Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Định lý về các giá trị trung bình cộng và nhân (Tiếp theo)

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG3.1.2. Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp Đa thức với bộ biến số thực được hiểu là hàm số (biểu thức) có dạngtrong đó Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG Công thức khai triển nhị thức Newton: Nếu ta coi như là tích của thừa số:thì khi đó tích Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGcũng có thể viết dưới dạng:trong đó Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGVậy nên, nếu các số đều dương (hoặc không âm và không đồng thời bằng 0) thì không mất tính tổng quát, các số đều là số dương (không âm). Từ (3.6) , thu được Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGĐịnh nghĩa 3.1. Cho là bộ số dương Khi đó trong đó Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGĐặt Ta gọi là các hàm (đa thức) đối xứng sơ cấp thứ là tổng của tất cả các tích số khác nhau của bộ số ). Ký hiệu:Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG Định nghĩa 3.2. Giả sử là bộ các số thực không âm (ký hiệu bởi ) và là bộ các số thực không âm khác (được ký hiệu bởi ). Hai dãy và gọi là đồng dạng ( ) nếu tồn tại sao cho Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG Bài toán 3.3. Cho là bộ các số thực dương. Đặt Chứng minh: Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGChứng minh. Giả sử là tổng tất cả các tích số khác nhau, Vì tất cả các và và không phải là nghiệm của phương trình và tương ứng, nên và không phải là nghiệm bội trong các phương trình nhận từ đạo hàm của nó. Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGTừ đó ta có thể kết luận các số dương, tức là phương trình nhận được từ bằng cách lấy vi phân liên tiếp theo và Do phương trình này có nghiệm thực nên Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG Bài toán 3.4. Chứng minh bất đẳng thứcChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGChứng minh: Từ bất đẳng thức trong Bài toán 3 ta cóSuy rahayTừ đây, ta có ngay điều phải chứng minh. Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGBài toán 3.5. Cho các số và không đồng thời bằng nhau. Chứng minh bất đẳng thứcChứng minh. Theo bất đẳng thức trong Bài toán 1, ta cóSuy raChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGNhận xét 3.1. Ta dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp.Thật vậy, giả sử bất đẳng thức đúng với số dương và đặt là các tạo bởi số ấy và giả sử tất cả các số đó không đồng thời bằng nhau.Khi đó: Từ đó suy ra:Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGtrong đó Vì các không đồng thời bằng nhau nên theo giả thiết ta có Điều này vẫn đúng khi Khi đó Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGHệ quả 3.2. trong đóĐặc biệt, chính là bất đẳng thức giữa giá trị trung bình cộng và trung bình nhân.