Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

TS Trần Văn VuôngTS Trần Văn Vuônggiải toán 12 trêN máY tính TP Hồ Chí Minh – tháng 6/2008 1 NỘI DUNG ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số2.Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit3.Tích phân và ứng dụng4.Số phức5.Phương pháp toạ độ trong không gian2MỘT SỐ CHÚ íQuy ước: Khi tính gần đúng, chỉ ghi kết quả đã làm tròn với 4 chữ số thập phân. Nếu là số đo góc gần đúng tính theo độ, phút, giây thì lấy đến số nguyên giây.Máy tính giúp ta tính giá trị (nói chung là gần đúng) của hàm số bất kỳ nếu ta nhập chính xác biểu thức của hàm số đó vào máy và cho biết giá trị cụ thể bằng số của đối số.3 I/ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán I.1 Xét sự biến thiên của hàm sốy = x4 - 8x3 + 22x2 + 24x + 1. Ta có y’ = 4x3 - 24x2 + 44x - 24. Nhờ máy tìm nghiệm của đạo hàm.VINACALKQ: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.Bảng biến thiên: x -  1 2 3  y’ - 0 + 0 - 0 + y 4 I/ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐBài toán I.2. Tìm gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x4 - 3x2 + 2x + 1. Ta có y’ = 4x3 - 6x + 2. Nhờ máy tìm các nghiệm của đạo hàm.VINACALKQ: x1-1,366025404; x2 = 1; x3  0,366025404. Nhập biểu thức của hàm số vào máy rồi nhờ máy tính các giá trị cực tiểu, cực đại tương ứng.VINACALKQ: yCT1  - 3,8481; yCT2 = 1; yCĐ  1,3481.5 Bài toán I.3. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của hàm số Hàm số xác định trên đoạn [1; 2,5]. Ta có . Đạo hàm có nghiệm duy nhất x = 1,5. Nhập biểu thức của hàm số vào máy rồi nhờ máy tính giá trị của hàm số tại các điểm x1 = 1, x2 = 1,5 và x3 = 2,5. So sánh các giá trị đó rồi kết luận. VINACALKQ: max y  2,1213; min y  1,2247.6 Bài toán I.4. Tìm gần đúng toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x2 + 7x - 5 và . Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình (x2 + 7x - 5)(x - 4) = x2 - 2x + 3 hay x3 + 2x2 - 31x + 17 = 0.Nhờ máy tính gần đúng các nghiệm của pt trên. VINACALKQ x1- 6,871456582; x2  0,5759514447;x3  4,295505137.Nhập biểu thức x2 + 7x - 5 vào máy rồi nhờ máy tính gần đúng giá trị của biểu thức đó tại ba giá trị của x đã tìm được ở trên. Đó chính là giá trị gần đúng của các tung độ giao điểm. VINACALKQ: A(- 6,8715; - 5,8833), B (0,5760; - 0,6362), C(4,2955; 43,5198).7 Bài toán I.5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 2x2 + 4x - 1 tại điểm A(2; 7). Nhờ máy tính đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x = 2. Sau đó, viết phương trình tiếp tuyến dưới dạng y = y’(2)(x – 2) + 7. VINACALKQ: y = 8x - 9. 8 Bài toán I.6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 4x2 + x - 2 đi qua điểm A(1; - 4). Đường thẳng đi qua điểm A có phương trình dạng y = k(x - 1) - 4. Hoành độ tiếp điểm và hsg k là nghiệm của hệ pt Khử k từ hệ phương trình đó ta có pt 2x3 - 7x2 + 8x - 3 = 0. Nhờ máy tìm được hai nghiệm của phương trình này. Sau đó tìm được giá trị tương ứng của k rồi viết được phương trình hai tiếp tuyến. VINACALKQ: x1 = 1,5; x2 = 1; k1 = - 4,25; k2 = - 4; y = - 4,25x + 0,25 và y = - 4x. 9 II. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũvà hàm số lôgaritBài toán II. 1 Tớnh gần đỳng giỏ trị của biểu thức VINACALKQ: A 0,013610 II. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũvà hàm số lôgaritBài toán II. 2 Giải phương trình 32x + 5 = 3x + 2 + 2. Đặt t = 3x + 2 thì t > 0 và ta có phương trình3t2 - t - 2 = 0.t1 = 1; t2 = - 2/3 (loại). VINACALKQ: x = - 2.11 Bài toán II. 3 Giải gần đúng phương trình 9x - 5.3x + 2 = 0. Đặt t = 3x thì t > 0 và ta có phương trìnht2 - 5t + 2 = 0.VINACALt1 ≈ 4,561552813; t2 ≈ 0,438447187 KQ: x1 ≈ 1,3814; x2 ≈ - 0,7505.12 Bài toán II. 4 Giải phương trình Lấy lôgarit cơ số 3 của hai vế ta được2 – log3x = 4 + log3x log3x = - 1. VINACALKQ: x = 1/3.13 Bài toán II.5. Giải phương trình  Đặt t = log2x thì ta có phương trình 3t2 - 5t - 2 = 0. VINACALt1 = 2, t2 = -1/3KQ: x1 = 4; 14 Bài toán II.6. Giải gần đúng phương trình   Đặt t = log2x thì ta có phương trình 8t2 - 5t - 7 = 0.VINACALt1 ≈ 1,29873365; t2 ≈ - 0,673733364 KQ: x1 ≈ 2,4601; x2 ≈ 0,6269.15 III/TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài toán III.1. Tính các tích phân VINACALKQ: a) 95/6; b) 0,5; c) 1.Bài toán III.2 Tính gần đúng các tích phân VINACALKQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673.16 III/ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGBài toán III.