Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân

Chương 3 Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhânChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân BÀI GIẢNGTrong chương 3 liên quan đến: Chứng minh bất đẳng thức giữa trung bình cộng (TBC) và trung bình nhân (TBN) Nêu ứng dụng của bất đẳng thức giữa TBC và TBN vào các bài toán cụ thể Xét các lớp bài toán đặc biệt trong đó khảo sát tính chất của đa thức và phân thức chính quy cũng như các ứng dụng của nó trong việc tính toán các bài toán cực trị cho các biểu thức có lũy thừa khác nhauChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân BÀI GIẢNGTrong việc xây dựng bất đẳng thức giữa TBC và TBN yếu tố quan trong nhất là thiết kế mô hình để chứng minh bất đẳng thức nàyTheo đúng ngôn từ của Toán học TBC là trung bình số học TBN là trung bình hình họcĐây chính là bất đẳng thức nêu lên mối quan hệ giữa TB số học và TB hình học và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bộ số này là bộ số đều tức là tất cả các số hạng của chúng bằng nhau và xem xét dưới hàm tuyển tập các số không âmĐây là định lý giữa TBC và TBNChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân BÀI GIẢNGGọi đây là bất đẳng thức CauchyLý do thứ nhất: Phương pháp quy nạp của Cauchy là sự sáng tạo trong xây dựng quy nạp 2 chiều, quy nạp tiến và lùi: tiến 2 bước lùi 1 bước => Được phép quy nạp không theo kiểu thông thường để chứng minh bất đẳng thức cho 3 số bằng cách chứng minh 2 bất đẳng thức đơn giản cho 2 số và 4 số Chọn: Số hạng thứ 4 bằng TBC của 3 số hạng đằng trước ta được bất đẳng thức giữa TBC và TBN cho 3 số Tương tự ta được bất đẳng thức giữa TBC và TBN cho m số một cách tùy ý. Do Cauchy đề xuất vì vậy gọi là Bất đẳng thức Cauchy Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân BÀI GIẢNGĐến nay một số sách của VN đã bắt đầu thay đổi và gọi theo đúng tên là định lý giữa TBC và TBN hay bất đẳng thức giữa TB số học và TB hình họcLý do thứ hai: Chương I ta đã gọi bất đẳng thức tam thức bậc 2 là bất đẳng thức Cauchy - tên gọi chính thống của thế giới. Ta lại gọi bất đẳng thức này là BĐT Cauchy Tên gọi trùng nhauVì vậy một số nước ở Đông Âu và Liên Xô trước đây gọi là BĐT Bunhiacoski nhưng thực chất BĐT Bunhiacoski là BĐT tích phânGọi đúng tên : Bất đẳng thức giữa Trung bình cộng và Trung bình nhânChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân BÀI GIẢNGPhương pháp sử dụng quy nạp của Cauchy là phương pháp dễ trình bày nhất và đối với học sinh thì dễ biến đổi nhất Nhưng sáng tạo ra phương pháp chứng minh lại là vấn đề lớn Nghĩ ra việc đặt xn =Để biến đổi bất đẳng thức cấp thứ n về bất đẳng thức thức cấp thứ n-1 là một sự sáng tạo và không dễ dàng suy ra được => Không thể coi phương pháp chứng minh BĐT Cauchy là phương pháp sơ cấp thông thường mà trong đây đã có ý tưởng sử dụng định lý trung bình tổng quát của hàm số Phương pháp này có giá trị lớn khi chứng minh quy nạp thông thường gặp khó khănChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG Bài toán 3.1 [Bất đẳng thức Ky Fan]. Giả sử là các số dương trong Khi đóDấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiNếu chứng minh theo phương pháp quy nạp thông thường sẽ gặp nhiều khó khăn nhưng sử dung phương pháp quy nạp của Cauchy thì BĐT Ky Fan cũng như BĐT giữa TBC và TBN cũng 1 cách chứng minh và được kết quả tương tựChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGCòn sử dụng để chứng minh bất đẳng thức liên quan đến trung bình đồng bậcBài toán 3.2. Giả sử là các số không âm và Khi đó:Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Đây cũng là bất đẳng thức quan trọng có thể chứng minh được bằng phương pháp quy nạp theo kiểu Cauchy nhưng cũng có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp thông thườngChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGBên cạnh bất đẳng thức giữa TBC và TBN hay BĐT giữa trung bình số học và trung bình nhân ta còn có bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa. Nếu nhìn nhận về mặt hình học ta có giữa trung bình hình học và trung bình điều hòa cũng có bất đẳng thức liên quan. Nếu xét bộ 3 sốa  ≥ 0 ta được so sánh giữa các hệ số với nhau 3 số cuối cùng ta chỉ cần đặt ta được đa thức có hệ số cao nhất sẽ chuyển về số tự do và vì vậy ta đạo hàm đến cấp n-2 3 số liền nhau ở khúc giữa ta đạo hàm tới 1 cấp bắt đầu xuất hiện số đầu tiên rồi sau đó thay ta đạo hàm tiếp theo bậc thứ 2 Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGVì vậy ta có kết luận: Từ đây ta có dãy bất đẳng thức rất nổi tiếngBất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân là hệ quả của bất đẳng thức trên