Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Bài 3 - Tích phân (Tiếp)

Kiểm tra bài cũa) Nêu cách chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K? (trong đó K là một khoảng, đoạn, nửa khoảng)b) Cho F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của cùng một hàm số f(x) trên K. Tìm mối liên hệ giữa F(x) và G(x)Ta chứng minh F’(x)=f(x) xKNếu F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì CR sao cho G(x)=F(x)+C xKa) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)=x trên R.b) Tính diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=2.c) So sánh S và F(2)-F(1) Bài tập :Câu hỏi :Vậy: Ta cóĐặt vấn đềNếu ta thay đường thẳng y=x trong bài tập trên bởi đồ thị (C) của một hàm số y=f(x) liên tục, và dương trên đoạn [a;b] thì diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b được tính như thế nào?Chứng minh rằng: Nếu F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên [a;b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b là: S=F(b)-F(a).Bài toán 1:Giả sử y=f(x) là hàm liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên đoạn [a;b]. Với mỗi x[a;b], đặt S(x) là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành, đường thẳng x=a và đường thẳng đi qua x và vuông góc với trục hoành. a) Diện tích hình thang conga) Tính S(a), với mỗi x[a;b] có mấy giá trị S(x)b) Có nhận xét gì về S(b)c) Chứng minh rằng: S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b].Hoạt động 1:1. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân- Khái niệm hình thang congBài 3 - TÍCH PHÂNTiết 56- Tính diện tích hình thang congCho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(x)>0 x[a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳngx=a, x=b được gọi là hình thang cong.Kết luậnGiả sử x0(a;b)Chứng minh: S’(x0)=f(x0) với x0 (a;b) và S’(a+)=f(a), S’(b-)=f(b) Bài 3 - TÍCH PHÂNTiết 56Diện tích hình thang cong MNEQ bằng S(x)-S(x0). Vì f(x) liên tục tại x0 nên Do đóTH1: x(x0 ;b]TH2: x[a;x0)Tương tự ta cósuy raDo đóhayNếu x0=a thì từ phép chứng minh ở TH1 suy ra hayNếu x0=b thì từ phép chứng minh ở TH2 suy ra hayTiếpNếu f(x) là hàm số liên tục, đồng biến và dương trên đoạn [a;b] thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởiđồ thị hàm số y=f(x), trục hoànhvà hai đường thẳng x=a, x=bđược tính bằng công thức:S=F(b)-F(a) với F(x) là mộtnguyên hàm bất kỳ nào đó của f(x) trên [a;b].Tóm lạiBài 3 - TÍCH PHÂNTiết 56a) Diện tích hình thang cong1. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân- Khái niệm hình thang cong- Tính diện tích hình thang cong1. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phânTính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)=x2, trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=2.và là một nguyên hàm của f(x)=x2 trên đoạn [1; 2]Ta có f(x)=x2 là hàm liên tục, đồng biến, nhận giá trị dương trên đoạn [1; 2] nên diện tích hình thang cong cần tìm là:(đvdt) Hoạt động 2:Bài 3 - TÍCH PHÂNTiết 56a) Diện tích hình thang cong- Khái niệm hình thang cong- Tính diện tích hình thang congGiải:Bài toán 2: Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian v=f(t)(0<t<T). Chứng minh rằng: Quãng đường L mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t=a đến thời điểm t=b (0<a<b<T) là L=F(b)-F(a), trong đó F(t) là một nguyên hàm bất kỳ của f(t) trên khoảng (0;T).Giải: Gọi s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t. Khi đó vận tốc tại thời điểm t của vật là v=s’(t) với t(0;T). Do đó s’(t)=f(t) với t(0;T), hay s(t) là một nguyên hàm của f(t) trên (0;T).Suy ra s(t)=F(t)+C với F(t) là một nguyên hàm bất kỳ của f(t) và C là một hằng số nào đó.Mặt khác, ta có quãng đường vật đi được từ thời điểm t=a đến thời điểm t=b làL=s(b)-s(a). Do đó L=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a).Đặt tên cho đại lượng F(b)-F(a) ?Bài 3 - TÍCH PHÂNTiết 561. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phâna) Diện tích hình thang congb) Quãng đường đi được của một vật2. Khái niệm tích phânĐịnh nghĩaKý hiệu: “Tích phân của f từ a đến b” là Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến bNhư vậy: Chứng minh rằng: là một số không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm F nào trong họ các nguyên hàm của f.Hoạt động 3:Bài 3 - TÍCH PHÂNTiết 561. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phâna) Diện tích hình thang congb) Quãng đường đi được của một vật(với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên [a;b]) Ví dụ: Tính Bài 3 - TÍCH PHÂNTiết 562. Khái niệm tích phânĐịnh nghĩa1. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phâna) Diện tích hình thang congb) Quãng đường đi được của một vật2. Khái niệm tích phânĐịnh nghĩaVí dụ: Tính cận trên cận dưới hàm số dưới dấu tích phândấu tích phânbiểu thức dưới dấu tích phânChú ý: Tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân. Bài 3 - TÍCH PHÂNTiết 562. Khái niệm tích phânNếu y=f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là:Định lýBài 3 - TÍCH PHÂNTiết 56Cho y=f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b].Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b?2. Khái niệm tích phânĐịnh nghĩaBài 3 - TÍCH PHÂNTiết 561. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phâna) Diện tích hình thang congb) Quãng đường đi được của một vậtĐịnh lý(với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên [a;b])(với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên [a;b])( y=f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b] )