Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 8 bước( 8 dấu :+ )

Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ ) I / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = 3ax2 + 2bx + c . y’ = 0 xi = ? ; f(x1) = ? ; f(x2) = ? . +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = . Hàm số đạt cực Đại tại x = ., yCĐ = . (Chú ý 1 : giả sử f(x1) > f(x2) , thì yCĐ = f(x1) , yCT = f(x2) ) + / Giới hạn ở Vô cực : ? ; ? . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ ? ? ? + ∞ y’ ? ? ? y ? ? ? 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d . Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : +) Đồ thị : y 0 x Chú ý 2 : Vẽ đồ thị hàm số bậc 3 tổng quát ( y’ = 0, có 2 nghiệm x1 < x2 ). Khi đó đồ thị ( C ) qua 5 điểm A(x1; f(x1)) ; B(x2; f(x2)) ; I (xI ; yI) (điểm Uốn – trung điểm AB ), Điểm M(2x1 – xI ; y2 ) ; điểm N(2x2 – xI ; y1 ) . M và N đối xứng qua I . Điểm (x;y) M A I B N x xM x1 xI x2 xN y y2 y1 yI y2 y2 II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) . y’ = 0 . +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = . Hàm số đạt cực đại tại x = ., yCĐ = . (Chú ý 1 : giả sử f(x1) > f(x2) , thì yCĐ = f(x1) , yCT = f(x2) ) + / Giới hạn ở Vô cực : ? ; ? . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ ? ? ? + ∞ y’ ? ? ? y ? ? ? 3) Đồ thị : Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng. Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác Đồ thị : y 0 x III / Hàm số : 1) Tập xác định : +/ D = R /{ - . } 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = . y’ > 0 ( y < 0 ) , D +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (.) và (..) +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị . + / Tiệm cận và Giới hạn : và => tiệm cận ngang : y = . ? Và ? => tiệm cận đứng : x = . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ ? ? + ∞ y’ ? ? y ? ? 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = . Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = , Đồ thị nhận giao điểm I(;) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng . Lấy điểm A(xA ; yA ) , xA = xI +1 , B (xB ; yB ) xB = xA + 2 . A’ , B’ đối xứng A , B qua I . y 0 x B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C ) 2/ y = ax4 + bx2 + c ( C ) BÀI 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2). (2) ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m ) Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d) Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ). Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại : Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) . Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ). Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p HƯỚNG DẪN : 1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) k = f’(x0) ; thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm . 2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 ( * ) Trong đó k.k’ = -1 k = . thế k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*) 3/ ( C ) Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ? Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm . C / CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG CHỦ ĐỀ KSHS VÀ VẼ ĐỒ THỊ, BIỆN LUẬN , VIẾT PTTIẾP TUYẾN . Bài 1 : Cho hàm số 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2). Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: Bài 2: Cho hàm số có đồ thị là (Cm). 1). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = -1. 2). Dựa vào đồ thị (C), tìm k để phương trình có đúng hai nghiệm. Bài 3 Cho (C): ; 1). Khảo sát và vẽ (C). 2) Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục Oy. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A. 3/ Tìm m để đường thẳng (d): y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đths biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x - 4y=0. Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = -x3 + 3x – 1, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình: . Bài 6 : Cho hàm số , m là tham số, có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = -2. 2). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = 24x + 9 3). Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình: Bài 7 Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0) của hàm số. 2). Tìm tất cả đường thẳng qua A(-1; 3) và cắt (C0) tại 3 điểm phân biệt. 3). Chứng tỏ (Cm) luôn đi qua điểm cố định. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm cố định này. Tìm m để tiếp tuyến qua O. Bài 8 Cho hàm số: : y = x4 -2mx2 + 2m+m4 1). Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) khi m = 1, suy ra đồ thị hàm số . 2). Dùng đồ thị ( C) tìm k để phương trình x4 -2x2 + k -2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. 3). Viết pttt của ( C) biết tiếp tuyến qua M có hoành độ x0 = 4). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều * * * MONG ĐƯỢC SỰ GÓP Ý CỦA ĐỒNG NGHIỆP . CHÂN THÀNH CẢM ƠN