Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số (Tiếp)

Bài 2: Cực trị của hàm số ¾¾¾ & ¾¾¾ y = f(x) f(xo) Điểm cực đại x Điểm cực tiểu Điểm Điểm cực tiểu cực đại a xo b y Dạng toán 1. Tìm cực trị của hàm số Œ Lý thuyết giáo khoa ² Khái niệm cực trị của hàm số: Giả sử hàm sốxác định trên tậpvà ³ là điểm cực đại của hàm số nếu và sao cho . Khi đó: được gọi là giá trị cực đại của ³ là điểm cực tiểu của hàm số nếu và sao cho . Khi đó: được gọi là giá trị cực tiểu của ³ Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số . ² Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Định lý Ferman). Nếu hàm số có đạo hàm tại và đạt cực trị tại điểm đó thì . Nghĩa là hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. ² Điều kiện đủ để hàm số có cực trị ³ Định lý 1: Giả sử hs liên tục trên khoảng và có đạo hàm ◊ Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua thì đạt cực tiểu tại . ◊ Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua thì đạt cực đại tại . a xo b – 0 + f(a) f(b) cực tiểu f(xo) x a xo b + 0 – f(xo) cực đại f(a) f(b) ³ Định lý 2: Giả sử hàm số có đạo hàm trên ; và ◊ Nếu thì đạt cực đại tại . ◊ Nếu thì đạt cực tiểu tại .  Phương pháp giải ² Qui tắc 1: Dùng định lý 1 ³ Bước 1: Tìm miền xác định. Tính . ³ Bước 2: Tìm các điểm tại đó hoặc không xác định. ³ Bước 3: Xét dấu , từ đó suy ra điểm cực trị dựa vào định lý 1. ² Qui tắc 2: Dùng định lý 2 ³ Bước 1: Tìm miền xác định. Tính . ³ Bước 2: Tìm các điểm tại đó hoặc không xác định. ³ Bước 3: Xét dấu và ◊ Nếu thì hàm số đạt cực đại tại . ◊ Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại . Ž Một số lưu ý khi giải toán ² Tìm để hàm số đạt cực đại tại ² Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại ² Hàm số đạt cực trị tại ² Nếu không đổi dấu khi đi qua nghiệm (nghiệm kép) thì hàm số không có cực trị. ² Đối với hàm bậc 3 thì có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để hàm có cực trị. ² Không cần xét hàm số có hay không có đạo hàm tại điểm nhưng không thể bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục tại điểm ”. ² Có 2 qui tắc tìm cực trị dựa vào định lí 1 (qui tắc 1) và định lí 2 (qui tắc 2) như đã trình bày ở trên. Nên chọn 1 qui tắc hợp lí dựa vào lời khuyên sau: ³ Nếu việc xét dấu của đạo hàm bậc nhất dễ dàng, thì nên dùng qui tắc 1. ³ Nếu việc xét dấu ấy khó khăn (ví dụ như trong bài toán mà hàm số đã cho có dạng lượng giác, hoặc bài toán có chứa tham số), thì nên dùng qui tắc 2. ² Nếu là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị bằng cách thay vào hoặc có thể thay vào phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị: ³ Hàm bậc ba: Chia cho ta được: Khi đó, giả sử , là các điểm cực trị thì: Þ Các điểm , nằm trên đường thẳng là đường thẳng nối hai điểm cực trị của hàm số bậc ba . ³ Hàm số phân thức Giả sử là điểm cực trị thì . Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là: . (Lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu Þ Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị)  Một số thí dụ Thí dụ 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a/ b/ c/ d/ e/ f/ Bài giải tham khảo a/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . * Ta có: Hàm số không có cực trị. b/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . * Ta có: . * Cho: * Bảng biến thiên: 1 + 0 + 0 – 25 * Hàm số đạt cực đại tạivới giá trị cực đại của hàm số là . Hàm số không có cực tiểu. c/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . * Ta có: . * Cho * Bảng biến thiên: 1 + 0 – 0 + * Kết luận: Hàm số đạt cực đại tạivới giá trị cực đại là: . Hàm số đạt cực tiểu tạivới giá trị cực tiểu là: . d/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . * Ta có: . * Cho * Bảng biến thiên: 0 – 0 + 0 – 0 + * Kết luận: Hàm số đạt cực đại tạivới giá trị cực đại là: . Hàm số đạt cực tiểu tạivà với giá trị cực tiểu là: . e/ Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . * Ta có: . * Cho: * Bảng biến thiên: 2 – 0 + 0 – * Kết luận: Hàm số đạt cực đại tạivà giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tạivà giá trị cực tiểu là. f/ Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . * Ta có: . * Cho: . * Bảng biến thiên: + 0 + * Kết luận: Do không đổi dấu khi đi qua nghiệm, nên hàm số không có cực