Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Tiết 54, 55: Cấp số nhân

CẤP SỐ NHÂN (TIẾT 54+55) LỚP 11 NÂNG CAO A. MỤC TIÊU: 1. Về kiến thức : Giúp học sinh : - Nắm vững khái niệm cấp số nhân ; - Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ; - Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân . 2. Về kĩ năng : Giúp học sinh : - Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân ; - Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân trong các trường hợp không phức tạp ; - Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến cấp số nhân ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống . 3. Về tư duy và thái độ : Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi . B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY & TRÒ: 1. Giáo viên : SGK , Giáo án . Cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu và bài toán nêu trong mục Đố vui . 2. Học sinh : Học thuộc bài cũ .Xem trước bài CSN , SGK , dụng cụ học tập . C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phát hiện và giải quyết vấn đề . D. TIẾN HÀNH BÀI DẠY: 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ + Định nghĩa cấp số cộng ? + Một CSC có 11 số hạng .Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu 30 . Tìm CSC đó ? 3. Bài mới HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH GHI BẢNG GV treo bảng phụ tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu : ...Giả sử có 1 người gửi 10 triệu đồng với kỳ hạn một tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kỳ hạn này là 0,04%. a) Hỏi nếu 6 tháng sau , kể từ ngày gửi , người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi ) là bao nhiêu ? b) Cùng câu hỏi như trên , với thời điểm rút tiền là 1 năm kể từ ngày gửi ? * Gọi HS làm câu a) . Sau đó gọi HS khác trả lời câu b) . Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi . Ta có : u 1 = 10 7 + 10 7 .0,004 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 + u 1 .0,004 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 + u 2.0,004 = u 2 .1,004 ; ... u n = u n - 1 + u n - 1.0,004 = u n -1.1,004 Tổng quát , ta có : u n= u n -1 + u n - 1 .0,004 = u n - 1 . 1,004 a) Vậy sau 6 tháng người đó rút được u 6 = ? u 5 .1,004 b) Sau 1 năm người đó rút được : u 12 = ? u 11 .1,004 Bài toán mở đầu: + Với mỗi số nguyên dương n ,ký hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi .Ta có : u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 .1,004 ; ............ u n = u n - 1.1,004 . Tổng quát , ta có : u n= u n - 1 . 1,004 * Nhận xét tính chất dãy số (u n) nói trên ? + Kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004 . * Tổng quát dãy số (u n) được gọi là cấp số nhân khi nào ? (u n) là cấp số nhân 1.Định nghĩa: (u n) là cấp số nhân ( q là số không đổi , gọi là công bội của CSN ) Ví dụ 1: SGK Tr 116 H1: Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân ? Vì sao? a) 4 ; 6 ; 9 ; 13,5 . b) -1,5 ; 3 ; -6 ; -12 ; 24 ; - 48 ; 96 ; -192 c) 7 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 . Ví dụ 2: SGK Tr 116 . * Gọi từng HS đứng tại chỗ với mỗi VD Từ VD1b) sau đó là 1a) cho học sinh nhận xét kể từ số hạng thứ hai , bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đ/v CSN hữu hạn) liên hệ thế nào với hai số hạng kề nó trong dãy ? * Hãy phát