Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Bài 3: Giá trị lớn nhất (GTLN – max) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN – min) của hàm số

Bài 3: Giá trị lớn nhất (GTLN – max) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN – min) của hàm số ¾¾¾ & ¾¾¾ 1 – Dạng toán 1: Tìm GTLN và GTNN dựa vào định nghĩa và tính chất Œ Cơ sở lý thuyết ô Định nghĩa: Giả sử hàm sốxác định trên miềnvới . và ô Tính chất: ² Tính chất 1: Nếu hàm sốđồng biến trênthì : ² Tính chất 2: Nếu hàm sốnghịch biến trênthì :  Phương pháp giải ô Cách 1: Dùng bảng biến thiên để tìm max – min. Phương pháp này thường dùng cho bài toán tìm GTLN và GTNN trên một khoảng. Bước 1: Tính . Bước 2: Xét dấuvà lập bảng biến thiên. Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. ô Cách 2: Thường dùng khi tìm max – min của hàm số liên tục trên một đoạn. Bước 1: Tính . Bước 2: Giải tìm được các nghiệm trên đoạn(nếu có). Bước 3: Tính . Bước 4: So sánh các giá trị vừa tính được và kết luận . Ž Một số lưu ý khi giải toán Lưu ý 1: Phương trình có thể là phương trình mũ, logarit, đại số, lượng giác, Do đó đó, cần nắm vững kiến thức về cách giải phương trình các loại. Lưu ý 2: Đối với hàm lượng giác dạng: . Đặt . Bậc hai Bậc hai Thay vào, ta được hàm hữu tỉ đại số dạng: Lưu ý 3: Khi bài toán yêu cầu tìm max – min nhưng không nói trên tập nào thì ta hiểu tìm max – min trên tập xác định D của hàm số. Lưu ý 4: Để tìm tham sốcủa hàm sốvớilà biến số sao cho có và . Ta làm như sau: Bước 1: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D mà đề cho hoặc ta tìm. . . Hàm số có giá trị lớn nhất bằng a khi và chỉ khi Giải tìm điều kiện và kết hợp đánh giá hai vế của một đẳng thức: (1). Bước 2: Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng b khi và chỉ khi . Tương tự ta được phương trình (2). Bước 3: Giải hệ phương trình cần tìm. Lưu ý 5: Ta có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị (đk có nghiệm) Đặt vấn đề: Tìm max – min của hàm số trên một miền D cho trước ? Bước 1: Gọi là một giá trị tùy ý của trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: Bước 2: Tùy theo điều kiện của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: . Vì là một giá trị bất kỳ của nên từ ta suy ra được:  Một vài ví dụ Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ trên đoạn (Trích đề thi TNTHPT đợt 1 – 2007). b/ trên đoạn (Trích đề thi TNTHPT đợt 2 – 2007). c/ trên đoạn (Trích đề thi TNTHPT đợt 1 – 2008). d/ trên đoạn (Trích đề thi TNTHPT đợt 2 – 2008). e/ trên đoạn . f/ trên đoạn . g/ trên đoạn . h/ trên đoạn. (Trích đề dự bị Đại học khối B – 2003) Bài giải tham khảo a/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: Tính b/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: Tính: c/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: . Tính: d/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: . Tính: e/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: Tính: f/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: Tính: g/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: . Tính: h/ Tìm max – min của hàm số: (Trích đề dự bị Đại học khối B – 2003). Đặt , vì. Khi đó, . Xét hàm số liên tục và xác định trên đoạn. Tìm: Tính: Thí dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ trên đoạn . b/ trên đoạn. c/ trên đoạn. d/ trên đoạn . e/ trên đoạn . f/ trên đoạn. g/ trên đoạn. h/ trên đoạn. Bài giải tham khảo a/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. Ta có: . Tính: b/ Tìm max – min: (Trích đề thi Cao đẳng Nguyễn Tất Thành khối A,D – 2008) Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. Tìm Tính: c/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. Tìm: Hàm số luôn nghịch biến trên đoạn. Do đó: d/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. Ta có: Hàm số luôn đồng biến trên đoạn . Do đó: và . e/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số xác định và liên tục trên đoạn. Ta có: Tính . f/ Tìm max – min của hàm số: (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối D – 2011) Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Tìm: . Tính: g/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốtrên đoạn. Ta có: . Bảng biến thiên: 1 2 1 2 O Vì , nên đồ thị hàm sốđược suy ra từ đồ thị hàm sốnhư sau: Giữ nguyên phần đồ thị củaphía trên trục. Lấy đối xứng phần dưới trụccủa đồ thị củaqua trục (phần đồ thị nét liền trên hình vẽ). Dựa vào đồ thị: khi. khi Lưu ý: Ta có thể giải bài toán này bằng cách 2 (xem ví dụ h/). h/ Tìm max – min của hàm số: . