Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Tính đơn điệu của hàm số (Tiếp)

§1. Tính đơn điệu của hàm số: Nhắc lại các định nghĩa: Cho y = f(x) là một hàm số xác định trên K (K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng). f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu "x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2). f(x) được gọi là nghịch biến trên K nếu "x1, x2 Î K, x1 f(x2). Nói một cách khác, nếu f(x) là xác định trên K thì: f(x) đồng biến trên K Û "x Î K, thì f(x) nghịch biến trên K Û "x Î K, thì Từ đó, ta chứng minh được mệnh đề sau: Giả sử f(x) có đạo hàm trên I Nếu f(x) đồng biến trên khoảng I thì f ’(x) ³ 0 "x Î I. Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f ’(x) £ 0 "x Î I. Đảo lại: Nếu f(x) f ’(x) > 0 "x Î I thì f(x) đồng biến trên khoảng I. Nếu f(x) f ’(x) < 0 "x Î I thì f(x) nghịch biến trên khoảng I. Nếu f(x) f ’(x) = 0 "x Î I thì f(x) không đổi trên khoảng I. Bài tập áp dụng: 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: a) y = x + sinx; b) y = x – sinx; c) ; d) ; ; 2. CMR: Nếu "u, v thỏa mãn điều kiện u £ v, ta luôn có u3 – 3u £ v3 – 3v + 4. 3. Cho hàm số: f(x) = x4 + 2mx2 + m, m là tham số. a) Tìm tất cả các giá trị của m để f(x) > 0 "x. b) Với các giá trị tìm được ở trên, chứng minh rằng hàm số F(x) = f(x) + f ’(x) + f ’’(x) + f ’’’(x) + f (4)(x) > 0 "x. 4. Cho hàm số a) CMR: "k ≠ 2, đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. b) Xác định k để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +¥). 5. Cho hàm số y = f(x) = x3 + ax + 2 (a là tham số). Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. §2. Cực trị của hàm số: 1. Khái niệm: Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập D và x0 Î D x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu $ khoảng (a; b) chứa x0 sao cho (a; b) Ì D và f(x) < f(x0) "x Î (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x). x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu $ khoảng (a; b) chứa x0 sao cho (a; b) Ì D và f(x) > f(x0) "x Î (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x). 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì f ’(x0) = 0. 3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lý 2: Hàm số f(x) liên tục trên (a; b), chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó: - Nếu f ’(x) 0 "x Î (x0; b) thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. - Nếu f ’(x) > 0 "x Î (a; x0) và f ’(x) < 0 "x Î (x0; b) thì f(x) đạt cực đại tại x0. Quy tắc I: + Tìm f ’(x) + Tìm xi (i = 1, 2, . . .) để f ’(x) = 0 hoặc f(x) liên tục nhưng không có đạo hàm. + Xét dấu f ’(x). Nếu f ’(x) đổi dấu qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. Định lý 2: Hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa x0 , f ’(x0) = 0 và tồn tại f ’’(x0) ≠ 0. Nếu f ’’(x0) 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. Quy tắc II: + Tìm f ’(x) + Tìm xi (i = 1, 2, . . .) của phương trình f ’(x) = 0. + Tính f ’’(x) và tính f ’’(xi). Nếu f ’’(xi) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xi. Nếu f ’’(xi) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại xi. Bài tập áp dụng: 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2. CMR: hàm số và y = x3 – 3mx2 + (m - 1)x + 2 có cực trị "m. 3. Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m3 – 3m. CMR: "m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu; đồng thời CMR: khi m thay đổi, các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đường thẳng cố định. 4. Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x) = m2x4 – 2x2 + m. Từ đó xác định m sao cho f(x) ³ 0 "x. 5. Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; +¥) 6. CMR: hàm số có cực trị "m và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi. §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: ; Hàm số f(x) liên tục trên một đoạn thì nó đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]: + Tìm các điểm x1, x2, x3, . . . , xm Î [a; b] sao cho f(xi) = 0 hoặc không xác định. + Tính f(x1), f(x2), f(x3), . . . , f(xm), f(a), f(b). + So sánh các giá trị đó và lấy: Nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có duy nhất một số cực trị thì giá trị cực trị đó là giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a; b). Bài tập áp dụng: 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = sin42x + cos42x; b) y = sin6x + cos6x. 2. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: a) y = 1 + 8x – 2x2; b) y = 4x3 – 3x4. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4; 4]; b) y = ïx2 – 3x + 2ï trên đoạn [-10; 10]; trên đoạn [-1; 1]; d) y = sin2x – x trên đoạn 5. Cho trước chu vi hình chữ nhật là p = 16cm. Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. 6. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48cm2. Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. 7. Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp hình tròn bán kính R cho trước. 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số: §4. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiện hệ tọa độ: 1. Công thức tịnh tiến hệ trục tọa độ: Giá sử I(x0; y0) và điểm M(x; y) trong hệ trục Oxy. Hệ trục mới IXY có cùng các véc tơ đơn vị với hai trục Ox, Oy và M(X; Y) trong hệ trục IXY. Ta có công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ là: 2. Sử dụng công thức tịnh tiến hệ trục tọa độ trên để viết phương trình đường cong trong hệ trục tọa độ mới. Bài tập áp dụng: 1. Xác định tọa độ đỉnh I của mỗi parabol (P) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ và viết phương trình của parabol (P) đối với hệ trục tọa độ IXY. a) y = x – 3x2; b) y = 3x2 + 2; c) y = 1 – 3x + 2x2; 2. Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4 có đồ thị là đường cong (C) a) Tìm tọa độ điểm I Î (C) biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f ’’(x) = 0. b) CMR: I là tâm đối xứng của đồ thị (C). 3. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị là đường cong (C) a) Tìm tọa độ điểm I Î (C) biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f ’’(x) = 0. b) CMR: I là tâm đối xứng của đồ thị (C). c) Trong hệ trục Oxy, viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I. CMR: trên khoảng (-¥; 1) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến của (C) tại I và trên khoảng (1; +¥;) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến của (C) tại I. 4. Cho đường cong (C) có phương trình và điểm I(1; -1). Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). 5. Tìm tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau: 6. Cho đường cong (C) có phương trình (ac ≠ 0), điểm I(x0; y0) thỏa mãn y0 = ax0 + b. Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ và phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của đường cong (C). §5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn: Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc . Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc . Cách tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) . hoặc . Bài tập áp dụng: 1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau: 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau: 3. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau: 4. Xét các hypecbol có phương trình: với m là tham số khác 0. a) CMR: "m ≠ 0, các hypebol (Hm) cắt trục tung tại cùng một điểm và tại đó chúng có cùng tiếp tuyến. b) Tìm quỹ tích giao điểm I các tiệm cận của (Hm) khi m thay đổi. 5. Cho hàm số a) Xác định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu trên khoảng (0; 2). b) Xác định tiệm cận xiên của đồ thị. c) CMR: tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định. §6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức: Khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số ta tiến hành các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Xét sự biến thiên của hàm số: a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của hàm số, điền các kết quả vào bảng biến thiên. 3. Vẽ đồ thị hàm số. - Vẽ các đường tiệm cận (nếu có). - Xác định một số điểm đặc biệtcủa đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. (Nếu đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua phần này). - Nhận xét đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có). Bảng tóm tắt khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) 1. TXĐ: D = R 2. Đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c; y’’ = 6ax + 2b. Đồ thị hàm số luôn có một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thị. a > 0 a < 0 Pt y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y O X y O X Pt y’ = 0 có nghiệm kép y O X y O X Pt y’ = 0 vô nghiệm y O X y O X Bảng tóm tắt khảo sát hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) TXĐ: D = R. Hàm số chẵn Þ đồ thị có trục đối xứng Oy. a > 0 a < 0 Pt y’ = 0 Có ba nghiệm pPhân biệt y O X y O X Pt y’ = 0 Có một nghiệm y O X y O X Bài tập áp dụng: 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2 + 9x + 2 (C) b) CMR: đồ thị hàm số có tâm đối xứng. c) Gọi a là hoành độ của tâm đối xứng, giải bất phương trình f(x - a) ³ 2. 2. a) Khảo sát hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + 1 (C) b) Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của (C). Viết phương trình các tiếp tuyến đó. c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệmcủa phương trình sau đây theo m: x3 + 3x2 + m = 0 (1). 3. a) Khảo sát hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn. c) Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm 4. Cho hàm số y = - x4 + 2mx2 – 2m + 1 (Cm) a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số. b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C5) của hàm số ứng với m = 5. c) Xác định m sao cho (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ lập thành một cấp số cộng. Xác định cấp số cộng này. §7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỷ: Bảng tóm tắt khảo sát hàm số 1. TXĐ: D = R \ {-d/c}. 2. Đồ thị có một tiệm cận đứng x = - d/c, một tiệm cận ngang y = a/c và tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận I(-d/c; a/c). ad – bc > 0 ad – bc < 0 y O x y O x Bảng tóm tắt khảo sát hàm số 1. TXĐ: D R\{-b’/a’}. 2. Đồ thị có một tiệm cận đứng x = - b’/a’, một tiệm cận xiên y = kx + l. Giao điểm I của hai tiệm cận trên là tâm đối xứng của đồ thị. a > 0 a < 0 Pt y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y O X y X O Pt y’ = 0 vô nghiệm y O X y X O Bài tập áp dụng: 1. Khảo sát các hàm số sau: 2. Cho hàm số: a) CMR: với mọi giá trị của m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm . c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) của hàm số ứng với m = 2. 3. Cho hàm số: a) Với giá trị nào của m đồ thị của hàm số đi qua điểm A(-1; 1). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số ứng với m = 1. 