trị. Thí dụ 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a/ b/ c/ d/ Bài giải tham khảo a/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên: . * Ta có: Hàm số không có cực trị. b/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên: . * Tìm Hàm số không có cực trị. c/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định trên: . * Ta có: .Cho * Bảng biến thiên: * Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại (đổi dấu từ dương sang âm) và giá trị cực đại là. Hàm số đạt cực tiểu tại(đổi dấu từ âm sang dương) và . d/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: . * Ta có: Hàm số không có cực trị. Thí dụ 3. Tìm cực trị của các hàm số: a/ b/ c/ d/ e/ f/ Bài giải tham khảo a/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . * Hàm số không có đạo hàm tại các điểm . Suy ra, trên khoảng . * Bảng biến thiên: 0 2 3 – + 0 – 2 0 0 * Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại . Đạt cực tiểu tại . b/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. * Ta có: . * Hàm số không có đạo hàm tại các điểm. * Suy ra, trên khoảng. * Bảng xét dấu : – 0 + 0 – * Kết luận: đổi dấu từ âm sang dương khiqua điểmthì hàm số đạt cực tiểu tại điểm và . đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểmthì hàm số đạt cực đại tại điểmvà . c/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: . * Ta có: . * Hàm số không có đạo hàm tại các điểm: . * Trên mỗi khoảng: . * Tương tự, từ bảng xét dấu ta được: hàm số đạt cực tiểu tại điểm . Hàm số không có cực đại. d/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên các khoảng. * Ta có: . * Tại các điểmthì hàm số không có đạo hàm. * Trên các khoảng . * Bảng biến thiên: + – 0 + * Kết luận: Trên khoảng, trên khoảng. Do đó, điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: . Hàm số không có điểm cực đại. e/ Tìm cực trị của hàm số: * Ta có: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Tính: . * Hàm số liên tục tạivà không có đạo hàm tại. * Trên khoảngvà trên khoảng. * Bảng biến thiên: + – + * Kết luận: Hàm số đạt cực đại tạivà. Hàm số đạt cực tiểu tạivà. f/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. * Ta có: Trên khoảng, trên khoảng. * Bảng biến thiên: 0 1 + 0 + 0 * Hàm số đạt cực đại tại điểm và hàm số đạt cực tiểu tại điểm. Thí dụ 4. Tìm cực trị của các hàm số: a/ b/ c/ d/ Bài giải tham khảo a/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. * Ta có: * Cho . * Tính: . Với hàm số đạt cực đại tại. Với Hàm số đạt cực tiểu tại . b/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. * Ta có: và . * Tính: và Hàm số đạt cực đại tại: . Hàm số đạt cực tiểu tại: . c/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn. Và . . * Mà Hàm số đạt cực đại tại , lúc đó giá trị cực đại là . Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu là . d/ Tìm cực trị của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . * Trên khoảng. Tồn tại một gócsao cho, khi đó. Vớivà . * Bảng xét dấu 0 + 0 – * Vậy: Hàm số đạt cực đại tại; với . Thí dụ 5. Tìm tham số để hàm số: a/ đạt cực đại tại . b/ đạt cực tiểu tại . c/ đạt cực tiểu tại (trích đề TNPT – 2011). d/ đạt cực đại tại điểm . e/ đạt cực đại tại . f/ đạt cực trị tại . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu. Tìm cực trị tương ứng. g/ để hàm số nhận điểm làm điểm cực đại. h/ đạt cực tiểu tại . i/ có cực trị tại và giá trị cực trị tương ứng của hàm số bằng . j/ có giá trị cực trị là những số dương và là điểm cực đại. Bài giải tham khảo a/ Tìm tham số m để: đạt cực đại tại . * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: . * Hàm số đạt cực đại tại. b/ Tìm tham số m để: đạt cực tiểu tại . * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: . * Hàm số đạt cực tiểu tại . c/ Tìm tham số m để: đạt cực tiểu tại (trích đề TNPT – 2011). * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: . * Để hàm số đạt cực tiểu tại d/ Tìm tham số m để: đạt cực đại tại điểm . * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: * Để hàm số đạt cực đại tại điểm khi và chỉ khi: . e/ Tìm tham số m để: đạt cực đại tại . * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: * Hàm số đạt cực đại tại khi và chỉ khi: . f/ Tìm tham số m để: đạt cực trị tại . