Bài giảng môn Hình học khối 11i: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

CHƯƠNG III: QUAN HỆ VUÔNG GÓCGIÁO VIÊN : Hoaøng Sôn HaûiĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNGĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNGDạng I: CM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MP:+)a vuông góc 2 đt cắt nhau của (P) thì a(P)+)a//b;b()=>a ()+)Dùng đ.lý 3 đường v.góc: d;dada’ là h.chiếu0f a trên .Sd0ABC+)Dùng t.c of trục đtròn:ABC có tâm ngt 0;SA=SB=SC=>S0 (ABC)dMH)A2/104. ABCD;ABC và BCD cân chung đáy BC. I tr.điểmBCa)cm: BC(ADI)=>AIBCCm tt ta có: DIBCAI,DI(ADI)=>BC(ADI)b)AH=đcao ADI;cm: AH(BCD)Ta có:AHDI(gt)(1)Do BC(ADI) mà AH(ADI)=>AHBC(2)Vì BC,DI(BCD);BC cắt DI=>AH(BCD)-đpcmABC cân=>tr.tuyến AI cũng là đcaoH3/104. S.ABCD đáy h.thoi, tâm 0; SA=SB=SC=SD.cm:a)S0(ABCD)=>S0ACCm tt ta có: S0BDAC,BD cắt nhau=>S0(ABCD)b)AC(SBD);BD(SAC)Ta có:ACBD(t.c h.thoi)(1)Do S0(ABC) mà AC(ABC)=>ACS0(2)Vì BD,S0(SBD);BD cắt S0=>AC(SBD)Cmtt ta cũng có: BD(SAC)-đpcmSAC cân=>tr.tuyến S0 cũng là đcao4/105. 0ABC có OA,OB,OC vuông góc nhaua)cm: ABC có 3 góc nhọn=>BC2=0B2+0C2= b2+c2 .Mà AB2+AC2=(a2+b2)+(a2+c2)=> BC2Â nhọnCm tt cho góc B,C=>MGọi M=AHBCTa có:OAOB,OAOC=>OAmp(OBC)=>OABC(1)0H(ABC) mà BC(ABC)=>OHBC(2)b)H là hchiếu của 0 lên(ABC).cm là trực tâm ABCĐặt a=0A;b=0B;c=0C5) 0ABC có OA,OB,OC vuông góc nhaub)cm: H là trực tâm ABC MTa có:OAOB,OAOC=>OAmp(OBC)=>OABC(1)0H(ABC) mà BC(ABC)=>OHBC(2)(1) và (2)=>BC(OAH) =>BCAHCm tt ta cũng có : ACHBVậy: H là trực tâmM0A(0BC)cmt=>0A0M=>0AM vuông có đ.cao OH=>0BC vuông có đ.cao OMBC(0AH);AM(0AH)=>BCAMChú ý: Muốn cm ab ta cm: a, mà bcba6)S.ABCD đáy h.thoi; SAđáy; I,K thuộc cạnh SB,SD thỏa :SI/SB =SK/SD;cm:a)BDSC.Ta có:BDAC(tc h.thoi)b)cm: IK(SAC)Mà BD(SAC)-cmt=>KI(SAC)-đpcmBDSA; vì SA(ABC)=>BDmp(SAC)=>BDSC(1)Do SI/SB=SK/SD=>KI//BD7.SABC;SA(ABC);ABC vuông ở B;AMSB ở M;NcạnhSC; SM/SB=SN/SC;cm:a)BC(SAB);AM(SBC)BCAB(gt)=>BC(SAB)-đpcmBCSA; vì SA(ABC)Do AM(SAB) mà BC(SAB)=>AMBC(1)Ta lại có:AMSB(gt);SB,BC(SBC)=>AM(SBC)b)SBAN:Vì SM/SB=SN/SC=>MN//BC, mà BC(SAB)=>MN(SAB)7.SABC;SA(ABC);ABC vuông ở B;AMSB ở M;NcạnhSC; SM/SB=SN/SC;cm:a)BC(SAB);AM (SBC)b)SBAN:Vì SM/SB=SN/SC=>MN//BCmà BC(SAB)=>MN(SAB)=>MNSB(2)AMSB(3)(gt)=>SB(AMN)=>SBAN(đpcm)1/54DC. SABCD đáy hvuong;SA vuong đáya)cm: BD(SAC)1/54dc. SABCD đáy hvuong;SA vuong đáya)cm: BD(SAC)Ta có:BDAC(tc h.vuông)b)cm: CD(SAD)BDSA; vì SA(ABC)=>BD mp(SAC)Ta có:CDAD(tc h.vuông)CDSA; vì SA(ABC)=>CD mp(SAD)2.SABCD hbh tâm 0;SA=SC;SB=SD.cm: S0(ABCD)2.SABCD hbh tâm 0;SA=SC;SB=SD.cm: S0(ABCD)Gt=>SAC cân ở S(SA=SC)Mà S0 là tr.tuyến(t,c hbh)=>S0AC(t.c tam giác cân)t.Tự :S0BDDo AC,BD(ABC)=>S0(ABCD)3.SABCD đáy hthoi;SB=SD;cm:BDSCTa có: BDAC(tc hthoi)Gọi 0 là tâm hbh ABCD=>BDS0; vì SBD cân ở SDo AC,S0(SAC)=>BD(SAC)=>BD SC4.ABCD;ABC vuông ở B;AD(ABC);AE,AF là đcaoDAB,DACa)cm:BCAETa có:BCAB(gt)BCAD;vì AD(ABC)=>BC(ABD)Mà AE(ABD)=>AEBC (1)-đpcmb)cm:AEEFTa có: AEBD(gt) (2)Mà AEBC-cmt=>AE(BCD);do EF (BCD)=>EFAEc)cm:CD(AEF)Ta có: CDAF(AF là đcao)AE(BCD)-cmt, mà CD(BCD)=>CDAEc)cm:CD(AEF)=>CD(AEF)-đpcm5. hv cạnh a. SA= a.SA(ABC).AESB,AFSD. a/ cmSCAEa) cmSCAETa có: SA(ABCD)=>SABCMặt khác ABBC=>BC(SAB)Mà AE(SAB)=>AEBC=>ta lại có:AESB(gt)=>AE(SBC)=>AESCb)SCAFCmtt ta có:AF(SCD)=>AFSCc)G=SC(AEF);cm AGEFGIc)G=SC(AEF);cm AGEFGISAB=SAD(cgc)=>SB=SD,SE=SF=>SE/SB=SD/SF=>EF//DBTa lại có:BDAC(tc hv);BDSA(vì )=>BD(SAC)Mà GSC(SAC)=>G(SAC)=>BDAG; do EF//BD=>EFAG-đpcmDẠNG II: THIẾT DIỆN ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀVUÔNG GÓC VỚI 1 ĐT CHO TRƯỚC))a1)M mà  a;a=>=MxaDẠNG II: THIẾT DIỆN ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀVUÔNG GÓC VỚI 1 ĐT CHO TRƯỚC2) và a=>//a(a)6.ABC;Â=900;AB=AC=a.SB(ABC);SB=2a.a/ CM: SABC có các 4 là 4 tam giác vuông.Tính các cạnhTa có:SB(ABC)=>SBBA; SBBC=>CA(SAB)=>CA SA=>SAC vuông ở A.Vậy 4 mặt của tứ diện SABC6.ABC;Â=900;AB=AC=a;SB(ABC);SB=2a.a/ CM: SABC có các 4 là 4 tam giác vuông.Tính các cạnh=>SAB,SBC vuông ở BCAAB(gt);CASB vì SB(ABC)SA2=SB2+BA2=5a2=>SA=BC=AB2=..;SC2=SB2+BC2=6a2=>SC=b)M trên AB sao cho AM=x. Qua M vẽ mp()góc AB, cắt SA, SC, BC llượt ở N, P, Q. Tìm t.c MNPQ.b)Qua M trên AB vẽ mp()góc AB(0(ABC)=MQ;MQAB=>MQ//ACM,N(SAB)Mà