Bài giảng môn Hình học lớp 7 - Các trường hợp bằng nhau của tam giác tam giác cân, tam giác đều và định lí pitago

Tuần từ 27-3/3/2012 Ngày soạn 25/2/2012 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC ĐỀU VÀ ĐỊNH LÍ PITAGO + Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh bằng nhau gọi là hai cạnh bên, cạnh còn lại gọi là cạnh đáy. D ABC có AB = AC Þ D ABC cân tại A. + Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. D ABC cân tại A Þ . + Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau. + Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. + Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau và bằng 600. D ABC có AB = AC=BC Þ D ABC là tam giác đều. D ABC là tam giác đều Þ + Muốn chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh: Tam giác có ba cạnh bằng nhau. Hoặc chứng minh tam giác có ba góc bằng nhau. Hoặc chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 600. (một số phương pháp khác sẽ được nghiên cứu sau) + Định lí Pitago thuận: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. D ABC vuông tại A Þ BC2 = AC2 + AB2. + Định lí Pitago đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. Nếu D ABC có BC2 = AC2 + AB2 hoặc AC2 = BC2 + AB2 hoặc AB2 = AC2 + BC2 thì D ABC vuông. 1/ Tóm tắt lý thuyết: 2/ Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, biết = 470. Tính góc A và góc B. Giải : Vì tam giác ABC cân tại A nên = mà = 470 => = 470 Trong tam giác ABC cĩ : + + = 1800 + 47 + 47 = 180 = 180 – 94 = 86 Vậy = 86 ; = 470 Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và AB. Chứng minh rằng BE = CF. Giải : Ta cĩ AE = EC = và AF = FB = (gt) Mà AC = AB nên EC = FB xét EBC và FCB Cĩ : EC = BF (cmt) ; (ABC cân ) ; BC chung Vậy EBC = FCB (CGC) => BE = CF. (đđpcm) Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A và có . Đường phân giác của góc B cắt AC tại D. Tính số đo các góc của tam giác ABC. Chứng minh DA = DB. Chứng minh DA = BC. Giải : a)Trong tam giác ABC ta cĩ + + = 1800 (ĐL)) Mà . (gt) và = (ABC cân) Nên + 2 + 2 = 180 5 = 180 = 36 b) Ta cĩ và => Xét tam giác ABD => tam giác ABD cân tại D => AD = DB c) ta cĩ ( gĩc ngồi tam giác ) Mà => => => tam giác DBC cân tại B => BC = DB mà DA = BD => AD = BC Bài 4 : Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? Giải : Xét tam giác vuơng ABH và tam giác vuơng ACH Cĩ AB = AC ( ABC ) ; ( ABC ) Nên vuơng ABH = vuơng ACH (CH – GN ) BH = HC = BC : 2 = 6 : 2 = 3 Trong tam giác vuơng ABH cĩ Cĩ AB = BH + AH AH = AB - BH AH = 5 - 3 = 25 – 9 = 16 AH = 4 Bài 5 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh : HB = CK b) c) HK // DE Chứng minh : a) HB = CK Ta cĩ (đđ) và Mà ( ABC ) => Xét vuơng DHB và vuơng EKC Cĩ (cmt) và DB = CE (gt) Vậy vuơng DHB = vuơng EKC (CH - GN) => HB = HC ; DH = EK (cạnh tương ứng ) b) Ta cĩ và mà ( ABC ) Nên Xét AHB và AKC Cĩ AB = AC ( gt ) ; (cmt) và HB = HC(cmt) (gt) Vậy AHB = AKC (cgc) => (gĩc tương ứng ) Ta cĩ HD BC (gt) và EK BC (gt) => DH // EK => (slt) c) Xét EHK và HED Cĩ EH = DH ( cmt ) ; (cmt) và HE là cạnh chung Vậy EHK = HED (cgc ) => (gĩc tương ứng ) Mà ở vị trí so le trong nên KH // DE Bài 6: Tam giác ABC cĩ AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24. Tính BC. Chứng minh Trong tam giác vuơng AHB Cĩ AB = BH + AH BH = AB - AH BH = 25 - 24 = 625 – 576 BH = 49 => BH = 7 Trong tam giác vuơng AHC Cĩ AC = CH + AH CH = AC - AH CH = 26 - 24 = 676 – 576 CH = 100 => CH = 10 Mà BC = BH + CH ( H nằm giữa B và C) BC = 7 + 10 = 17 Bài 7 : Cho ABC cân tại A (), vẽ BD AC và CE AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh : ABD = ACE Chứng minh AED cân Chứng minh AH là đường trung trực của ED Chứng minh a) ABD = ACE xét vuơng ABD & vuơng ACE AB = AC (gt) ; chung Vậy ABD = ACE (CH - GN) AD = AE (cạnh tương ứng ) b) AED cân Tam giác AED cĩ AD =AE (cmt) => tam giác AED cân tại A c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED Xét vuơng AEH và ADH Cĩ AE = DA ( cmt ) ; AH là cạnh chung Vậy vuơngAEH = ADH (CH + CGV ) => AE = AD và EH = HD (gĩc tương ứng ) => AH là trung trực của DE Bài 8 : .Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc cạnh BC, đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại N. Chứng minh tam giác NBM cân Chứng minh Ta cĩ( đồng vị) mà ( DABC cân tại A) do đĩ Vì vậy DNMB cân tại N (đpcm) Bài 9 : Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B, trên tia phân giác của góc xOy lấy điểm M sao cho OA = OB = OM. Chứng minh rằng tam giác AMB cân. Chứng minh Xét AOM và BOM Cĩ OA = OB (gt) ; (gt) và OM là cạnh chung Vậy AOM = BOM (cgc ) => AM = BM (cạnh tương ứng ) Vậy tam giác ABM cân tại M Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối củatia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. So sánh các góc . Chứng minh rằng D AMN là tam giác cân. Chứng minh a) Ta cĩ và mà ( ABC ) Nên Xét AMB và ANC Cĩ AB = AC ( gt ) ; (cmt) và MB = NC(cmt) (gt) Vậy AMB = ANC (cgc) => AM = AN (cạnh tương ứng ) Vậy D AMN là tam giác cân tại A. Bài 11: Cho D ABD, có , kẻ AH ^ BD (H Ỵ BD). Trên tia đối của tia BA lấy BE = BH. Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh: FH = FA = FD. Chứng minh Tam giác BHE cân gì BE = BH (gt) => = (hai gĩc đáy) Và ta cĩ là gĩc ngịai tam giác BHE Nên = + = 2 Mà = (đđ) => = 2 Mà => = => tam giác HFD cân tại F => FD = FH (1) Ta cĩ + = 90 và + = 90 => = Vậy tam giác AHF cân tại F => AF = HF (2) Từ (1 ) và (2) => FA = FH = FD Bài 13: Cho tam giác MNP có =900. biết NP = 13cm; MP = 5cm. Tính MN. Chứng minh Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuơng MNP ta cĩ NP = MP + MN MN = NP - MP MN = 13 - 5 = 169 - 25 MN= 144 => NM = 12 Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AH ^ BC (H Ỵ BC). Biết AB = 7cm; BH = 2cm; BC = 13 cm. Tính AH, AC. Chứng minh Trong tam giác vuơng ABH cĩ Cĩ AB = BH + AH AH = AB - BH AH = 17 - 2 = 289 – 4= 285 AH = 16,9 Ta cĩ HB + HC = BC => HC = BC – HB = 13 – 2 = 11 Trong tam giác vuơng ACH cĩ Cĩ AC = CH + AH= 9 - 285 = 81 + 285 = 366 AC = 19,13