biểu tính chất nêu trên ? C/m:Gọi q là công bội của CSN (u n) .Xét 2 trường hợp : + q = 0 : hiển nhiên . + q 0 : Viết u k qua số hạng đứng trước và ngay sau nó ? H2: Có hay không CSN (u n) mà u 99= -99 và u 101 = 101 ? Ví dụ 3: SGK Tr 118 . * PP c/minh dãy số là CSN ? Áp dụng ? * Từ bài toán mở đầu , biểu diễn các số hạng u n () theo u 1 và công bội q = 1,004 ? * Tổng quát CSN (u n) có số hạng đầu u 1 và công bội q 0 có số hạng tổng quát u n = ? Ví dụ 4: Từ bài toán mở đầu , tìm u 6 và u 12 ? H3 : SGK Tr 119 . *Gọi HS đứng tại chỗ giải ( có thể gợi ý xét sự tương đồng giữa BT này và BT mở đầu để làm ) ? * CSN (u n) có số hạng đầu u 1 và công bội q .Mỗi số nguyên dương n , gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó . Tính S n (S n = u 1+u 2+.....+ u n ) ? Khi q = 1 , khi q 1 ? Ví dụ 5: CSN (u n) có u 3 = 24 , u 4 = 48 . Tính S 5 ? * Tính S 5 ta phải tìm gì ? * ĐỐ VUI: Giáo vien treo bảng phụ đã chuẩn bị sẵn lên bảng . * Đây là CSN có u 1 và q là bao nhiêu ? a) Số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học sau 30 ngày ? b) Số tiền mà nhà toán học đã bán cho nhà tỉ phú sau 30 ngày ? c) Sau cuộc mua - bán nhà tỉ phú "lãi" ? a) Dãy số là cấp số nhân ; vì kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với 1,5 . b) không là cấp số nhân . c) là cấp số nhân , công bội q = 0 . + Đối với CSN 1b) + Đối với CSN 1a) + Nếu (u n) CSN thì u k2 = u k - 1 .u k +1 , + u k = u k - 1 . q () () Nhân các vế tương ứng , ta có (đpcm) + Không tồn tại , vì nếu ngược lại ta sẽ có : u 2100= u 99. u 101= - 99 .101 < 0 + vn = q.vn -1 , + vn = u n - = 3u n - 1 - 1 - = 3vn -1 , + u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 .1,004 = u 1 .(1,004)2 ; ... u n = u n - 1.1,004 = u 1 . (1,004) n - 1 , + u n = u 1 . ( q ) n - 1 , + u n= 10 7 .1,004.(1,004) n - 1 = 10 7 .(1,004) n , + u n = 3.10 6 .(1 + 0,02) n = 3.10 6 . (1,002) n . + Khi q = 1 thì u n= u 1 và S n= n.u 1. + Khi q 1 : q S n = u 1+ u 2+ . . . + u n+ u n + 1 . S n - q S n = u 1 - u n + 1 = u 1(1 - q n ) (1 - q) S n = u 1 (1 - q n ) với q 1 Suy ra đpcm . + Tìm u 1 và q . u 1 = u 4 : u 3 = 2 ; 24 = u 3= u 1 .2 2 u 1 = 6 S 5 = 186 . + Gọi u n là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n .Ta có u 1 = 1 và q = 2 . a) S 30 = (đ) b) Số tiền mà nhà toán học đã bán cho nhà tỉ phú sau 30 ngày : 10.106 .30 = 300.000.000 (đồng) . c) Sau cuộc mua - bán nhà tỉ phú "lãi" 300.000.000 - 1.073.741.823 = - 773.741.823 (đ) 2. Tính chất : Định lý 1: Nếu (u n) CSN thì u k2 = u k - 1 .u k +1 , 3. Số hạng tổng quát: Từ bài toán mở đầu : u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 1 .(1,004)2 ; ... u n = u 1 . (1,004) n - 1 , + u n = u 1 . ( q ) n - 1 , Định lý 2 : SGK Tr 118 . Nếu CSN (u n) có số hạng đầu u 1 và công bội q 0 thì có số hạng tổng quát : u n = u 1 . ( q ) n - 1 , 4.Tổng n số hạng đầu tiên của một CSN Nếu (u n) là CSN có số hạng đầu u 1 với công bội q 1 thì S n là : S n = , q 1 4.CŨNG CỐ : + Lý thuyết cũng cố từng phần trong quá trình dạy học , GV có thể cũng cố lại nhanh theo dàn bài có sẵn trên bảng . + Bài tập: 1)Tìm công bội q và tổng các số hạng của CSN hữu hạn , biết số hạng đầu u 1 = 2 và số hạng cuối u 11 = 64 ? 2) Bài 31 ; 32 SGK Tr 121 . 5. HƯỚNG TẬP : Học thuộc bài CSN , làm các bài tập SGK 33 - 43 Tr 121,122 .