4. a) Khảo sát hàm số b) Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên. c) CMR: không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị đó. d) Dựa vào đồ thị (C) vẽ các đường cong sau: 5. a) Khảo sát hàm số b) Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số. c) CMR: trên (C) luôn tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. d) Xác định m để đường thẳng (d): y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho OA ^ OB. 6. a) Khảo sát hàm số b) Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số và §8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị: Hoành độ giao điểm của hai đường cong (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x). Do đó, số nghiệm phân biệt của phương trình trên là số giao điểm của hai đường cong. Hai đường cong nói trên được gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M(x0; y0) nếu chúng có tiếp tuyến chung tại điểm M. Khi đó M được gọi là tiếp điểm. Hai đường cong nói trên tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: . Nghiệm của hệ phương trình (1), (2) là hoành độ của tiếp điểm. Đường thẳng D: y = px + q là tiếp tuyến của parabol (P): y = ax2 + bx + c khi và chỉ khi phương trình ax2 + bx + c = px + q hay ax2 + (b – p)x + c – q = 0 có nghiệm kép. Bài tập áp dụng: 1. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số . 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 – 2 – m = 0. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2 – x2)2 biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 4). 4. Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng và tiếp xúc với đồ thị của hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2 – 4x + 2. 5. a) Tìm giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 – 3x – 2 và parabol (P): y = x2 – 4x + 2. b) Xét vị trí tương đối của (C) và (P) (tức là xác định mỗi khoảng mà trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (P)). 6. Cho hai hàm số a) CMR: (C) và (C’) chỉ có duy nhất một điểm A chung và đó là tiếp điểm. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (d) của (C) và (C’) tại điểm A. c) CMR: (C) nằm ở phía dưới (d) và (C’) nằm ở phía trên (d). 7. CMR: các đồ thị của ba hàm số sau cùng tiếp xúc với nhau tại một điểm: 8. Cho parabol (P): y = x2 – 3x – 1 (P) và đường cong (C): . CMR: (P) và (C) tiếp xúc với nhau. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm của chúng. Bài ôn tập chương I: 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) CMR: đường thẳng (d): y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. c) Xác định m sao cho độ dài AB nhỏ nhất. d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. CMR: S là trung điểm của đoạn thẳng PQ. 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là những số nguyên. c) CMR: đường thẳng (d): y = - x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. d) Giả sử (d) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. CMR: hai đoạn thẳng AB và PQ có cùng trung điểm. 3. Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) của hàm số ứng với m = 1. b) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của (Cm) đi qua gốc tọa độ. c) Biện luận theo m số nghiệm của p.trình 4. Cho hàm số y = a) Xác định m để hàm số có hai cực trị. b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C-1) của hàm số ứng với m = -1. c) Giả sử tiếp tuyến tại M Î (C-1) cắt hai tiệm cận tại P, Q. CMR: MP = MQ. 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: 6. Một hình chóp tứ giác đều chiều cao x ngoại tiếp hình cầu bán kính R = a. Tính thể tích V của hình chóp và xét xem với giá trị nào của x thì hình chóp có thể tích nhỏ nhất? 7. Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Phải cắt sợi dây như thế nào để tông diện tích của hình vuông và hình tròn uốn được là nhỏ nhất? 8. Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê, biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một thang thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100 000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng? Khi đó có bao nhiêu căn hộ còn bỏ trống? 9. Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 (Cm). a) CMR: với mọi giá trị của m, (Cm) và đường thẳng (dm): y = 2mx – 4m + 3 luôn có một điểm chung cố định. b) Tìm các giá trị của m sao cho (dm) và (Cm) cắt nhau tại ba điểm phân biệt. c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số ứng với m = 1. 10. Cho hàm số y = f(x) = x3 + (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 2 (Cm). a) CMR: với mọi giá trị của m, đồ thị (Cm) của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định. b) CMR: mọi đường cong (Cm) tiếp xúc với nhau tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong (Cm) tại điểm đó. 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x4 – 5x2 + 4 b) Từ đó suy ra cách vẽ đường cong sau: ï x4 – 5x2 + 4ï + 2m – 1 = 0. c) Tìm m để phương trình ï x4 – 5x2 + 4ï = ï2m - 1ï có 8 nghiệm phân biệt. 12. CMR: hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Từ đó suy ra rằng 13. Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dựa vào đồ thị (C), tùy theo các giá trị của m, biện luận số giao điểm của (C) và đường thẳng (dm): y = m(x + 1) + 3. 14. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) CMR: parabol (P): y = x2 + 2 tiếp xúc với đường cong (C). Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (P) tại tiếp điểm đó. c) Xét vị trí tương đói của (C) và (P). 15. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) CMR: "m ≠ 0, đường thẳng (dm): y = mx – 3m cắt đường cong (C) tại hai điểm phân biệt , trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 2.