Bài giảng môn Đại số lớp 7 - Tuần 30, 31: Đa thức, đa thức một biến, cộng trừ đa thức

TuÇn 30-31 ĐA THỨC, ĐA THỨC MỘT BIẾN, CỘNG TRỪ ĐA THỨC, + Đa thức là một số hoặc một đơn thức hoặc một tổng (hiệu) của hai hay nhiều đơn thức. Mỗi đơn thức trong một tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó. + Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong hạng tử ở dạng thu gọn. + Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức cùng với dấu của chúng rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có). + Muốn trừ hai đơn thức, ta viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng rồi viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại. Sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng của hai đa thức (nếu có). + Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến. Do đó mỗi một số cũng được coi là đa thức của cùng một biến. + Bậc của đa thức một biến khác đa thức không (sau khi đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến có trong đa thức đó. + Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số đi cùng phần biến có số mũ lớn nhất. Hêï số tự do là số hạng không chứa biến. + Người ta thường dùng các chữ cái in hoa kèm theo cặp dấu ngoặc (trong đó có biến) để đặt tên cho đa thức một biến. Ví dụ: A(x) = 3x3 + 5x + 1. Do đó giá trị của đa thức tại x = -2 là A(-2). + Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó. Đa thức bậc n có không quá n nghiệm. 1/ Tóm tắt lý thuyết: 2/ Bài tập: Bài 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức: 3x2; 5x2-4xy; 18; -9xy + 3y3; ; 0; -2 Đa thức : 3x2; 5x2-4xy; 18; -9xy + 3y3 ; 0; -2 Bài 2: Thu gọn các đa thức sau và xác định bậc của đa thức kết quả: M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + 3 – y9. = (2x2y4 + 3x2y4 ) + ( 4xyz – 4xyz ) + (– 2x2 - y9 ) + (-5 + 3 ) = 5x2y4 – 2x2 - y9 - 2 Bậc của đa thức là 6 Bài 3 : Tính giá trị của các đa thức : 5x2y – 5xy2 + xy tại x = -2 ; y = -1. xy2 + x2y – xy + xy2 - x2y + 2xy. Tại x = 0,5 ; y = 1. a) Thay x = -2 ; y = -1 vào 5x2y – 5xy2 + xy Ta được 5.(-2) 2.(-1) - 5(-2)(-1)2 + (-1).(-2) = -8 Vậy -8 là giá trị của biểu thức 5x2y – 5xy2 + xy tại x = -2 ; y = -1. b) xy2 + x2y – xy + xy2 - x2y + 2xy = (xy2 + xy2) + (x2y - x2y) + (– xy + 2xy ) = xy2 - x2y + xy Thay x = 0,5  = ; y = 1 vào xy2 - x2y + xy Ta được ..12 - .