Bài giảng môn Toán học lớp 11 - Tiết 65: Hàm số liên tục

Kiểm tra bài cũx2-1  x-12x2Câu 2: Cho hàm sốf(x)=nếu x nếu x = 1a)Tính limf(x) và tính f(1) x  1b)Nhận xét gì về lim f(x) và f(1) x  1 Ta có lim f(x) =lim (x2+1) = 1 x  0+ x  0+ Do đó:Giải: Giải:a)Ta có: lim f(x) = lim =lim (x +1) = 2 x1 x1 x1x2-1Và f(1)= 2.12 = 2b) Vậy lim f(x) = f(1) x1 lim f(x) = lim x = 0 x  0- x 0- lim f(x) lim f(x) = 1 x  0+ x 0+ f(x)=x2+1 nếu x > 0nếu x 0Câu 1: Cho hàm sốXét sự tồn tại giới hạn của hàm số tại x=0Hàm số không có giới hạn tại x=0lim f (x) = f (x0)x x0Tiết 65: 1)Hàm số liên tục tại một điểma)Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) ;x0(a,b)-Hàm số f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu lim f(x) = f(x0) x x0 -Hàm số f(x) gọi là liên tục bên trái x0 nếu nếu lim f(x) = f(x0) x  x0+ -Hàm số f(x) gọi là liên tục bên phải x0 nếu lim f(x) = f(x0) x  x0- Lưu ý: Hàm số f(x) liên tục tại x0 f(x) liên tục bên phải và bên trái x0 Nghĩa là lim f(x) = lim f(x) = f(x0)  x  x0+ x  x0-  Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì gọi hàm số gián đoạn tại x0Giải:Ta có: lim f(x) x1= lim x2-1  x1 x-1=lim (x+1) = 2 x1Và f(1)=aNếu a=2 thì lim f(x) = f(1) thì hàm số liên tục tại x0=1 x1 Nếu a 2 thì lim f(x) f(1) thì hàm số gián đoạn tại x=1 x1b) Ví dụ 1:Cho hàm số f(x)=Xét tính liên tục tại x0 = 1x2-1nếu x 1 nếu x = 1 ïïỵïïíìax -1Xét tính liên tục tại x=0 Giải:Ta có: lim f(x) = lim (x2 + 1) =1x  0+ x  0+ lim f(x) = lim x = 0x  0- x  0- lim f(x) lim x = 0x  0+ x  0-Suy ra: lim f(x) không tồn tại, jkgjdjgdo đó hàm số đã cho không liên tục tại x0=0Lưu ý: Hàm số f(x) gián đoạn tại x0 nếu  Hoặc f(x) không xác định tại x0 Hoặc lim f(x)  f(x0) x  x0 Hoặc không tồn tại lim f(x) x  x0Ví dụ 2: Cho hàm số f(x)= x2 + 1 nếu x>0nếu x 0c) Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm Định lý: Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K, là liên tục tại điểm x0  K nếu và chỉ nếu : lim y = 0 x  0(với x = x- x0 y = y – y0= f(x) = f (x0) )Chứng minh:2) Hàm số liên tục trên một khoảnga) Định nghĩa:-Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảøng đó - Hàm số f(x) xác định trên [a,b] gọi là liên tục trên đoạn đó nếu nó là liên tục trên khoảng (a,b) và lim f(x) = f(a)x a+; lim f (x) = f (b) x b-Chú ý: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó b) Một số định lý về hàm số liên tụcĐịnh lý 1:Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục là những hàm số liên tục.Định lý 2:Các hàm đa thực , hàm hữu tỷ, hàm lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng.Ví dụ:Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên Ra) y=2x2 + 3sin xb) y =x2c) y=tgxd) Cả a,b,cGiải:* Khi x>1 f(x) = ax + 2: liên tục * Khi x2)ax + 1(x  2)Hướng dẫn bài mới: + Tìm hiểu về sự tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn. + Sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng ĐÚNGSAIChứng minh:Ta có: x  x0x - x0  0 hay x  0Vì hàm số f(x) liên tục tại x0 nênlim f(x) = f(x0)x->x0 lim [f(x) – f(x0)] =0 x->0 lim y =0 (đpcm)