC1B1C nội tiếp nên AC1B1 = ACB (2)Từ (1) và (2) ta có xAB=AC1B1 mà chúng ở vị trí so le trong nên xy//B1C1vì OA xy nên B1C1 OAACBA1O1B1C1HMNxyBán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua đỉnh thì vuông góc với đường thẳng nối chân hai đường cao của tam giác đó ACBA1O1B1C1HMNxyBài 8 Cho tam giác ABC. H là chân đường cao hạ từ A trên BC, E, F là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC1, Chứng minh rằng OA vuông góc với EF (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)2. Cho AH=R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Chứng minh rằng O; E; F thẳng hàng EFOA Ax//EFA1=E1 mà A1=C E1=Cmà C+HAC= 900 H1 +HAC=900=>H1=C H1=E1Tứ giác AEHF nội tiếpACBO1FEHxN11ME=F=900 nên tứ giác AEHF nội tiếp =>E1=H1 (vì cùng chắn cung AF) H1=C (cùng phụ với góc HAC)=>E1=C mà C = A1 (cùng chắn cung AB)nên E1=A1 mà chúng ở vị trí so le trong nên Ax//EFmà AxOA nên EFOAACBO1FEHxN11Kéo dài EF cắt (O) tại M và N ta có H1 = E1=Cmà E1=1/2 (sđAN+sđBM) C=1/2(sđAM+sđMB)=>cung AN= cung AM =>AM=ANmà OM=ON =>OA là trung trực của MN=>OAMN nên EFOAACBO1FEHN1MGọi O1 là giao điểm của AO với EF và AOgiao với đường tròn tại DAHC vuông có AH2=AF.ACAO1F ~ ACD(g.g)=>AF:AD=AO1:AC=>AF=O1A.AD:AC =>AH2=AO1.AD:AC.ACAH2 =AO1AD2R2=AO1 .ADmà AD=2R=>AO1=R =>O1 trùng với O hay 3 điểm E; O; F thẳng hàngACBO1FEHxN11DO1Bài 9 Điều kiện cần và đủ để tứ giác ABMC nội tiếp là hình chiếu vuông góc của M trên 3 cạnh AB, BC, CA thẳng hàng (Định lí Sim Sơn)Bài 9 Phần thuận Tứ giác ABMC nội tiếp thì hình chiếu vuông góc của M trên 3 cạnh AB, BC, CA thẳng hàngBài 9 Phần đảo Tứ giác ABMC có hình chiếu vuông góc của M trên 3 cạnh AB, BC, CA thẳng hàng thì tứ giác ABMC nội tiếp ACB2EDF1M 12D, F , E thẳng hàngF2=F1 mà F2=M1 F1=M2M1=M2 mà M1+MBD=900M2+MCE=900MCE=MBDmà MBD+ABM=1800MCE+ABM=1800Tứ giác ABMC nội tiếpACB2EDF1M 12D, F , E thẳng hàngF2=F1 mà F2=M1 F1=M2M1=M2 mà M1+BME=DMEM2+BME=BMCDME=BMCmà DME+A=1800BMC+A=1800Tứ giác ABMC nội tiếpACB2EDF1M 12M thuộc đường tròn (ABC) D, E, F thẳng hàngM thuộc đường tròn (ABC) nên BMC+A=1800 Tứ giác DMEA nội tiếp nên DME+A= 1800 => BMC=DME => M1=M2 ta có BDFM nội tiếp nên M1=F2 và CEFM nội tiếp nên M2=F1 =>F1=F2 do đó D;F;E thẳng hàng ACB2EDF1M 12M thuộc đường tròn (ABC) D, E, F thẳng hàng2, D;F;E thẳng hàng =>F1=F2 mà => F1=M2 và M1=F2 =>M1 =M2=>BMC=DME ta có ADME nội tiếp nên DME+A=1800 nên BMC+A =1800 Vậy tứ giác ABMC nội tiếpACB2EDF1M 12Đặc biệt Khi M trùng với C thì E trùng với C ; F trùng với C nên D, F, E vẫn thẳng hàngACBEDFM Bài 6 Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên đường tròn (O’) lấy điểm M. Các đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (O) tại C và D. từ M vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O’). Chứng minh rằng xy//CDBài 3 Tứ giác ABCD nội tiếp =>C1 = B1(góc nội tiếp cùng chắn cung AD)Mà M1 =B1( góc nội tiếp và góc tạo bơỉ một tia tiếp tuyến và một dây cung cùng chắn một cung AM của đường tròn (O’))=>C1=M1 Hai góc ở vị trí đồng vị =>DC//xyABDCxy111MBài 4 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD lần lượt cắt đường tròn tại E và F. Hai dâyAE và BF cắt nhau tại M, hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng a, MN//Bxb, Tứ giác CDFE nội tiếp đượcBài 3 AEB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) =>AEBN hay AE là đường cao của tam giác ANB tương tự ta có BF là đường cao của tam giác ANB mà AE và BF cắt nhau tại M (gt) nên M là trực tâm của tam giác ANB => MNABAEDCNMFBxBài 3 Ta có D+B1=900 (vì F=900) và B1+B2=900=>B2=Dta lại có B2=E1(góc nội tiếp cùng chắn cung AF)=>D=E1 vì E1+FEC =1800 (hai góc kề bù) nên D+FEC =1800 => tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn AEDCNMFBx121Bài 3 D=1/2(sđAB-sđFB) (góc có đỉnh ở ngoài đường tròn )=>D=1/2 sđAFE1(góc nội tiếp cùng chắn cung AF)=>D=E1 vì E1+FEC =1800 (hai góc kề bù) nên D+FEC =1800 => tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn AEDCNMFBx121Bài 5 Cho tam giác ABC, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BCa, Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đób, Đường thẳng DH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là I . Chứng minh rằng 5 điểm A; I; F; H; E cùng nằm trên một đường tròn Các bài toán áp dụng A, Chứng minh các đường thẳng đồng quy, nhiều điểm thẳng hàngBài 1Cho tam giác ABC.Về phía ngoài của tam giác dựng các tam giác đều ABD, ACE, BCF. Chứng minh rằng 3 đường thẳng AF, BE, CD đồng quyBài toánGọi O là giao điểm của BE và CD ta có BAE=DAC (cgc)=>ADO=ABO nên tứ giác ADBO nội tiếp =>AOB=1200 tương tự BOC=1200 =>BOCF nội tiếp=>BOF=BCF=600=>AOF=1800 hay A,O,F thẳng hàng hay AF ; AE và CD đồng quyABCDEFOCác bài toán áp dụng B, Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau , góc bằng nhau Bài 1Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Lấy D thuộc cạnh CA và E thuộc cạnh CB sao cho CD=CE. Qua D vẽ các đường vuông góc với AE cắt AB theo thứ tự tại K và L. Chứng minh rằng KL=LB