AB và SBAB(ABC)=>(SAB)=MN;MNAB=>MN//SBt.tự,(SBC)=PQ;PQ//SB=>PQMQ(1)(SAC)=PN//MQ//AC(2)=>MNPQ là hcnc)P và SMNPQ;x=?SmaxMQNPTa có: MN//SBc)AB=AC=a;SB=2a;AM=x; x=?SmaxMQ//ACSMNPQa2/2;maxS=a2/2x=a-xx=a/2pMNPQ=2(MN+MQ)=2(a+x)Ta có:MC(ABC)=>(MAC)(ABC)7.ABC đều cạnh a;trên (ABC) tại A lấy Ma)Kẻ BEAC;BFMC;cm:MCEF=>tập hợp điểm F khiM di độngMà BEAC=>BE(MAC)-tc 2mp vgoc=>BEMC; Mặt khác:BFMC=>MC(BEF)=>MCEFMp(MAC)(ABC) qua AC=>(MAC) cố địnhTa lại có E là tr.điểm of AC=>C,E cố địnhVậy,F thuộc đtròn đkính AC of mp(MAC)b)0,H là trực tâm ABC, MBC;cm:0H(MBC)=>qtích HGọi F là tr.điểm BC=>BCAF;BCMFb)0,H là trực tâm ABC, MBC;cm:0H(MBC)=>qtích H=>BC(MAF)mà 0H(MAF)=>BC0H (1)Ta cũng có:MC(BEF)mà 0H(BEF)=>MC0H(2)(1),(2)=>0H(MBC)Do 0,F cố định=>H thuộc đtròn đk0F của mp(F,) cố địnhH0 c)0H=N;cm:AM.AN=const=>AHN,AMF=>AM.AN=AH.AF=(2/3)AF2=a2/2(const)c)Định độ dài AM và AN để MNminTheo cmt, AM.AN=a2/2(const)Mà AM+AN=MN, nên theo bđt cosi:Nên theo bđt cosi:MNminAM=AN=a2/2DẠNG III:GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng +)a’ = h/chiếu của a lên . Ta có: +)Nếu a (a,)=900=>00 900AHM)8.S.ABCD,đáy là hv cạnh a,SA(ABC),SA=a6.Tính góc giữa:a)SC và (ABC):8.S.ABCD,đáy là hv cạnh a,SA(ABC),SA=a6.Tính góc giữa:a)SC và (ABC):Ta có:SA(ABC)=>AC là hchiếu of SC lên (ABC)=>góc =ACS là góc cần tìmb)SC và (SAB)Vì SA(ABC)=>BCSA và BCAB(t.c hv)=>BC(SAB)=>góc giữa BC và (SAB) bằng 900.c)SC và (SBD):Ta có:SA(ABC)=>BDSAMặt khác, BDAC=>BD(SAC)Gọi 0 là tâm hv ABCD=>S0=ACBD=>(SAC)(SBD)=>S0 là hchiếu0f SC lên (SBD)=>góc cần tìm bằng góc of SC và S0( đặt là )=>=arccos(2/13)d)SB và (SAC):d)SB và (SAC):Vì (SAC)(SBD)=>S0 là hchiếu0f SB lên (SAC)=>góc cần tìm bằng góc of SB và S0( đặt là )e)AC và (SBD):Vì (SAC)(SBD)=>S0 là hchiếu 0f AC lên (SAC)=>góc cần tìm là SÔA9.S.ABCD,đáy là hcn, SA(ABC),SA=a, góc giữa SC và (ABC),(SAB) llượt là ,  a/ Xác định ,  Vì SA(ABC)=>AC là hchiếu 0f SC lên (ABC)=>=góc SCA9.S.ABCD,đáy là hcn, SA(ABC),SA=a, góc giữa SC và (ABC),(SAB) llượt là ,  a/ Xác định ,  SA(ABC)=>BCSA, và BCAB =>BC(SAB)=>=góc BSCb)Tính ABTa có: AC=acot;SC=a/sinSBC