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu. Tìm cực trị tương ứng. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: . * Để hàm số đạt cực trị tại . * Thế vào Hàm số đạt cực đại tại. * Thế vào . Do đó, giá trị cực đại là. g/ Tìm tham số m để: nhận điểm làm điểm cực đại. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: * Để điểm là điểm cực đại của đồ thị hàm số khi và chỉ khi: . h/ Tìm tham số m để: đạt cực tiểu tại . * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: * Hàm số đạt cực tiểu tại điểm: . i/ Tìm tham sốđể: có cực trị tại và giá trị cực trị tương ứng bằng . * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: . * Để hàm số có cực trị tại và giá trị cực trị tương ứng bằng khi và chỉ khi: j/ Tìm tham sốđể: có giá trị cực trị là những số dương và là điểm cực đại. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: . * Hàm số nhận làm điểm cực đại * Với. * Với. * Vậy thỏa yêu cầu bài toán thì: hoặc .  Bài tập áp dụng Bài 1. Tìm các giá trị cực trị của hàm số sau 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ 26/ 27/ 28/ 29/ 30/ 31/ 32/ 33/ 34/ 35/ 36/ 37/ 38/ 39/ 40/ 41/ 42/ 43/ 44/ 45/ 46/ 47/ 48/ 49/ 50/ 51/ 52/ 53/ 54/ 55/ 56/ 57/ 58/ 59/ 60/ 61/ 62/ 63/ 64/ 65/ 66/ 67/ 68/ 69/ 70/ 71/ 72/ 73/ 74/ 75/ 76/ 77/ Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau 1/ trên khoảng 2/ trên khoảng 3/ trên 4/ trên 5/ trên 6/ Bài 3. Khi hàm số đã có cực đại và cực tiểu. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của các hàm số sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để: 1/ có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng . 2/ có các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng . 3/ có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng . 4/ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳn Bài 5. Tìm giá trị của tham số để hàm số có cực trị tại xo 1/ có cực trị tại . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính giá trị cực trị tương ứng. 2/ có cực đại tại . 3/ có cực tiểu khi . 4/ có cực trị khi . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu. Tính giá trị cực trị tương ứng. 5/ có cực tiểu khi . 6/ có cực đại khi . 7/ có cực tiểu khi . 8/ có cực đại khi . 9/ có điểm cực trị khi . Khi đó hàm số đạt giá trị cực tiểu hay cực đại. Tính giá trị cực trị tương ứng. 10/ đạt giá trị cực đại bằng 2 tại . 11/ đạt giá trị cực tiểu bằng 1 tại 12/ có giá trịc cực trị bằng 0 khi . Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay cực đại. 13/ đạt cực đại tại . 14/ đạt cực tiểu tại . 15/ đạt cực trị tại . Khi đó, nó là điểm cực đại hay cực tiểu, tính giá trị cực trị còn lại (nếu có). 16/ đạt cực tiểu tại điểm . 17/ đạt cực tiểu tại điểm . 18/ đạt cực đại tại . 19/ đạt cực tiểu tại điểm và đạt cực đại tại , có giá trị cực đại bằng 1. 20/ đạt cực trị bằng 0 tại điểm và đồ thị hàm số đi qua điểm . 21/ đạt cực tiểu tại điểm và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. 22/ đạt cực tiểu tại điểm . 23/ đạt cực tiểu bằng 0 tại và đạt cực đại bằng tại . 24/ . Tìm để đồ thị đi qua gốc tọa độ O và đạt cực trị bằng –9 tại . 25/ . Tìm để hàm số đạt cực trị bằng –6 tại . 26/ . Tìm để hàm số đạt cực trị tại và . 27/ . Tìm để hàm số đạt cực đại bằng 5 tại . 2 – Dạng toán 2: Biện luận hoành độ cực trị Œ Phương pháp giải Hàm số có n cực trị Û y’ = 0 có n nghiệm phân biệt. Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng: Ta có: Hàm số có 3 cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi . Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi . Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm Khi đó: Hàm số chỉ có cực tiểu khi (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại). Hàm số chỉ có cực đại khi (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu). Đối với hàm bậc bốn dạng: Ta có: Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi . Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi . Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (2) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm Khi đó: Hàm chỉ có cực tiểu khi (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại). Hàm số chỉ có cực đại khi (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu).  