()2.1 + .1 = - + = Vậy là giá trị của biểu thức xy2 - x2y + xy tại x = 0,5 ; y = 1. Bài 4 : Tính tổng của 3x2y – x3 – 2xy2 + 5 và 2x3 -3xy2 – x2y + xy + 6. ĐS : 2x2y + x3 – 5xy2 + xy + 11 Bài 5 : Cho đa thức A = 5xy2 + xy - xy2 - x2y + 2xy + x2y + xy + 6. Thu gọn rồi xác định bậc của đa thức kết quả. Tìm đa thức B sao cho A + B = 0 Tìm đa thức C sao cho A + C = -2xy + 1. a)A = (5xy2 - xy2 ) + ( xy + 2xy + xy ) + (- x2y + x2y ) + 6 = 4 xy2 + 4xy + x2y + 6 bậc của đa thức là 3 b) vì B + A = 0 nên B là đa thức đối của đa thức A => B = -5xy2 - xy + xy2 + x2y - 2xy - x2y - xy - 6. c) Ta cĩ A + C = -2xy + 1. Nên 4 xy2 + 4xy + x2y + 6 + C = -2xy + 1. C = -2xy + 1. – (4 xy2 + 4xy + x2y + 6 ) = -6xy - 4 xy2 - x2y - 5 Bài 6. Cho hai đa thức: P(x) = 2x4 − 3x2+ x − và Q(x) = x4 − x3 + x2 + a. Tính M (x) = P(x) + Q(x) b. Tính N(x) = P(x) − Q(x) và tìm bậc của đa thức N(x). Bài 7 : Cho đa thức : A = 4x2 – 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy - y2 Tính A + B; A – B ; B – A A + B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) + (3x2 + 2xy - y2 ) = (4x2 + 3x2 ) + (-5xy + 2xy ) +( 3 y2 - y2 ) = 7x2 - 3xy + 2y2 A - B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) - (3x2 + 2xy - y2 ) = (4x2 - 3x2 ) + (-5xy - 2xy ) +( 3 y2 + y2 ) = x2 - 7xy + 4y2 B - A = (3x2 + 2xy - y2 ) - (4x2 – 5xy + 3y2 ) = (3x2 - 4x2 ) + (2xy + 5xy ) +( - y2 -3 y2 ) = -x2 +- 7xy - 4y2 Bài 8 : Tìm đa thức M,N biết : M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 (3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2 ĐS : M = x2 + 11xy - y2 N = -x2 +10xy -12y2 Bài 9 : Cho đa thức A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3 B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5 Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); A(x) + B(x) = 11x4 – 11/15x3 + 2x2 - 9x -13/5 A(x) - B(x) = -5x4 – 19/15x3 + 2x2 + 9x -17/5 B(x) - A(x) = 5x4 + 19/15x3 - 2x2 - 9x +17/5 Bài 10 : Hãy viết các đa thức dưới dạng tổng của các đơn thức rồi thu gọn. a/ D = 4x(x+y) - 5y(x-y) - 4x2 b/ E = (a -1) (x2 + 1) - x(y+1) + (x +y2 - a + 1) ĐS : D = 5y2 - xy E = ax2 - x2 + y2 - xy Bài 11: Xác định a, b và c để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất A = ax2 - 5x + 4 + 2x2 – 6 = (a + 2 )x2 - 5x - 2 B = 8x2 + 2bx + c -1 - 7x = 8x2 + ( 2b – 7 )x + c – 1 Để A và B là hai da thức đồng nhất thì a + 2 = 8 => a = 6 ; 2b – 7 = -5 => b = 1 ; c - 1 = -2 => c = - Bài 12: Cho các đa thức : A = 16x4 - 8x3y + 7x2y2 - 9y4 B = -15x4 + 3x3y - 5x2y2 - 6y4 C = 5x3y + 3x2y2 + 17y4 + 1.Tính A+B-C A + B – C = x4 - 10x3y - x2y2 - 32y4 - 1 Bài 13: Cho đa thức M(x) = -9x5 + 4x3 – 2x2 + 5 x – 3. Tìm đa thức N(x) là đa thức đối của đa thức M(x). N(x) = 9x5 - 4x3 + 2x2 - 5 x + 3. Bài 14: Tính giá trị của các đa thức sau biết x - y = 0 a/ M = 7x - 7y + 4ax - 4ay - 5 b/ N = x (x2 + y2) - y (x2 + y2) + 3 M = 7( x - y ) + 4a( x – y ) – 5 Vì x – y = 0 nên giá trị của biểu thức M là -5 N = x.x2 + x.y2 - yx2 - y.y2 + 3 = x2 ( x – y ) + y2 (x – y ) + 3 = 3 Bài 15 (1điểm) Tìm đa thức A biết: A+ (3x2y −2xy3) = 2x2y − 4xy3 A = ( 2x2y − 4xy3 ) – ( 3x2y −2xy3 ) = (2x2y - 3x2y) + (-4xy3 + 2xy3 ) A = -x2y - 2xy3 Bài 16. Cho đa thứcA = −2xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1 a. Thu gọn đa thức A. b. Tính giá trị của A tại x = ; y = − 1. a) A = 3xy2 + 8xy + 1 b) Thay x = ; y = − 1 vào biểu thức 3xy2 + 8xy + 1 Ta được 3. .