có:BC=SCsin=asin/sin.ABC có:Bài 7: Tìm 0 cách đều 4 đỉnh của 1 tứ diệnGọi tứ diện SABC có H là tâm đtròn ng.tiếp ABC Dựng Htmp(ABC)Gọi K là trung điểm SBDựng mp(P) là trung trực củaSB;(P)SB tại K(P)Ht=OTa có: HA=HB=HC=>OA=OB=OC(1)Dựng mp(P) là trung trực củaSB;(P)SB tại K; (P)Ht=OOB=OS(t.c mp trung trực);(2)=>OA=OB=OC=OS=>O cách đều A,B,C,SVậy O là điểm cần tìm.Bài 8: S.ABC đáy đều cạnh a;SA=SB=SC=b. G làtrọng tâm ABCa)cm:SG(ABC); SG=?b)mp(P)SC và qua A. a,b?để (P)SC tại M nằmgiữa S và C. Khi đó, tính Sthd .a)Gọi G’ là h.chiếu của S lên mp(ABC)SA=SB=SC=>G’A=G’B=G’C=>G’G(vì ABC đều)Vậy:SG(ABC)a)cm:SG(ABC); SG=?SA=SB=SC=>G’A=G’B=G’C=>G’G(vì ABC đều)Vậy:SG(ABC)Do GA là bk đtròn ng.t ABCSAG vuông ở GMb)mp(P)SC và qua A. a,b?để (P)SC tại M nằmgiữa S và C. Khi đó, tính Sthd .SAC cân, nên M nằm giữa S,C góc S nhọnAC2ABmp(SCG)=>ABSC. Vậy ABmp(P)Mb)mp(P)SC và qua A. a,b?để (P)SC tại M nằmgiữa S và C. Khi đó, tính Sthd .ABSG vì SG (ABC)AB CG(ABC đều)=>ABmp(SCG)=>ABSC.Vậy ABmp(P)HGọi H trung điểm BC=>SHBCMHb)Khi đó, tính Sthd .SH.BC=SC.BM=>BMMB=MA vì SAC= SBC=>ABM cân ở M=>đ.caoMK, K là trung điểm ABK=>Std=9)ABCD có ABCD;AC BD.cm:a)AD BC(tứ diện trực tâm)b)Chân đường cao từ A là trực tâm BCDc)AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2.d)4 đ.cao đồng qui ở 1 điểm H(trực tâm tứ diện)a)ADBC:(Vì ACBD;ABCD)=>AD BC(đpcm)C2: dựng AK (BCD) tại KC2: dựng AK (BCD) tại KAKCD( vì AK(BCD))ABCD(gt)=>CD mp(ABK)=>CD BKCmtt ta có: BDCK=>K là trực tâm BCD=>BCDK(1)Mà AK (BCD)=>BC AK(2)(1) và (2)=>BC(ADK)=>BCADb)Chân đường cao từ A là trực tâm BCDCách 2 câu a) đã cm câu b)c)AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2.c)AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2.(Đúng, vì BCAD)d)4 đ.cao đồng qui ở 1 điểm H(trực tâm tứ diện)d)4 đ.cao đồng qui ở 1 điểm H(trực tâm tứ diện)Gọi E,F lần lượt là h.chiếu của B lên CD, (ADC)CD(ABK)cmt tức CD (ABE)(3)Mà BF (ACD)=>CD BF(4)(3),(4)=>BFmp(ABE)Vậy AKBF=H trong (ABE)Cmtt ta cũng có: đcao CP của tứ diệncắt AK,BF lần lượt tại I,JI=CPAK;AKmp(ABE)=>I=CP(ABE)t.Tự J=CP(ABE); CP(ABE)=>IJ Hhttt