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x2 + 5x - 2 và y = x3 + 2x2 - 2x + 4. pthđ gđ : x3 + 2x2 - 2x + 4 = 2x2 + 5x - 2 hay x3 - 7x + 6 = 0 . Giải ra x1 = -3 , x2 =1, x3=2 Diện tích đó bằng VINACALKQ: S = 32,75.17 III/ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGBài toán III.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 +5x -1 ;y = x3 + 4x2+ 5x -5 quay quanh trục Ox. Pthđgđ: x3 +3x2 -4 = 0 x1=-2; x2 = 1.Thể tích đó là VINACALKQ: 18 IV/SỐ PHỨCBài toán IV.1. Tính VINACALKQ: 19 IV/ SỐ PHỨCBài toán IV.2. Giải phương trình x2 - 6x + 58 = 0. VINACALKQ: x1 = 3 + 7i; x2 = 3 - 7i.Bài toán IV.3. Giải gần đúng phương trình x3 - x + 10 = 0. VINACALKQ: x1 ≈ - 2,3089; x2 ≈ 1,1545 + 1,7316i; x3 ≈ 1,1545 - 1,7316i.20 IV/ SỐ PHỨCBài toán IV.3. Giải gần đúng phương trình 2x3 + 3x2 - 4x + 5 = 0. VINACALKQ: x1 ≈ - 2,6245; x2 ≈ 0,5624 + 0,7976i; x3 ≈ 0,5624 - 0,7976i.21CÁC PHẫP TOÁN TRấN VECTƠ-Ấn MODE MODE MODE 3 để vào TOÁN VECTƠ( phải nhập từ một đến ba vectơ cú cựng số chiều, vectơ được lưu vào Vct Ans, dựng được vectơ này trong cỏc phộp toỏn kế tiếp)NHẬP VECTƠ , ấn SHIFT VCT 1( Dim) rồi xỏc định tờn vectơ nhập(A,B hay C)rồi nhập Dim và tiếp theo cỏc thành phần tọa độ, ấn cỏc dấuTam giỏc” để xem cỏc giỏ trị tọa độ, thoỏt khỏi màn hỡnh ấn AC.Chỉnh sửa thỡ ấn SHIFT VCT 2, ta xem lại và chỉnh sửa nếu cần .Phộp toỏn trờn vectơ thỡ ấn SHIFT VCT 3, Chọn tờn vectơ thứ nhất , phộp toỏn +,-,. (Dot) ( tớch vụ hướng) ,x(tớch cú hướng) và tiếp tục nhập vectơ thứ 2( theo tổ hợp phớm trờn) hay số ( phộp x một số với một vectơ).-Ấn SHIFT ABS VCT 3 chọn tờn vectơ để tớnh độ dài vectơ đú.- Dựng định nghĩa tớch vụ hướng để tớnh gúc giữa hai vectơ. V/PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIANVớ dụ : Cho VINACALKQ: (9;12;15) 32 (-3;6;-3) 0 23 V/PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIANVớ dụ : Cho VINACALKQ: (9;12;15) 32 (-3;6;-3) 0 24 V/PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIANBài toán V.1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -3; 2), B(5; 6; 1), C(- 4; - 7; 4). Xét phương trình dạng ax + by + cz + d = 0. Thay toạ độ ba điểm đã cho vào ta được hệ 3 phương trình của 4 ẩn a, b, c, d.VINACALKQ: 14x - 3y + 29z - 81 = 0.25 V/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIANBài toán V.2. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; -3), B(3; 5; 6),C(5; - 4; - 7), D(9; 0; 1). Xét phương trình dạng x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0. Thay toạ độ bốn điểm đã cho vào ta được hệ 4 phương trình của 4 ẩn a, b, c, d.VINACALKQ: 26 V/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIAN Bài toán V.3. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; - 7; 5).a) Tính gần đúng độ dài các cạnh của tam giác.b) Tính gần đúng các góc (độ, phút, giây) của tam giác.Tính gần đúng diện tích của tam giác.VINACALKQ: a) AB  10,0499; BC  7,0711; CA  16,5831. b) c) S  17,3638.27V/PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIANBài toán V.4. Cho hai đường thẳnga)Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đường thẳng đó. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(10; 2; 1) và vuông góc với đường thẳng d2.c/Tìm toạ độ giao điểm M của đường thẳng d1 và mặt phẳng (P). VINACAL là VTCP d1, d2KQ: a)   62023’0”. b) (P): 5x - 4y - 9z - 33 = 0. c) 28V/PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIAN Bài toán V.5. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4;- 5), C(3; - 4; 7), D(5; 9;- 2).a) Tính tích vô hướng của hai vectơ và . b) Tìm tớch cú hướng hai vectơ của hai vectơ và .Tính thể tích khối tứ diện ABCD.VINACALKQ: a) - 50. b) (8; - 4; - 6). c) V = 3.29 V/PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIANBài toán V.6. Cho hai đường thẳnga) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đường thẳng đó. Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. ,d lần lượt đi qua A(3;-2;0) , B(1:2;-1)cú VTCP VINACALKQ: a)   69043’56”. b) 0,5334.30CÂU HỎI THẢO LUẬN Theo anh chị nờn giới thiệu cho học sinh cỏch sử dụng mỏy tớnh cầm tay để giải toỏn phổ thụng như thế nào cho cú hiệu quả ?XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN