VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 3 + 2sinx b. y = c. y =
Giải
a. Vì -1 sinx 1 nên -2 2sinx 2 do đó 1 3 + 2sinx 5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1
x = , k Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1
x = - , k Z.
9 trang |
Chia sẻ: quynhsim | Lượt xem: 596 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Ôn tập hàm số lượng giác, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Ôn tập hàm số lượng giác
VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 3 + 2sinx b. y = c. y =
Giải
a. Vì -1 sinx 1 nên -2 2sinx 2 do đó 13 + 2sinx 5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1
x = , k Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1
x = - , k Z.
b. Vì 0 cos2x 1 nên 2 2 + 3cos2x 5 do đó .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 1
x = , k Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 0
x = , k Z.
c. Vì -1 sin3x 1 nên 3 2sin3x +5 7 do đó .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi sin3x = 1
3x = , k Z. x = , k Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi sin3x = -1
3x = -, k Z. x = -, k Z.
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)
Cách giải
Chia hai vế phương trình (1) cho ta được
(2)
(vì )
Đặt ; sin
Pt (2) trở thành: cos.sinx + sin.cosx =
sin(x + ) = (3)
Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý:
Pt (1) có nghiệm pt(3) có nghiệm
a2 + b2 c2
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2 .
sinx cosx = sin(x )
4. Phương trình asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d
Cách giải
Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)
asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d
a. + b. + c.= d
bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c
Cách 2:
Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho cos2x 0 ta được phương trình bậc hai:
a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)
(a – d).tan2x + btanx + c – d = 0
B. Ví dụ và bài tập
VD1: Giải các phương trình sau:
a. 2sinx –= 0 b. 2tanx – 5 = 0
c. (cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d. 2sin2x – sin2x = 0
Giải
a. 2sinx –= 0 2sinx = sinx = sinx = sin
Vậy nghiệm của phương trình là:
b. 2tanx – 5 = 0 2tanx = 5 tanx = x = arctan + k (kZ)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan + k (kZ)
c. (cotx – 3)(2cosx –1) = 0
(1) cotx = 3 cotx = cotx = cotx = + k (kZ)
(2) 2cosx =1 cosx = cosx = cos
Vậy nghiệm của phương trình là:
d. 2sin2x – sin2x = 0
2sin2x – 2sinx.cosx = 0 2sinx(sinx – cosx) = 0
Vậy nghiệm của phương trình là:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx + = 0 c. 1 - tan(5x + 200) =0
d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)= f. cos(x + )=
g. (2cosx +)(tan(x +100) - ) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0
i. 8sinx.cosx.cos2x = j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0
l. 3tan2x + tanx = 0 m. 4sin2x – sin22x = 0 n. - 2sin3x = 0
p. cot(x + ) = 1 q. cos2(x – 300) = r. 8cos3x – 1 = 0
Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:
a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x + ) = -1 c.
VD2: Giải các phương trình sau:
a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b. cot22x – 4cot2x +3 = 0
c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0
Giải
a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0
Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được:
2t2 – 5t -3 = 0
Với t = - ta được
sinx = - sinx = sin(-)
Vậy nghiệm của phương trình là:
b. cot22x – 4cot2x -3 = 0
Vậy nghiệm của phương trình là:
c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0
2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0
2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0
2sin2x – 3sinx + 1 = 0
Với sinx = 1 x =
Với sinx = sinx = sin
Vậy nghiệm của pt là:
d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0
Vậy nghiệm của pt là:
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0
c. cot2x – 4cotx + 3 = 0 d. tan2x + (1 - )tanx - = 0
e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0
g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0
i. sin22x – 2cos2x + = 0 j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0
VD3: Giải các phương trình sau:
a. sinx + cosx = 2 b. cos3x – sin3x = 1
c. 3sin2x + 4cos2x = 5 d. sinx – cosx = 3
Giải
a. sinx + cosx = 2
Chia hai vế pt trên cho = 2 ta được
sinx + cosx = 1
cos.sinx + sin.cosx = 1
sin(x +) = 1
x + = + k2
x = + k2
Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = + k2
b. cos3x – sin3x = 1
Chia hai vế pt trên cho = ta được
cos3x - sin3x =
cos cos3x - sinsin3x =
cos(3x + ) =
cos(3x + ) = cos
Vậy ngiệm của phương trình trên là:
c. 3sin2x + 4cos2x = 5
Chia hai vế pt cho = 5 ta được
sin2x + cos2x = 1
Kí hiệu là cung mà sin= , cos= ta được
sin2x cos + sincos2x = 1
sin(2x + ) = 1
2x + = + k2
x = - + k
Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = - + k (với sin= , cos= )
d. sinx – cosx = 3
Ta có 2 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm.
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a. sinx + cosx = b. 2sinx – 5cosx = 5
c. 2cosx – sinx = 2 d. sin5x + cos5x = -1
e. 3sinx – 4cosx = 1 f. 2sin2x + sin2x = 3
g. sin5x + cos5x = cos13x h. sinx = sin3x – cosx
VD4: Giải các phương trình sau:
a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Giải
a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x ta được:
2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x
tan2x + 4tanx – 5 = 0
Vậy nghiệm của phương trình là:
b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Áp dụng công thức hạ bậc ta được
4.+ 3. – = 3
sin2x + cos2x = 1
sin(2x +) = 1 sin(2x +) =
sin(2x +) = sin
Vậy nghiệm của phương trình là:
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a. 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b. 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1
c. 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d. 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3
e. 4sin2x + 3sin2x – 2cos2x = 4 f. sin3x + 2sin2x. cosx – 3cos3x = 0
g. sinx.cosx – sin2x = i. 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0
Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a. cos3x – cos4x + cos5x = 0 b. sin7x – sin3x = cos5x
c. cos5x.cosx = cos4x d. sinx + 2sin3x = - sin5x
e. 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f. sin2x – cos2x = cos4x
g. 2tanx + 3cotx = 4 h. cosx.tan3x = sin5x
i. 2sin2x + (3 + )sinx cosx + (- 1)cos2x = -1
j. tanx.tan5x = 1
File đính kèm:
- On tap HSLG.doc