ta có: 4 đcao đồng qui tại H10)S.ABC đáy ABC vuông ở B;SA(ABC)AB=a;AC=SA=2aa)Cm : 4 mặt của h.chóp là những tam giác vuôngTa có:ABC vuông ở B(gt)SA(ABC)=>SAAB;SA ACBC AB; AB là h.chiếu của SB lên (ABC)=>BC SB=> SBC vuông ở BVậy: 4 mặt b)Gọi AH là đ.cao SAB;cm: AH (SBC)C2: SABC,vì SA(ABC)1)Mà ABBC(2) =>BC(SAB)=>BCSBAH SB(gt)(3)Mà AHSAB)=>AH BC(5) b)Gọi AH là đ.cao SAB;cm: AH (SBC)BC (SAB))(cmt)(4)(3),(5)=>AH (SBC)c)Tính góc giữa : SC và (ABC)AC là h.chiếu của SC lên (ABC)=>Góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và ACĐặt số đo của nó là => BÂC=600c)Tính góc giữa : SC và (ABC)AC là h.chiếu của SC lên (ABC)=> =450d)Gọi E,F trung điểm SA,SBTính góc giữa EF và ACDo EF//AB(t.c trung bình)=>góc giữa EF và AC bằng góc giữa AB và AC=BÂC11. Hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh aSA  (ABCD), SA= . Tính góc giữa :a)cm: 4 mặt bên là những tam giác vuôngSA(ABCD)=>SAAB;SAAD=>SAB; SAD vuông ở AABBC(t.c h.vuông)BCSA;vì SA (ABC) =>BC(SAB)=>BCSBVậy SAB vuông ở B Cmtt ta có: CD(SAD)=>CD SD=>SCD vuông ở D Vậy: 4 mặt bên11. Hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh aSA  (ABCD), SA= . Tính góc giữa :a)cm: 4 mặt bên là những tam giác vuôngSA(ABCD)=>SAAB;SAAD=>SAB; SAD vuông ở AABBC(t.c h.vuông)BCSA;vì SA (ABC) =>BC(SAB)=>BCSBVậy SAB vuông ở B Cmtt ta có: CD(SAD)=>CD SD=>SCD vuông ở D Vậy: 4 mặt bênb)Góc of BC và AC’BC//B’C’=>góc AC’ vàBC bằng góc AC’và B’C’=gócAC’HAHC’ có: tgAC’H=AH/C’H=3 c)Góc (ABB’) và đáyKIGọi K,I là tr.điểm A’B’;B’K;HI//C’K=>HIA’B’;AHA’B’=>A’B’(AHI)=> góc cần tìm là AIH;tgAIH=AH/HI=239/60. ABCD có ABC đều, cạnh aADBC;AD=a;d(D,BC)=a;H,I làtr.điểm BC,AHa)cm: BC(ADH)BCAH và BCAD=>BC(ADH)=>BCDH=>DH=ab)cm: DI(ABC)DAH cân ở D vì có DA=DH=a=>DIAH. Mặt khác:BC(ADI) mà DH(ADI)=>DIBC=>DI(ABC)9/60. ABCD có ABC đều, cạnh aADBC;AD=a;d(D,BC)=a;H,I làtr.điểm BC,AHc)Tìm đoạn vuông góc chung of AD,BCTrong (ADH) kẻ HKAD ở KBC(ADH)=>BCHK=>HK là đoạn thẳng cần tìm;HK.AD=AH.DIDI2=AD2-AI2=a2-3a2/16=13a2/16=>DI=Ta có:HK.AD=AH.DI=>HK=10/60. S.ABCD đáy hthoi cạnh a,tâm 0;Â=600.S0=a và là đca)Tính d(0,SBC)Gọi E,F lần lượt là tr.