(-1) + 8. .(-1) + 1 = - 4 + 1 = - Vậy - là giá trị của biểu thức trên tại 3xy2 + 8xy + 1 Bài 17: Cho đa thức f(x) = 2x3 – x5 + 3x4 + x2 - x3 + 3x5 – 2x2 – x4 + 1. Thu gọn và xác định bậc của đa thức trên. Xắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. Tính f(1); f(-1) 2x3 – x5 + 3x4 + x2 - x3 + 3x5 – 2x2 – x4 + 1 = (– x5+ 3x5 ) + (3x4 – x4) + (2x3 - x3) +( x2 – 2x2) + 1 = 2 x5 + 2x4 + x3 - x2 + 1 Bậc 5 b) 2 x5 + 2x4 + x3 - x2 + 1 c) f(1) = ; f(-1) = - Bài 18: Cho A(x) = 3x5 + 2x4 – 4x3 + x2 – 2x + 1 và B(x) = -x4 + 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 2 – 3x4. Thực hiện thu gọn (nếu có) các đa thức trên. Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x). B(x) = -x4 + 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 2 – 3x4. = (-x4 – 3x4 ) + ( 3x3 + x3) -2x2 – 3 x + 2 = -4x4 + 4x3 -2x2 – 3 x + 2 Bài 19: Cho đa thức P(x) = 2x3 + 2x – 3x2 + 1 Q(x) = 2x2 + 3x3 – x – 5 Tính: a. P(x) + Q(x) b. P(x) – Q(x) a ) P(x) + Q(x) = 5x3 – x2 + x – 4 b) P(x) – Q(x) = -x3 – 52 + 3x + 6 Bài 20 (2 điểm) Cho đa thức M = x2+ 5x4 − 3x3+ 4x2 + x4 +3x3 −x + 5 và đa thức N=x −5x3− 2x2−8x4+ 4x3−x+5. a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến; b. Tính M + N, M − N ; a) M = x2+ 5x4 − 3x3+ 4x2 + x4 +3x3 −x + 5 = 6x4 + 5x2 − x + 5 N = x − 5x3 − 2x2 −8x4 + 4x3 − x + 5. = −8x4 - x3 − 2x2 + 5. b) M + N = −2x4 - x3 + 3x2 - x + 10 M – N = 14x4 + x3 + 7x2 - x Bài 21 : Tính đa thức h(x) sao cho h(x) = g(x) – f(x): f(x) = x2 + 2x – 1 và g(x) = x + 3. f(x) = x4 – 3x3 + 2x – 1 và g(x) = - 5x4 + 3x3 – 2 x2 – 5x + 3 h(x) = g(x) – f(x) = -x2 - x + 4 h(x) = g(x) – f(x) = -6x4 + 6x3 – 2 x2 - 7x – 1 + 4 Bài 22: Cho f(x) + g(x) = 6x4 - 3x2 - 5 f(x) - g(x) = 4x4 - 6x3 + 7x2 + 8x - 9 Hãy tìm các đa thức f(x) ; g(x) Ta cĩ f(x) + g(x) + f(x) - g(x) = 10x4 - 6x3 + 4x2 + 8x – 14 2f(x) = 10x4 - 6x3 + 4x2 + 8x – 14 f(x) = 5x4 - 3x3 + 2x2 + 4x – 7 g(x) = ( 6x4 - 3x2 – 5 ) - (5x4 - 3x3 + 2x2 + 4x – 7) = x4 + 3x3 - 5x2 - 4x + 2 Bài 23: Cho f(x) = ax3 + 4x(x2 - x) + 8 g(x) = x3 - 4x(bx +1) + c- 3 Trong đĩ a, b, c là hằng.Xác định a, b, c để f(x) = g(x) f(x) = ax3 + 4x(x2 - x) + 8 = ( a + 4 )x3 - 4x2 + 8 g(x) = x3 - 4x(bx +1) + c- 3 = x3 – 4bx2 - 4x + c- 3 Để f(x) = g(x) thì a + 4 = 1 => a = -3 4b = 4 => b = 1 c - 3 = 8 => c = 11