Một số lưu ý khi giải toán Lưu ý 1: Hoành độ cực trị thường là nghiệm của phương trình bậc 2. Do đó, ta cần phải nắm vững kiến thức về phương trình bậc 2 như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc 2 với 1 số b bất kỳ, các điều kiện có nghiệm của phương trình, đồng thời, nó liên quan đến một số tính chất của hình học phẳng (xem phần ôn tập hình học phẳng trang 5). Lưu ý 2: Hàm số bậc ba và hàm hữu tỉ có cực đại và cực tiểu (2 cực trị) có hai nghiệm phân biệt Lưu ý 3: Để A và B thuộc hai nhánh của đồ thị dạng hoặc thì 2 điểm A và B phải nằm về hai phía so với đường tiệm cận đứng tương ứng của đồ thị. (C): TCĐ: x = –d/e y A B x O A TCĐ: x = – d/c – d/c B (C): y x O y x O x1 x2 A B A B d I Ž Một số thí dụ Thí dụ 1. Tìm tham sốđể hàm số có cực đại và cực tiểu. a/ b/ c/ d/ Bài giải tham khảo a/ Tìm tham sốđể: có cực đại và cực tiểu. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị) có 2 nghiệm phân biệt. . b/ Tìm tham sốđể: có cực đại và cực tiểu. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị)có 2 nghiệm phân biệt. . c/ Tìm tham sốđể: có cực đại và cực tiểu. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị) có hai ngiệm phân biệt. có 2 nghiệm phân biệt. . d/ Tìm tham sốđể: có cực đại và cực tiểu. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị)có 2 nghiệm phân biệt. có 2 nghiệm phân biệt. . Thí dụ 2. Tìm tham số m để: a/ Hàm số có cực trị. b/ Hàm số Có 3 cực trị. Có cực tiểu mà không có cực đại. c/ Hàm số không có cực trị. d/ Hàm số có đúng một cực trị. Bài giải tham khảo a/ Tìm tham số m để: có cực trị. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . * Để hàm số có cực trị thì phương trình có nghiệm . có nghiệm. có nghiệm . b/ Tìm tham số m để: Có 3 cực trị. Có cực tiểu mà không có cực đại. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: . Hàm số có 3 cực trịcó 2 nghiệm phân biệt, . . Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm . c/ Tìm tham số m để: không có cực trị. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Hàm số không có cực trịvô nghiệm hoặc có nghiệm kép . d/ Tìm tham số m để: có đúng một cực trị. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: * Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khicó nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm. Không có tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Thí dụ 3. Chứng mình rằng hàm số: a/ luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị . b/ luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị . c/ luôn đạt cực trị tại với mọi giá trị và biểu thức không phụ thuộc vào . Bài giải tham khảo a/ Chứng minh rằng: luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị . * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: và. Do đó, luôn có hai nghiệm phân biệt và . * Bảng xét dấu: * Dựa vào bảng biến thiên, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị (đpcm). b/ Chứng minh rằng: luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị . * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: . Cho . . * Do đó, thìluôn có hai nghiệm phân biệt: và . * Bảng biến thiên: * Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua nghiệmnên hàm số đạt cực đại tại. Hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi đia qua ngiệmnên hàm số đạt cực tiểu tại. Hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu (đpcm). c/ Chứng minh rằng: luôn đạt cực trị tại với mọi giá trị và biểu thức không phụ thuộc vào . * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Ta có: và luôn có 2 nghiệm phân biệtvà. Hàm số luôn có hai cực trị . * Ta lại có: . * TừvàĐpcm. Thí dụ 4. Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa yêu cầu theo sau của bài toán (định lí Viét) a/ Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm sao cho: . b/ Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị , đồng thời hai điểm cực trị này thỏa: . c/ Cho hàm số . Tìm để đồ thị của hàm số có hai cực trị đều dương. d/ Tìm để đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. Bài giải tham khảo a/ Cho hàm số: . Tìmđể hàm số đạt cực trị tại hai điểm sao cho: . * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Để hàm số có hai cực trị thì có hai nghiệm phân biệt. . * Khi có cực trị, hoành độ cực trị là nghiệm của phương trình. * Ta có: * Theo định lý Viét: * Thayvào, ta được:. * Kết hợp ta được : và thỏa yêu cầu bài toán. b/ Cho hàm số:. Tìmđể đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị , đồng thời hai điểm cực trị này thỏa: . * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Để hàm số có 2 điểm cực trị có 2 nghiệm phân biệt. * Theo định lý Vi-ét và yêu cầu bài toán ta có: * So lại với điều kiện là các giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán. c/ Cho hàm số: . Tìmđể đồ thị của hàm số có hai cực trị đều dương. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . * Để đồ thị hàm số có hai cực trị dương có hai nghiệm dương phân biệt: . * Vậy là những giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán. d/ Tìmđể đồ thị của hàm số: có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. có 2 nghiệmthỏa. . Thí dụ 5. Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa yêu cầu theo sau của bài toán. a/ Cho hàm số . Tìmđể khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. b/ Cho hàm số . Gọi là hai điểm cực trị, định để diện tích bằng 2. Vớivừa tìm được, tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. c/ Cho hàm số . Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị này là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. d/ Cho hàm số . Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị này lập thành một tam giác đều. e/ Cho hàm số . Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời các điểm cực trị A,B,C của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. f/ Cho hàm số . Tìm tham sốđể hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách từ hai điểm ấy đến đường thẳngbằng nhau. Bài giải tham khảo a/ Cho hàm số: . Tìmđể khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Để hàm số có hai cực trị thì có hai nghiệm phân biệt. có hai nghiệm phân biệt. có nghiệm * Gọi hoành độ cực trị của hàm số là , nó cũng chính là 2 nghiệm của phương trình. * Theo định lý Viet: * Giả sử là các điểm cực trị của hàm số. Ta có: (thay vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị) [thay vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị:] * Theo đề bài, ta có: * Thayvào, ta được: * So lại với thỏa yêu cầu bài toán. b/ Cho hàm số: . Gọi là hai điểm cực trị, địnhđể diện tích bằng 2. Vớivừa tìm được, tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . Cho . Do đó hai điểm cực trị là. * Ta có: . . * Mà . * Gọilà khoảng cách từ O đến đường thẳng AB, khi đó:và O A B d . Khi . Khi . c/ Cho hàm số:. Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị này là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . * Để hàm số có 3 cực trịcó 3 nghiệm phân biệtcó 2 nghiệm phân biệt . * Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là. . * Do A, B, C lập thành tam giác vuông cân. * So với, ta được: . d/ Cho hàm số:. Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị này lập thành một tam giác đều. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . * Để hàm số có 3 cực trị thìcó ba nghiệm phân biệtcó 2 nghiệm phân biệt . * Khi đó: . * Do 3 điểm cực trị lập thành tam giác đều . Kết hợp với thỏa yêu cầu bài toán. e/ Cho hàm số:. Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời các điểm cực trị A,B,C của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên. * Ta có: . * Để hàm số có 3 cực trị thìcó ba nghiệm phân biệtcó 2 nghiệm phân biệt . * Khi đó, ba điểm cực trị là: . . . f/ Cho hàm số: . Tìm tham sốđể hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách từ hai điểm ấy đến đường thẳngbằng nhau. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên. * Để hàm số có cực đại và cực tiểucó 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt. . * Gọi là nghiệm của, đó chính là hoành độ cực trị. Khi đó, phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là: . Hai điểm cực trị của đồ thị là: . * Theo định lí Viét: . * Theo đề: . Kết hợp vớithỏa yêu cầu bài toán. Thí dụ 6. Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa yêu cầu theo sau của bài toán. a/ Tìm tham sốđể hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía so với trục tung. b/ Cho hàm số . Tìm tham số thựcđể hàm số có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị này nằm về hai phía so với trục hoành. c/ Cho hàm số . Tìm tham s