Bài giảng môn Hình học khối 12 - Một số cách chọn hệ trục trong không gian

Trao ®æi vÒ : Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é trong gi¶i to¸n h×nh häcB­íc I: Chän hÖ trôc to¹ ®é g¾n víi bµi to¸n “TÝn hiÖu ”®Ó chän hÖ trôc lµ trong bµi to¸n cã chøa c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc nhau , ta sÏ chän c¸c trôc chøa c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc ®ã B­íc II: Phiªn dÞch bµi to¸n h×nh häc sang ng«n ng÷ to¹ ®éB­íc III: Dïng ng«n ng÷ vecter, to¹ ®é ®Ó gi¶i bµi to¸n B­íc IV: Phiªn dÞch bµi to¸n trë l¹i ng«n ng÷ h×nh häc ban ®ÇuC¸c b­íc gi¶i bµi to¸n b»ng Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é Mét sè c¸ch chän hÖ trôc trong kh«ng gianI, ®èi víi h×nh hép ch÷ nhËt – h×nh lËp ph­¬ng:Chän gèc lµ 1 trong 8 ®ØnhBa c¹nh ph¸t xuÊt tõ mét ®Ønh n»m trªn 3 trôcxyzABCDA’B’C’D’II, Chãp tam gi¸c cã gãc tam diÖn ®Ønh vu«ngxyzSABCChän gèc cña hÖ trôc trïng víi ®Ønh cña gãc tam diÖn vu«ngBa trôc chøa ba c¹nh ph¸t xuÊt tõ ®Ønh gãc tam diÖn vu«ng ®ãOxyzCBADIii, Tø diÖn ®ÒuC¸ch I: Dùng h×nh lËp ph­¬ng ngo¹i tiÕp tø diÖn ®ÒuChän hÖ trôc cã gèc trïng víi 1 ®Ønh cña h×nh lËp ph­¬ngBa c¹nh ph¸t xuÊt tõ ®Ønh ®ã n»m trªn 3 trôcD3D2D1Iii, Tø diÖn ®ÒuoABCDxyzGC¸ch II:Hai trôc lÇn l­ît chøa ®­êng cao vµ mét c¹nh t­¬ng øng cña mÆt BCDTrôc cßn l¹i vu«ng gãc víi mÆt BCD ( cïng ph­¬ng víi ®­êng cao AG).Chó ý : Chãp tam gi¸c ®Òu còng chän nh­ c¸ch 2 nµyxyzOABCDSiV, Chãp tø gi¸c cã ®¸y lµ h×nh thoi , c¸c c¹nh bªn b»ng nhauTrôc Oz chøa ®­êng cao SO cña h×nh chãpHai trôc Ox , Oy lÇn l­ît chøa hai ®­êng chÐo ®¸yChó ý : H×nh chãp tø gi¸c ®Òu ( ®¸y lµ h×nh vu«ng vµ c¸c c¹nh bªn b»ng nhau ) còng chän nh­ vËy.V, Chãp tø gi¸c cã ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt , c¸c c¹nh bªn b»ng nhauChän hai trôc chøa hai c¹nh h×nh vu«ng ®¸yTrôc thø ba vu«ng gãc ®¸y ( cïng ph­¬ng víi ®­êng cao SO cña h×nh chãp - trôc Az nµy n»m trong mÆt chÐo SAC)xyzOABCDSABCA’C’B’zxyOVi, L¨ng trô ®øng cã ®¸y lµ tam gi¸c c©nChän hai trôc lÇn l­ît lµ c¹nh ®¸y vµ chiÒu cao t­¬ng øng cña tam gi¸c c©n lµ ®¸y cña chãpTrôc cßn l¹i chøa ®­êng trung b×nh cña mÆt bªnChó ý : L¨ng trô tam gi¸c ®Òu còng chän nh­ vËy.xyzABCDA’B’D’C’oO’VII, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lµ h×nh thoi :Chän trôc cao n»m trªn ®­êng th¼ng nèi t©m hai ®¸yHai trôc kia chøa hai ®­êng chÐo ®¸yChó ý : L¨ng trô tø gi¸c ®Òu còng chän nh­ vËy ( l¨ng trô tø gi¸c ®Òu lµ l¨ng trô ®øng cã ®¸y lµ h×nh vu«ng)ABCA’C’B’zxyViii, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng :Chän ®Ønh tam gi¸c vu«ng ®¸y lµm gèc . Ba trôc chøa ba c¹nh ph¸t xuÊt tõ ®Ønh nµyBµi 1:(§¹i häc khèi B – n¨m 2002)Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD. c¹nh a.a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng vµ b, Gäi M , N , P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh , CD , . TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng MP vµ C¸c bµi to¸n minh ho¹ Lêi gi¶i zA1C1D1ABCDB1xya Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh­ h×nh vÏ : A1 trïng víi O , Ox chøa c¹nh A1B1 , Oy chøa c¹nh A1D1 , Oz chøa c¹nh A1ATrong hÖ trôc ®· chän ta cã :A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) , C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) , A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) , D (0 ; a ; a)zC1D1BCDyaa, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A1B vµ B1D§t A1B qua A1(0 ; 0 ; 0) vµ cã VTCP §t B1D qua B1(a ; 0 ; 0) vµ cã VTCP A1B vµ B1D lµ hai c¹nh ®èi cña tø diÖn A1D1B1B nªn chÐo nhau , do ®ã:Cã ,A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) , C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) ,A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) , D (0 ; a ; a)zA1C1D1ABCDB1xyab, Gäi M , N , P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BB1 , CD , A1D1 . TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng MP vµ C1NzA1C1D1ABCDB1xyaA1(0 ; 0 ; 0) ,B1(a ; 0 ; 0) , C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) ,A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) , D (0 ; a ; a)MNPTa cã M(a ; 0 ; ) ,N( ; a ; a ) ,P( 0; ; 0 ) ,§t MP cã VTCP §t C1N cã VTCP Gäi lµ gãc gi÷a MP vµ C1N , ta cã oASBCxyzGaBµi 2:(§¹i häc khèi A- n¨m 2002)Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ®Ønh S , c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi M , N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh SB , SC . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN biÕt mp(AMN) vu«ng gãc víi mp(SBC).Do S.ABC lµ chãp tam gi¸c ®Òu nªn ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a . Gäi O lµ trung ®iÓm c¹nh AC , ta cã BO vu«ng gãc víi AC.Chän hÖ trôc Oxyz nh­ h×nh vÏ : Ox chøa OB , Oy chøa AC, ( Oz song song SG lµ chiÒu cao chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC )Khi ®ã O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), B( ; 0 ; 0) ( V× OB = )C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; )( )Lêi gi¶i oASBCxyzGaMNO( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), B( ; 0 ; 0) ,C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; )Bµi 3: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB = a , AD = 2a , AA’ = . M lµ ®iÓm thuéc ®o¹n AD , K lµ trung ®iÓm cña B’M1, §Æt AM = m ( ). TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn A’KID theo a vµ m ( trong ®ã I lµ t©m h×nh hép ) . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch ®ã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.2, Gi¶ sö M lµ trung ®iÓm cña AD.a, Hái thiÕt diÖn cña h×nh hép c¾t bëi mp(B’CK) lµ h×nh g× ? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn ®ã theo a.b, CMR ®­êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®­êng kÝnh AA’Lêi gi¶i ADCBA’D’C’B’xyz2aaMmKI Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh­ h×nh vÏ : A trïng víi O , Ox chøa c¹nh AD , Oy chøa c¹nh AB , Oz chøa c¹nh AA’Trong hÖ trôc ®· chän ta cã :A(0 ; 0 ; 0) , B(0; a ; 0) , C(2a ; a ; 0) , D( 2a ; 0 ; 0 ) ,A’(0 ; 0 ; a ) , B’(0 ; a ; a ) ,C’(2a ; a ; a ) , D’(2a ; 0 ; a )1, Do I lµ t©m h×nh hép nªn I lµ trung ®iÓm B’D, suy ra I(a ; ; ) M n»m trªn ®o¹n AD vµ AM = m nªn M(m ; 0 ; 0)K lµ trung ®iÓm B’M nªn Còng v×DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi 2a - m = 2a hay m = 0 , ®iÒu nµy còng ®ång nghÜa M trïng A VËy ADCBA’D’C’B’xyz2aaMNK2a, mp(B’CK) còng chÝnh lµ mp(B’CM) , mp nµy cã ®iÓm chung víi mÆt AA’D’D ë ®iÓm M nªn nã c¾t mÆt AA’D’D theo giao tuyÕn qua M vµ song song víi B’C ( v× B’C song song víi mÆt AA’D’D ) , giao tuyÕn nµy c¾t AA’ t¹i N . Nèi NB’ ta thu ®­îc thiÕt diÖn lµ h×nh thang B’CMN ( do MN song song víi B’C)V× M lµ trung ®iÓm AD nªn M( a ; 0 ; 0)§­êng th¼ng B’C cã vÐct¬ chØ ph­¬ng lµ ChiÒu cao cña thiÕt diÖn B’CMN lµ ADCBA’D’C’B’xyz2aaMNKV× MN song song víi B’C vµ B’C song song víi A’D nªn MN song song A’D , mµ M lµ trung ®iÓm AD nªn N lµ trung ®iÓm AA’2b, CMR ®­êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®­êng kÝnh AA’ADCBA’D’C’B’xyz2aaMNKN lµ trung ®iÓm AA’ nªn MÆt cÇu ®­êng kÝnh AA’ cã t©m lµ N , cã b¸n kÝnh R = AA’/2 , ta cã :VËy ®­êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®­êng kÝnh AA’