Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bài 3: Cấp số cộng (Tiết 9)

Kiểm tra bài cũ :Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = -1 và un+1 = un + 3 với mọi n  1 Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy và viết dãy số trên dưới dạng khai triển .2) Nêu nhận xét về 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên. Giảiu1= -1u 2 = 2u4 =8u3 = 5Nhận xétSố hạng đứng trước bé hơn số hạng đứng liền sau nó 4 đơn vịDạng khai triển của dãy số trên là : -1, 2, 5, 8, 11, . . . , 3n – 4 , . .Bài 3:CẤP SỐ CỘNG I - ĐỊNH NGHĨA : Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đđều bằng số hạng đđứng ngay trước nó cộng với một số d không đổi.Số d được gọi là công sai của cấp số cộng Dãy (un) là cấp số cộng  un + 1 = un + d, n N*Tóm lại§3 CẤP SỐ CỘNGĐặc biệtKhi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi ( tất cả các số hạng đều bằng nhau )Ví dụ 1: Trong các dãy số hữu hạn sau , dãy nào là cấp số cộng ? §3 CẤP SỐ CỘNGb) 2, 4, 7, 10, 13, 14, 15, 20.– 5 ; – 2 ; 1 ; 4 ; 7 ; 10 .Ví dụ 2 : Chứng minh dãy số ( un ) với un = 2n+1 là một cấp số cộng ?GiảiXét un+1 – un = ( 2(n+1) + 1 ) –( 2n+1 ) = 2Hay un+1 = un +2Do đó ( un ) với un = 2n+1 là một cấp số cộng có công sai d = 2§3 CẤP SỐ CỘNGCho cấp số cộng 1, 3, 5, 7, 9, . . .Dự đoán số hạng thứ 12 có giá trị bằng bao nhiêu ?u1 = 1u2 = 3 = 1 + 2 = u1 + du3 = 5 = 1 + 2.2 = u1 + 2.du4 = 7 = 1 + 3.2 = u1 + 3.du5 = 9 = 1 + 4.2 = u1 + 4.d- - - - - - - - - - - - - - - - - - -u12 = u1 + 11.dHãy tính un theo u1 và dun = u1 + ( n – 1 ).dGiải u12?== 1 + 11. 2 =23II – SỐ HẠNG TỔNG QUÁT :Định lý 1 :Nếu cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu tiên u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được tính bởi công thức : un = u1 + (n – 1) d với n  2Ví dụ 4 Cho cấp số cộng (un) có u1 = -7 và công sai d = 2 . Đáp số a) u15 = u1 + 14 d = - 7 + 28 = 21§3 CẤP SỐ CỘNGa) Tính u15b) Số hạng thứ mấy có giá trị là 41 ?b) Ta có : un = u1 + (n – 1) d 41 = - 7 + ( n – 1 ).2 n = 25§3 CẤP SỐ CỘNGCho cấp số cộng 1, 3, 5, 7, 9, . . .Có nhận xét gì về ? u1 + u3 và u2 u3 + u5 và u4 u4 + u6 và u5 Dự đoán uk – 1 + uk + 1 và uk ( với k  2 )Ta thấy u1 + u3 = 2.u2 Ta thấy u3 + u5 = 2.u4 Ta thấy u4 + u6 =2.u5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - III - TÍNH CHẤT : Nếu (un) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó trong dãy , nghĩa là :Định lý 2 : Ba số a; b; c lập thành cấp số cộng  a + c = 2bNhận xét §3 CẤP SỐ CỘNGHãy tìm điều kiện để ba số a, b, c theo thứ tự trên lập thành cấp số cộng ?§3 CẤP SỐ CỘNG-137111519232727-13715112319Tính tổng S = u1 + u2 + u3 + . . . + u8 Ta thấy 2.S = ( u1 + u8 ) + ( u2 + u7 ) + ( u3 + u6 ) + . . . + ( u8 + u1 ) = ( -1 + 27 ) + ( 3 + 23 ) + . . . + ( 27 + ( - 1 ) )= 26 + 26 + 26 + . . . + 26= 8 . 26Do đó S = 208 / 2 =104Tóm lại Một cấp số cộng gồm tám số hạng -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27. Được viết vào bảng Hãy tính tổng Sn = u1 + u2 + . . . + un . Theo u1, un và n.IV - TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG:Định lý 3Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + + un . Khi đó ta có :§3 CẤP SỐ CỘNGChú ýVì un = u1 + ( n – 1 ) d nên thay vào công thức trên ta được Ví dụ : Tính tổng của 57 số lẻ đầu tiên .Ta có u1 = 1, d = 2 và u57 = u1 + 56.d = 113TRẮC NGHIỆM Một cấp số cộng (un) có u1 = 123 và u3 – u15 = 84 . Số hạng u17 là : 242DC23511 A4B