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn và đặt: và ta tiến hành tìm GTLN và GTNN của hàmtrên đoạn sau đó suy ra, GTLN và GTNN của. Ta có: Tính: Ta có: . Mà Lưu ý: Ta có thể giải bài toán theo phương pháp đồ thị, tương tự như ví dụ g/. Thí dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ trên. b/ trên. c/ trên. d/ trên. e/ trên . f/ trên. Bài giải tham khảo a/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: (nhận). Tính: b/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: . Hàm số không có đạo hàm tại điểm và . Cho (nhận). Tính: d/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Tìm: . Hàm số không có đạo hàm tại điểmvà . Cho (nhận). Tính: . Lưu ý: Trong thí dụ b/, d/. Khi cho đưa về dạng phương trình căn thức, ta phải giải đúng dạng của nó, nghĩa là: nhằm loại bỏ nghiệm ngoại lai của phương trình. c/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. Tìm: . Hàm số không có đạo hàm tại điểm. Cho . Tính: e/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn . Ta có: , Tính: f/ Tìm max – min của hàm số: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2003) Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. Ta có: . Cho . Tính: Thí dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ b/ c/ d/ e/ f/ Bài giải tham khảo a/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: (nhận). Tính: b/ Tìm max – min của hàm số: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003) Cách giải 1. Điều kiện: Hàm số có miền xác định: . Tìm . Hàm số không có đạo hàm tại. Cho . Tính: . Cách giải 2. (phương pháp lượng giác hóa, chuyên đề này được đề cập ở dạng toán 2: BĐT và cực trị). Đặt . Đặt . Ta có: . . c/ Tìm max – min của hàm số: Miền xác định của hàm số là. Tìm: . Hàm số không có đạo hàm tại các điểm và . Cho (N). Tính Lưu ý: Trong thí dụ trên, khi cho đưa về dạng phương trình căn thức, ta phải giải đúng dạng của nó, nghĩa là: nhằm loại bỏ nghiệm ngoại lai của phương trình. d/ Tìm max – min của hàm số: Điều kiện: Miền xác định của hàm số là: . Tìm . Hàm số không có đạo hàm tại các điểm: . Cho (nhận). Tính e/ Tìm max – min của hàm số: Điều kiện: Miền xác định của hàm số là: . Tìm . Hàm số không có đạo hàm tại các điểm. Cho . Tính f/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: (nhận). Hàm số không có đạo hàm tại các điểm . Tính Thí dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ trên đoạn. b/ trên đoạn. c/ trên đoạn . d/ . e/ . f/ . g/ h/ i/ . j/ . k/ l/ . Bài giải tham khảo a/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. Tìm Do . Tính . và . b/ Tìm max – min của hàm số: Cách giải 1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. Tìm . Cho . Do . Tính và . Cách giải 2. Ta có: . Đặt . Khi đó, hàm số được viết lại là: . Ta có: . Tính. và . c/ Tìm max – min của hàm số: Cách giải 1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn . Ta có: . . Cách giải 2. Đặt . Lúc đó, hàm số trở thành: . Xét hàm số liên tục và xác định trên đoạn. Tìm Tính . d/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. Đặt . Khi đó hàm số trở thành: . Tìm . Tính . . e/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. Ta có: . Đặt . Khi đó, hàm số trở thành: . Xét hàm số liên tục và xác định trên đoạn. Ta có: . Tính: . . . f/ Tìm max – min của hàm số: Ta có : . Đặt, và hàm số trở thành : . . Tính: g/ Tìm max của hàm số: (Trích đề thi Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng khối A – 2008) Hàm số đã cho xác định. Ta có: . Với . Với . h/ Tìm max – min của hàm số: Đặt . Hàm số liên tục và xác định trên đoạn . Tìm i/ Tìm max – min của hàm số: Đặt: . Lúc đó: , . Bảng biến thiên: – 0 + 0 – 2 Dựa vào bảng biến thiên j/ Tìm max – min của hàm số: * Xét hàm số liên tục trên đoạn. * Ta có: . * Mà . * Tính: i/ Tìm max – min của hàm số: * Hàm số đã cho xác định khi: * Lúc đó: . * Đặt . * Khi đóđược viết lại là: . * Và: * Hàm số không có đạo hàm tại điểm j/ Tìm max – min của hàm số: * Vì: . Nên: (CT Newton). . * Đặt , lúc đó: . * Xét hàm số: liên tục trên đoạn. * Ta có: . và . * Tính: Thí dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ . b/ . c/ . d/ . Bài giải tham khảo a/ Tìm max – min của hàm số: Cách giải 1. Sử dụng chiều biến thiên, tìm GTLN, GTNN trên khoảng. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . Ta có: . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên và hàm số không có giá trị lớn nhất. Cách giải 2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Ta có: . Dấu xảy ra khi và chỉ khi: . Vậy: . b/ Tìm max – min của hàm số: Cách giải 1. (Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2) * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . * Đểcó nghiệm thì: . Vậy: và . Cách giải 2. Sử dụng chiều biến thiên. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. Ta có: Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta được: và . c/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. Ta có: . Cho . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên: . f/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng. Ta có: . Hàm sốđạt giá trị lớn nhất trên khoảngkhi và chỉ khi hàm số: đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng. Ta có. Vậy: . Thí dụ 7. Bài toán định lượng a/ Tìm các giá trị củavàsao cho hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng –1. b/ Chu vi của một tam giác là, độ dài của một cạnh tam giác là. Tìm hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất. c/ Cho Parabol và điểm . Xác định điểm sao cho khoảng cách là ngắn nhất. Tìm khoảng cách đó. d/ Tìmđể GTLN của hàm số trên đoạn đạt GTNN. Bài giải tham khảo a/ Tìm các giá trị củavàsao cho hàm sốcó giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng –1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khi: . . Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi: . Từ hoặc . b/ Chu vi của một tam giác là , độ dài của một cạnh tam giác là. Tìm hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất. Gọi độ dài cạnh thứ nhất của tam giác là, cạnh thứ hai có độ dài là và cạnh thứ ba là. Theo đề bài ta có: Công thức tính diện tích Δ theo Hêrông: . Ta có: . . Bảng biến thiên: 0 5 10 + 0 – 12 Dựa vào bảng biến thiên: khi mỗi cạnh còn lại dài. c/ Cho Parabol và điểm . Xác định điểm sao cho khoảng cách là ngắn nhất. Tìm khoảng cách đó. Gọi . Khoảng cách: . Ta có: . Bảng biến thiên: 0 Dựa vào bảng biến thiên: khi điểm. d/ Tìmđể GTLN của hàm số trên đoạn đạt GTNN. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. * Ta có: Đặt . * Lúc đótrở thành: . * Nên: . Nếu . Nếu . * Mặt khác: . * Do đó: GTNN của khi.  Bài tập rèn luyện Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau 1/ . 2/ . 3/ . 4/ . 5/ . 6/ . 7/ . 8/ . 9/ . 10/ . 11/ . 12/ . 13/ . 14/ . 15/ . 16/ . 17/ . 18/ . 19/ . 20/ . 21/ . 22/ . 23/ . 24/ . Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau 1/ . 2/ . 3/ . 4/ . 5/ . 6/ . 7/ . 8/ . 9/ . 10/ . 11/ 12/ . 13/ . 14/ . 15/ . 16/ . 17/ 18/ . 19/ . 20/ . 21/ . 22/ . 23/ . 24/ . 25/ . 26/ . 27/ . 28/ . 29/ . 30/ . 31/ . 32/ . 33/ . 34/ . 35/ . 36/ . 37/ . 38/ . 39/ . 40/ . Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau 1/ . 2/ 3/ . 4/ . 5/ . 6/ . 7/ . 8/ . 9/ . 9/ . 10/ . 11/ . 12/ . 13/ . 14/ . 15/ . 16/ . 17/ . 18/ . 19/ . 20/ . 21/ . 22/ . 23/ . 24/ . 25/ . 26/ . 27/ . 28/ . 29/ . 30/ 31/ 32/ 33/ 34/ 35/ 36/ 37/ 38/ 39/ 40/ 41/ 42/ 43/ 44/ 45/ 46/ 47/ 48/ 49/ 50/ 51/ 52/ 53/ 54/ 55/ 56/ 57/ Bài 4. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau 1/ . 2/ . 3/ . 4/ . 5/ . 6/ . 7/ . 8/ . 9/ . 10/ . 11/ 12/ 13/ . 14/ . 15/ . 16/ . 17/ . 18/ . 19/ . 20/ . 21/ . 22/ . 23/ . 24/ . 25/ . 26/ . 27/ . 28/ . Bài 5. Tìm p, q để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là bé nhất ? Bài 6. Cho, trong đó thỏa mãn. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của. Bài 7. Bài toán định lượng thực tế Người ta định làm các hộp hình trụ có thể tích V cho trước. Tìm bán kính r và đường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất. Trong số các hình chữ nhật có chu vi là, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Chu vi của một tam giác, độ dài của một cạnh là. Tìm hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất. Trong tất cả hình chữ nhật cùng có diện tích là, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. Tìm 2 số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cáctông. Hộp có đáy là hình vuông cạnh, đường cao là và có thể tích là. Gọilà diện tích của mảnh cáctông đó. Tìmsao cho nhỏ nhất. Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số. Cho ΔABC đều cạnh. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạch BC, hai điểm P, Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. Cho số dương. Hãy phân tíchthành tổng của 2 số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau vụ thu hoạch được nhiều nhất ? Một tấm nhôm hình vuông cạnh. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gặp các tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất ? Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bởi công thức, trong đólà liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân. Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó ? Một con cá hồ bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300km. Vận tốc nước là . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là thì năng lượng của cá tiêu hao trong giờ được cho bởi công thức , trong đó là một hằng số, có đơn vị là . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất ? Sau khi phát hiện bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứlà . Nếu xemlà một hàm số xác định trên đoạn thì đạo hàm được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm . Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn nhất và tính tốc độ đó. Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600. Xét chiều biến thiên của trên đoạn . Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài. Tính góc sao cho hình thang có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. Giả sử . Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài là, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất. Một hành lang giữa 2 nhà có hình dạng một lăng trụ đứng. Hai mặt bên là hai tấm kính hình chữ nhật có . Tính thể tích V của hình lăng trụ theo. Tìmsao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất đó. 2 – Dạng toán 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số (biểu thức) bằng các BĐT cơ bản (tham khảo) ¾¾¾ & ¾¾¾ I. Cơ sở lý thuyết Dựa vào kinh nghiệm tổng hợp và phân tích thì bài bất đẳng thức hoặc cực trị trong các kỳ thi đại học thường rơi vào trong các dạng sau đây: sử dụng ý tưởng “giảm biến” hoặc sử dụng trực tiếp bất đẳng thức cổ điển (5 kỹ thuật dùng bất đẳng thức Côsi và kĩ thuật dùng BĐT Bunhiacopski). Ở đây, tôi chỉ đưa ra những ví dụ, kèm những lời bình để các em có thể định hướng ra hướng giải. Ngoài ra, tôi cũng giới thiệu đến bạn đọc 2 kĩ thuật khác, đó là sử dụng phương pháp tọa độ, phương pháp lượng giác hóa để chứng minh BĐT hoặc tìm max – min. Trước khi đi vào chi tiết những dạng toán này thì ta cần “trang bị” cho mình những công cụ thông dụng nhất, những hành trang cần thiết nhất trong giải bất đẳng thức và tìm cực trị. Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) . Với thì . Dấuxảy ra khi . Với thì . Dấuxảy ra khi . Với thì . Dấuxảy ra khi . Mở rộng cho n số không âm ta có: . Dấuxảy ra khi . Bất đẳng thức Bunhiacôpxki . Với bất kỳ, ta luôn có: . Dấuxảy ra khi . Với bất kỳ, ta luôn có: Dấuxảy ra khi . Bất đẳng thức cộng mẫu số (BĐT Cauchy Schwarz) là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Với và , ta luôn có: . Với và , ta luôn có: . Dấuxảy ra khi và chỉ khi. II. Phương pháp giải và một vài ví dụ 1 – Dạng 1: Những bài toán sử dụng ý tưởng giảm biến. Thế giới bất đẳng thức tồn tại một quy luật rất quan trọng, đó là “trong một dạng cụ thể thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định: “bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn”. Sau đây, tôi sẽ chia sẽ với các bạn hướng giải quyết khi gặp phải dạng toán này, mấu chốt chính là: “Quan sát, chọn ẩn, tìm điều kiện cho ẩn, và quy ẩn”. Cụ thể, chúng ta cần làm ba bước sau: Bước 1: Quan sát đề bài và dữ kiện đã cho để xem bài toán có khả thi để đưa được về một biến hay không, nếu có thì biến đó phải là gì ? Bước 2: Sau khi đã dự đoán được, chúng ta sẽ khai thác dữ kiện của bài toán, kết hợp với các bất đẳng thức quen thuộc để thiết lập điều kiện cho biến đó. Lưu ý: bất đẳng thức thường dùng nhất trong bước này là bất đẳng thức Côsi. Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc (Cauchy – Bunhiacôpxki – hình học – sự biến thiên – ) và những biến đổi tương đương để quy những đại lượng cần đánh giá theo ẩn đó (mà tôi thường gọi vui là “quy ẩn”). Ví dụ 1. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2002) Cholà hai số thực dương và thỏa. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Bài giải tham khảo Ta có: . Vì . Biểu thức được viết lại là: . Lúc này, bài toán trở về dạng toán quen thuộc: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ta có: . Cho. Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên: . Lời bình 1: Đối với những bài toán 2 biến, được ràng buộc bởi điều kiện đơn giản (quan hệ tổng tích 2 biến), ta nên giảm chúng về cùng một biến kết hợp với tìm 2 đầu mút (điều kiện ràng buộc, thường là dùng BĐT Cosi, Bunhiacopxki). Sau đó, kết thúc bằng việc khảo sát hàm số (nếu 2 đầu mút là khoảng) hoặc tìm GTLN, GTNN của hàm trên đoạn (nếu 2 đầu mút là đoạn) hay bằng những việc đánh giá đơn giản. Lời bình 2. Ngoài ra, ta có thể giải bài này theo hai cách khác, đó là áp dụng bất đẳng thức Côsi kết hợp kĩ thuật tách nghịch đảo (bạn đọc theo dõi phần sau). Ví dụ 2. (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009) Cho hai số thực dương không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài giải tham khảo Lời bình: Đối với những bài toán đối xứng chứa hai biếnvàloại hoán vị (nghĩa là khi đổi vị trí vàcho nhau thì biểu thức không thay đổi), thì cách giải quyết tự nhiên và nhanh chóng nhất chính là quy chúng về một biến để có thể kết thúc chúng bằng việc khảo sát hàm số một biến hoặc sử dụng những đánh giá đơn giản. Ở ví dụ này, dễ thấy với thì: Đặt . Tìm điều kiện cho biến mới: (dokhông âm, giúp ta liên tưởng đến BĐT Côsi). Áp dụng bất đẳng Côsi , ta có: . Lúc đó, bài toán trở thành bài toán quen thuộc: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: . Ta có: . Tính: Do đó: Giá trị lớn nhất của là: . Giá trị nhỏ nhất của là: Lưu ý: Sau khi biến đổi đến , ta có thể giải tiếp theo cách sau . Dấu bằng xảy ra khi . Mặc khác, do không âm và nên áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có: . Dấu bằng xảy ra khi: . Ví dụ 3. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D năm 2008) Cho hai số thựcthỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài giải tham khảo Lời bình 1: Tương tự như ví dụ 2, đây là bài toán đối xứng chứa hai biếnvàloại hoán vị. Nhưng lần này, ta tìm mối quan hệ giữa chúng cũng như tìm hai đầu mút cần phải khéo léo. Từ điều kiện giúp ta liên tưởng đến mối liên hệ tổng tích trong hằng đẳng thứcvà hơn nữa, hai số đề cho không khẳng định là số dương, nên không thể tìm điều kiện mới bằng BĐT Côsi, lúc đó ta nghỉ đến tìm chúng bằng BĐT Bunhiacopxki. Từ điều kiện: . Đặt , do: hay . Lúc đó: . Bài toán trở thành, tìm GTLN và GTNN của hàm số: . Tìm: . Tính: Hay . Lời bình 2. Ngoài cách giải trên, ta có thể giải bằng phương pháp lượng giác hóa. Từ việc xuất hiện giúp ta liên tưởng đến công thức: . Nghĩa là: và đặt . Lúc này, bài toán được qui về bài toán quen thuộc: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Phương pháp giải và bài giải chi tiết được trình bày ở phần sau. Ví dụ 4. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006) Cho hai số thực thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài giải tham khảo Lời bình 1: Bài toán này có khá nhiều cách giải, nhất là đối với những học sinh chuyên toán thì họ có nhiều phương pháp, kinh nghiệm hay nói vui là những “vũ khí hang nặng” để giải quyết vấn đề. Thế nhưng, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để một học sinh trung bình khá (thiếu kinh nghiệm, thiếu công cụ, thiếu kỹ năng)