điểm of BC,BE HGt=>BCD đều=>DEBCMà 0F//DE=>0FBC mà S0BC=>BC(S0F)Kẻ 0HSF ở H=>0H(SBC)BCD=>DE=a3/2=>0F=a3/4b)d(AD,SB)10/60. S.ABCD đáy hthoi cạnh a,tâm 0;Â=600.S0=a và là đcHb)d(AD,SB)KILấy I đ.x F qua 0;K đx F qua H=>IAD và 0H là tr.bình FIK=>IK//0H=>IK(SBC)Vì AD//BC=>AD//(SBC)=>d(AD,SBC)=d(I,SBC)=IK=20H=11.S.ABCD đáy hv cạnh a;SAD đều,(SAD)(ABC)a)Tính d(AD,SB)Gọi E là tr.điểm AD=>SEADMà (SAD)(ABC)=>SE(ABC)HGọi I là tr.điểm BC=>EIBCMà SEBC=>BC(SEI)=>(SBC)(SEI)Kẻ EHSI=>EH(SBC)b)d(SA,BD)b)d(SA,BD)KJFGọi F là tr.điểm 0D;J đ.x F qua E=>AJDF là hcn=>AJEJMặt khác:AJSE vì SE(ABC)=>AJ(SJE)=>(SAJ) (SJE)Trong (SJE) kẻ EKSJ ở K=>EK(SAJ)-tc 2mp vuông gócSEJ vuông có:EJ=EF=A0/2=a2/412.(DH10) S.ABCD đáy hv cạnh aM,N lluot là tr.điểm AB,AD;H=CNMD;SH(ABC);SH=a3.Tính VSCDMN và d(MD,SC)SCDMN=SABCD-SAMN-SCMB=a2-(1/2)a2/4-a2/4=5a2/8cmDMCN và MD SH=>DM (SMC)Ta có: AMD=DNC(cgc)=>gócADM=gocDCNCm CNMDMà góc ADN+MDC=900=>gócMDC+DCN=900=>CNMDMặt khác MDSH cmt=>MD(SNC)NM=>DM (SNC)=>(SDM) (SNC)DNC vuông=>CD2=CH.CNKTrong (SNC),kẻ HKsc(1)=>mà MD(SMC)=> HKMD(2)=> HK là đoạnVgóc chung of DM,SC4.Hhcn AB=AA’=a;AC’=2aa)d(D,(ACD’)Dựng DIAC tại IMà DD’AC(t.c hhcn)=>AC(DD’I)=>(ACD’)(DD’I)Dựng DH D’I tại H=>DH(ACD’)(t.c 2 mp vuông góc)AC2=AC’2-AA’2=3a2=AD2+CD2=>AD2=2a2=>AD=a2b)Dựng và tính độ dài đườngVuông góc chung của AC’;CD’Theo cmt=>CDD’C’ là h.vuôngcạnh a=>CD’C’DMà ADC’D(t.c hhcn)=>CD’(C’DA)=>C’DA vuông cân tại DGọi H trung điểm AC’;F trung điểm C’A=>EF là trung bình của C’DHEF//DH;DHAC’=>EFAC’EF(C’DA)=>EFCD’; vậy EF là đoạn vuông góc chung của5.S.ABCD đáy hcn AB=2a;BC=a;các cạnh bên a2a)Tính d(S,(ABCD)Gọi O=ACBD=>O là tâm đườngtròn ngoại tiếp hcn ABCDDo SA=SB=SC=SD=>S thuộc trụcđtròn ngoại tiếp đáy ABCD=>SO là trục=>SOABCD=>SO=d(S,(ABCD))Ta có: AC2=AB2+BC2=5a2=>AO2=5a2/4SOA vuông ở H=>b)E,F trung điểm AB,CD;KADCm: d(EF,SK) k0 phụ thuộc K.TínhTa có: EF//AD(t.c hcn)=>EF//mp(SAD);mà SK(SAD)=>d(EF,SK)=d(EF,(SAD)=d(O,(SAD)) constIHGọi I trung điểm AD=>AD0I;ADSI=>AD(SAD)=>(SAD)(S0I).Dựng 0HSI tại K=>0H(SAD)(t.c2mp v.góc)0I=AB/2=aS0I vuông có: